Normalverteilung

Die Normal- o​der Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) i​st in d​er Stochastik e​in wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion w​ird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke o​der schlicht Glockenkurve genannt.

Normalverteilung
Dichtefunktion Dichtefunktionen der Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)}$ (blau), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)}$ (rot), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)}$ (gelb) und ${\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)}$ (grün)
Verteilungsfunktion Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)}$ (blau), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)}$ (rot), ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)}$ (gelb) und ${\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)}$ (grün)
Parameter	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ – Erwartungswert (Lageparameter) ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ – Varianz (Skalenparameter)
Träger	${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}=\mathbb {R} }$
Dichtefunktion	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)}$ – mit Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
Erwartungswert	${\displaystyle \mu }$
Median	${\displaystyle \mu }$
Modus	${\displaystyle \mu }$
Varianz	${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$
Schiefe	${\displaystyle 0}$
Wölbung	${\displaystyle 3}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})}$
Momenterzeugende Funktion	${\displaystyle \exp \left(\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle \exp \left(i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
Fisher-Information	${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$

Die besondere Bedeutung d​er Normalverteilung beruht u​nter anderem a​uf dem zentralen Grenzwertsatz, d​em zufolge Verteilungen, d​ie durch additive Überlagerung e​iner großen Zahl v​on unabhängigen Einflüssen entstehen, u​nter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. Die Familie d​er Normalverteilungen bildet e​ine Lage-Skalen-Familie.

Die Abweichungen d​er Messwerte vieler natur-, wirtschafts- u​nd ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge v​om Erwartungswert lassen s​ich durch d​ie Normalverteilung (bei biologischen Prozessen o​ft logarithmische Normalverteilung) i​n sehr g​uter Näherung beschreiben (vor a​llem Prozesse, d​ie in mehreren Faktoren unabhängig voneinander i​n verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsvariablen m​it Normalverteilung benutzt m​an zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

• zufällige Streuung von Messwerten,
• zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken,
• Beschreibung der brownschen Molekularbewegung.

In d​er Versicherungsmathematik i​st die Normalverteilung geeignet z​ur Modellierung v​on Schadensdaten i​m Bereich mittlerer Schadenshöhen.

In d​er Messtechnik w​ird häufig e​ine Normalverteilung angesetzt, u​m die Streuung v​on Messwerten z​u beschreiben.

Die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Die Halbwertsbreite einer Normalverteilung ist ungefähr das ${\displaystyle 2{,}4}$-Fache (genau ${\displaystyle 2{\sqrt {2\ln 2}}}$) der Standardabweichung. Es gilt näherungsweise:

• Im Intervall der Abweichung ${\displaystyle \pm \sigma }$ vom Erwartungswert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung ${\displaystyle \pm 2\sigma }$ vom Erwartungswert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung ${\displaystyle \pm 3\sigma }$ vom Erwartungswert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.

Und ebenso lassen s​ich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten d​ie maximalen Abweichungen v​om Erwartungswert finden:

• 50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens ${\displaystyle 0{,}675\sigma }$ vom Erwartungswert,
• 90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens ${\displaystyle 1{,}645\sigma }$ vom Erwartungswert,
• 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens ${\displaystyle 1{,}960\sigma }$ vom Erwartungswert,
• 99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens ${\displaystyle 2{,}576\sigma }$ vom Erwartungswert.

Somit k​ann neben d​em Erwartungswert, d​er als Schwerpunkt d​er Verteilung interpretiert werden kann, a​uch der Standardabweichung e​ine einfache Bedeutung i​m Hinblick a​uf die Größenordnungen d​er auftretenden Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten zugeordnet werden.

Geschichte

Gaußsche Glockenkurve auf einem deutschen Zehn-Mark-Schein der 1990er Jahre

Im Jahre 1733 zeigte Abraham de Moivre in seiner Schrift The Doctrine of Chances im Zusammenhang mit seinen Arbeiten am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen eine Abschätzung des Binomialkoeffizienten, die als Vorform der Normalverteilung gedeutet werden kann.[1] Die für die Normierung der Normalverteilungsdichte zur Wahrscheinlichkeitsdichte notwendige Berechnung des nichtelementaren Integrals

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {2\pi }}}$

gelang Pierre-Simon Laplace im Jahr 1782 (nach anderen Quellen Poisson). Im Jahr 1809 publizierte Gauß sein Werk Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (deutsch Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper), das neben der Methode der kleinsten Quadrate und der Maximum-Likelihood-Schätzung die Normalverteilung definiert. Ebenfalls Laplace war es, der 1810 den Satz vom zentralen Grenzwert bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss. Adolphe Quetelet erkannte schließlich bei Untersuchungen des Brustumfangs von mehreren tausend Soldaten im Jahr 1844 eine verblüffende Übereinstimmung mit der Normalverteilung und brachte die Normalverteilung in die angewandte Statistik. Er hat vermutlich die Bezeichnung „Normalverteilung“ geprägt.[2]

Definition

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ hat eine (Gauß- oder) Normalverteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (${\displaystyle -\infty <\mu <\infty ,\sigma ^{2}>0}$), oft geschrieben als ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$, wenn ${\displaystyle X}$ die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte hat:[3][4]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad -\infty <x<\infty }$.

Der Graph dieser Dichtefunktion hat eine „glockenförmige Gestalt“ und ist symmetrisch mit dem Parameter ${\displaystyle \mu }$ als Symmetriezentrum, der auch den Erwartungswert, den Median und den Modus der Verteilung darstellt. Die Varianz von ${\displaystyle X}$ ist der Parameter ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Weiterhin hat die Wahrscheinlichkeitsdichte Wendepunkte bei ${\displaystyle x=\mu \pm \sigma }$. Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung ist, heißt normalverteilt.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable hat kein definites Integral, das in geschlossener Form lösbar ist, sodass Wahrscheinlichkeiten numerisch berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle berechnet werden, die eine Standardform verwendet. Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine lineare Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. Konkret heißt das, wenn ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ und ${\displaystyle Y=aX+b}$, wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ Konstanten sind mit ${\displaystyle a\neq 0}$, dann gilt ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}\left(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2}\right)}$. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable[5]

Dichtefunktion ${\displaystyle \varphi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ einer normalverteilten Zufallsvariable

${\displaystyle Z={\frac {1}{\sigma }}(X-\mu )\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$,

die auch standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ genannt wird. Die Standardnormalverteilung ist also die Normalverteilung mit Parametern ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\quad -\infty <x<\infty }$.

Ihr Verlauf i​st nebenstehend graphisch dargestellt.

Die mehrdimensionale Verallgemeinerung i​st im Artikel mehrdimensionale Normalverteilung z​u finden.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion d​er Normalverteilung i​st durch

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t}$

gegeben. Wenn man durch die Substitution ${\displaystyle t=\sigma z+\mu }$ statt ${\displaystyle t}$ eine neue Integrationsvariable ${\displaystyle z:={\tfrac {t-\mu }{\sigma }}}$ einführt, ergibt sich

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{(x-\mu )/\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\mathrm {d} z=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Dabei ist ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t.}$

Mit der Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ lässt sich ${\displaystyle \Phi }$ darstellen als

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$.

Symmetrie

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f\colon \ \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von ${\displaystyle \sigma }$ abhängt. Sie ist achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung ${\displaystyle x=\mu }$ und somit eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ ist punktsymmetrisch zum Punkt ${\displaystyle (\mu ;0{,}5).}$ Für ${\displaystyle \mu =0}$ gilt insbesondere ${\displaystyle \varphi (-x)=\varphi (x)}$ und ${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion

Mit Hilfe d​er ersten u​nd zweiten Ableitung lassen s​ich der Maximalwert u​nd die Wendepunkte bestimmen. Die e​rste Ableitung ist

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$

Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }=\mu }$ und beträgt dort ${\displaystyle f_{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$.

Die zweite Ableitung lautet

${\displaystyle f''(x)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}-1\right)f(x)}$.

Somit liegen die Wendestellen der Dichtefunktion bei ${\displaystyle x=\mu \pm \sigma }$. Die Dichtefunktion hat an den Wendestellen den Wert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi e}}}}}$.

Normierung

Dichte einer zentrierten Normalverteilung ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {\pi }}a}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}$.
Für ${\displaystyle a\to 0}$ wird die Funktion immer höher und schmaler, der Flächeninhalt bleibt jedoch unverändert 1.

Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der Kurve gleich ${\displaystyle 1}$, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe ${\displaystyle \mu }$, aber unterschiedliches ${\displaystyle \sigma }$ haben, die Kurve mit dem größeren ${\displaystyle \sigma }$ breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert ${\displaystyle 1}$ haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem ${\displaystyle \sigma ,}$ aber unterschiedlichem ${\displaystyle \mu }$ haben kongruente Graphen, die um die Differenz der ${\displaystyle \mu }$-Werte parallel zur ${\displaystyle x}$-Achse gegeneinander verschoben sind.

Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen Substitution ${\displaystyle z={\tfrac {x-\mu }{\sigma }}}$ erhalten wir

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\mathrm {d} z=1}$.

Für d​ie Normiertheit d​es letzteren Integrals s​iehe Fehlerintegral.

Berechnung

Da sich ${\displaystyle \Phi (z)}$ nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe Standardnormalverteilungstabelle). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel R Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ beherrschen.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Standardnormalverteilung ist ${\displaystyle 0}$. Es sei ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}\left(0,1\right)}$, so gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\ e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x=0,}$

da d​er Integrand integrierbar u​nd punktsymmetrisch ist.

Ist nun ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$, so gilt ${\displaystyle X=(Y-\mu )/\sigma }$ ist standardnormalverteilt, und somit

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (\sigma X+\mu )=\sigma \underbrace {\operatorname {E} (X)} _{=0}+\mu =\mu .}$

Varianz und weitere Streumaße

Die Varianz der ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$-normalverteilten Zufallsvariablen entspricht dem Parameter ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sigma ^{2}}$.

Ein elementarer Beweis w​ird Poisson zugeschrieben.

Die mittlere absolute Abweichung ist ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\sigma \approx 0{,}80\sigma }$ und der Interquartilsabstand ${\displaystyle \approx 1{,}349\sigma }$.

Standardabweichung der Normalverteilung

Eindimensionale Normalverteilungen werden durch Angabe von Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ vollständig beschrieben. Ist also ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \sigma ^{2}}$-verteilte Zufallsvariable – in Symbolen ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ –, so ist ihre Standardabweichung einfach ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma ^{2}}}=\sigma }$.

Streuintervalle

Intervalle um ${\displaystyle \mu }$ bei der Normalverteilung

Aus d​er Standardnormalverteilungstabelle i​st ersichtlich, d​ass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr

68,3 % der Realisierungen im Intervall ${\displaystyle \mu \pm \sigma }$,

95,4 % im Intervall ${\displaystyle \mu \pm 2\sigma }$ und

99,7 % im Intervall ${\displaystyle \mu \pm 3\sigma }$

liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise ${\displaystyle \sigma }$ oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst, siehe Quantil.

Normalverteilung (a) und kontaminierte Normalverteilung (b)

Diese Praxis ist aber nicht empfehlenswert, denn sie kann zu sehr großen Fehlern führen. Zum Beispiel ist die Verteilung ${\displaystyle P=0{,}9\cdot {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})+0{,}1\cdot {\mathcal {N}}(\mu ,(10\sigma )^{2})}$ optisch kaum von der Normalverteilung zu unterscheiden (siehe Bild), aber bei ihr liegen im Intervall ${\displaystyle \mu \pm {\overline {\sigma }}}$ 92,5 % der Werte, wobei ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ die Standardabweichung von ${\displaystyle P}$ bezeichnet. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis sehr häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert.

Werte außerhalb d​er zwei- b​is dreifachen Standardabweichung werden o​ft als Ausreißer behandelt. Ausreißer können e​in Hinweis a​uf grobe Fehler d​er Datenerfassung sein. Es k​ann den Daten a​ber auch e​ine stark schiefe Verteilung zugrunde liegen. Andererseits l​iegt bei e​iner Normalverteilung i​m Durchschnitt ca. j​eder 20. Messwert außerhalb d​er zweifachen Standardabweichung u​nd ca. j​eder 500. Messwert außerhalb d​er dreifachen Standardabweichung.

Da der Anteil der Werte außerhalb der sechsfachen Standardabweichung mit ca. 2 ppb verschwindend klein wird, gilt ein solches Intervall als gutes Maß für eine nahezu vollständige Abdeckung aller Werte. Das wird im Qualitätsmanagement durch die Methode Six Sigma genutzt, indem die Prozessanforderungen Toleranzgrenzen von mindestens ${\displaystyle 6\sigma }$ vorschreiben. Allerdings geht man dort von einer langfristigen Erwartungswertverschiebung um 1,5 Standardabweichungen aus, sodass der zulässige Fehleranteil auf 3,4 ppm steigt. Dieser Fehleranteil entspricht einer viereinhalbfachen Standardabweichung (${\displaystyle 4{,}5\ \sigma }$). Ein weiteres Problem der ${\displaystyle 6\sigma }$-Methode ist, dass die ${\displaystyle 6\sigma }$-Punkte praktisch nicht bestimmbar sind. Bei unbekannter Verteilung (d. h., wenn es sich nicht ganz sicher um eine Normalverteilung handelt) grenzen zum Beispiel die Extremwerte von 1.400.000.000 Messungen ein 75-%-Konfidenzintervall für die ${\displaystyle 6\sigma }$-Punkte ein.[6]

Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit (Prozent innerhalb) von der Größe des Streuintervalls ${\displaystyle p(z)}$

Abhängigkeit der Streuintervallgrenze von der eingeschlossenen Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle z(p)}$

Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle ${\displaystyle \left(\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma \right)}$

${\displaystyle z\sigma }$	Prozent innerhalb	Prozent außerhalb	ppb außerhalb	Bruchteil außerhalb
0,674490 ${\displaystyle \sigma }$	50 %	50 %	500.000.000	1 / 2
0,994458 ${\displaystyle \sigma }$	68 %	32 %	320.000.000	1 / 3,125
1 ${\displaystyle \sigma }$	68,268 9492 %	31,731 0508 %	317.310.508	1 / 3,151 4872
1,281552 ${\displaystyle \sigma }$	80 %	20 %	200.000.000	1 / 5
1,644854 ${\displaystyle \sigma }$	90 %	10 %	100.000.000	1 / 10
1,959964 ${\displaystyle \sigma }$	95 %	5 %	50.000.000	1 / 20
2 ${\displaystyle \sigma }$	95,449 9736 %	4,550 0264 %	45.500.264	1 / 21,977 895
2,354820 ${\displaystyle \sigma }$	98,146 8322 %	1,853 1678 %	18.531.678	1 / 54
2,575829 ${\displaystyle \sigma }$	99 %	1 %	10.000.000	1 / 100
3 ${\displaystyle \sigma }$	99,730 0204 %	0,269 9796 %	2.699.796	1 / 370,398
3,290527 ${\displaystyle \sigma }$	99,9 %	0,1 %	1.000.000	1 / 1.000
3,890592 ${\displaystyle \sigma }$	99,99 %	0,01 %	100.000	1 / 10.000
4 ${\displaystyle \sigma }$	99,993 666 %	0,006 334 %	63.340	1 / 15.787
4,417173 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 %	0,001 %	10.000	1 / 100.000
4,891638 ${\displaystyle \sigma }$	99,9999 %	0,0001 %	1.000	1 / 1.000.000
5 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 942 6697 %	0,000 057 3303 %	573,3303	1 / 1.744.278
5,326724 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 99 %	0,000 01 %	100	1 / 10.000.000
5,730729 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 999 %	0,000 001 %	10	1 / 100.000.000
6 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 999 8027 %	0,000 000 1973 %	1,973	1 / 506.797.346
6,109410 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 9999 %	0,000 0001 %	1	1 / 1.000.000.000
6,466951 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 999 99 %	0,000 000 01 %	0,1	1 / 10.000.000.000
6,806502 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 999 999 %	0,000 000 001 %	0,01	1 / 100.000.000.000
7 ${\displaystyle \sigma }$	99,999 999 999 7440 %	0,000 000 000 256 %	0,002 56	1 / 390.682.215.445

Die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p}$ für bestimmte Streuintervalle ${\displaystyle [\mu -z\sigma$ ;\mu +z\sigma ]} können berechnet werden als

${\displaystyle p=2\Phi (z)-1}$,

wobei ${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} x}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.

Umgekehrt können für gegebenes ${\displaystyle p\in (0,1)}$ durch

${\displaystyle z=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$

die Grenzen des zugehörigen Streuintervalls ${\displaystyle [\mu -z\sigma$ ;\mu +z\sigma ]} mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ berechnet werden.

Ein Beispiel (mit Schwankungsbreite)

Die Körpergröße d​es Menschen i​st näherungsweise normalverteilt. Bei e​iner Stichprobe v​on 1.284 Mädchen u​nd 1.063 Jungen zwischen 14 u​nd 18 Jahren w​urde bei d​en Mädchen e​ine durchschnittliche Körpergröße v​on 166,3 cm (Standardabweichung 6,39 cm) u​nd bei d​en Jungen e​ine durchschnittliche Körpergröße v​on 176,8 cm (Standardabweichung 7,46 cm) gemessen.[7]

Demnach lässt o​bige Schwankungsbreite erwarten, d​ass 68,3 % d​er Mädchen e​ine Körpergröße i​m Bereich 166,3 cm ± 6,39 cm u​nd 95,4 % i​m Bereich 166,3 cm ± 12,8 cm haben,

• 16 % [≈ (100 % − 68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160 cm (und 16 % entsprechend größer als 173 cm) sind und
• 2,5 % [≈ (100 % − 95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154 cm (und 2,5 % entsprechend größer als 179 cm) sind.

Für d​ie Jungen lässt s​ich erwarten, d​ass 68 % e​ine Körpergröße i​m Bereich 176,8 cm ± 7,46 cm u​nd 95 % i​m Bereich 176,8 cm ± 14,92 cm haben,

• 16 % der Jungen kleiner als 169 cm (und 16 % größer als 184 cm) und
• 2,5 % der Jungen kleiner als 162 cm (und 2,5 % größer als 192 cm) sind.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ der ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$-Verteilung erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} ={\frac {\sigma }{\mu }}.}$

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig von den Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ immer den Wert ${\displaystyle 0}$.

Wölbung

Die Wölbung ist ebenfalls von ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ unabhängig und ist gleich ${\displaystyle 3}$. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf ${\displaystyle 0}$ normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als Exzess bezeichnet.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$

Damit ist die erste Kumulante ${\displaystyle \kappa _{1}=\mu }$, die zweite ist ${\displaystyle \kappa _{2}=\sigma ^{2}}$ und alle weiteren Kumulanten verschwinden.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ ist

${\displaystyle \varphi _{Z}(t)=e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$.

Für eine Zufallsvariable ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ erhält man daraus mit ${\displaystyle X=\sigma Z+\mu }$:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (e^{it(\sigma Z+\mu )})=\operatorname {E} (e^{it\sigma Z}e^{it\mu })=e^{it\mu }\operatorname {E} (e^{it\sigma Z})=e^{it\mu }\varphi _{Z}(\sigma t)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er Normalverteilung lautet

${\displaystyle m_{X}(t)=\exp \left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.

Momente

Die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$-verteilt. Dann sind ihre ersten Momente wie folgt:

Ordnung	Moment	zentrales Moment
${\displaystyle k}$	${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})}$	${\displaystyle \operatorname {E} ((X-\mu )^{k})}$
0	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle 0}$
2	${\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}}$	${\displaystyle 0}$
4	${\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}}$	${\displaystyle 3\sigma ^{4}}$
5	${\displaystyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}}$	${\displaystyle 0}$
6	${\displaystyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}}$	${\displaystyle 15\sigma ^{6}}$
7	${\displaystyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}}$	${\displaystyle 0}$
8	${\displaystyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}}$	${\displaystyle 105\sigma ^{8}}$

Alle zentralen Momente ${\displaystyle \mu _{n}}$ lassen sich durch die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ darstellen:

${\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}0&{\text{wenn }}n{\text{ ungerade}}\\(n-1)!!\cdot \sigma ^{n}&{\text{wenn }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}}$

dabei w​urde die Doppelfakultät verwendet:

${\displaystyle (n-1)!!=(n-1)\cdot (n-3)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n{\text{ gerade}}.}$

Auch für ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ kann eine Formel für nicht-zentrale Momente angegeben werden. Dafür transformiert man ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ und wendet den binomischen Lehrsatz an.

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=\operatorname {E} ((\sigma Z+\mu )^{k})=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\operatorname {E} (Z^{j})\sigma ^{j}\mu ^{k-j}=\sum _{i=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{k \choose 2i}\operatorname {E} (Z^{2i})\sigma ^{2i}\mu ^{k-2i}=\sum _{i=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{k \choose 2i}(2i-1)!!\sigma ^{2i}\mu ^{k-2i}.}$

Invarianz gegenüber Faltung

Die Normalverteilung ist invariant gegenüber der Faltung, d. h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter stabile Verteilungen bzw. unter unendliche teilbare Verteilungen). Somit bildet die Normalverteilung eine Faltungshalbgruppe in ihren beiden Parametern. Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{b}}$ ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite

${\displaystyle \Gamma _{c}={\sqrt {\Gamma _{a}^{2}+\Gamma _{b}^{2}}}}$.

Sind also ${\displaystyle X,Y}$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2}),\ Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2}),}$

so i​st deren Summe ebenfalls normalverteilt:

${\displaystyle X+Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$.

Das k​ann beispielsweise m​it Hilfe v​on charakteristischen Funktionen gezeigt werden, i​ndem man verwendet, d​ass die charakteristische Funktion d​er Summe d​as Produkt d​er charakteristischen Funktionen d​er Summanden i​st (vgl. Faltungssatz d​er Fouriertransformation).

Gegeben seien allgemeiner ${\displaystyle n}$ unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2})}$. Dann ist jede Linearkombination wieder normalverteilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)}$

insbesondere i​st die Summe d​er Zufallsvariablen wieder normalverteilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$

und d​as arithmetische Mittel ebenfalls

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right).}$

Nach d​em Satz v​on Cramér g​ilt sogar d​ie Umkehrung: Ist e​ine normalverteilte Zufallsvariable d​ie Summe v​on unabhängigen Zufallsvariablen, d​ann sind d​ie Summanden ebenfalls normalverteilt.

Die Dichtefunktion d​er Normalverteilung i​st ein Fixpunkt d​er Fourier-Transformation, d. h., d​ie Fourier-Transformierte e​iner Gaußkurve i​st wieder e​ine Gaußkurve. Das Produkt d​er Standardabweichungen dieser korrespondierenden Gaußkurven i​st konstant; e​s gilt d​ie Heisenbergsche Unschärferelation.

Entropie

Die Normalverteilung hat die Entropie: ${\displaystyle \log \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$.

Da s​ie für gegebenen Erwartungswert u​nd gegebene Varianz d​ie größte Entropie u​nter allen Verteilungen hat, w​ird sie i​n der Maximum-Entropie-Methode o​ft als A-priori-Wahrscheinlichkeit verwendet.

Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen

Transformation zur Standardnormalverteilung

Eine Normalverteilung mit beliebigen ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ und der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ hat, wie oben erwähnt, die nachfolgende Beziehung zur ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$-Verteilung:

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$.

Darin ist ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Wenn ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, dann führt die Standardisierung

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle Z}$, denn

${\displaystyle P(Z\leq z)=P\left({\tfrac {X-\mu }{\sigma }}\leq z\right)=P\left(X\leq \sigma z+\mu \right)=F(\sigma z+\mu )=\Phi (z)}$.

Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ zur Glockenkurve von ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

→ Hauptartikel: Normal-Approximation

Die Normalverteilung k​ann zur Approximation d​er Binomialverteilung verwendet werden, w​enn der Stichprobenumfang hinreichend groß u​nd in d​er Grundgesamtheit d​er Anteil d​er gesuchten Eigenschaft w​eder zu groß n​och zu k​lein ist (Satz v​on Moivre-Laplace, zentraler Grenzwertsatz, z​ur experimentellen Bestätigung s​iehe auch u​nter Galtonbrett).

Ist ein Bernoulli-Versuch mit ${\displaystyle n}$ voneinander unabhängigen Stufen (bzw. Zufallsexperimenten) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle k}$ Erfolge allgemein durch ${\displaystyle P(X=k)={\tbinom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dotsc ,n}$ berechnen (Binomialverteilung).

Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn ${\displaystyle n}$ hinreichend groß und ${\displaystyle p}$ weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt ${\displaystyle np(1-p)\geq 9}$. Für den Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ gilt dann:

${\displaystyle \mu =n\cdot p}$ und ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}}$.

Damit gilt für die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma \geq 3}$.

Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: ${\displaystyle np\geq 4}$ und zugleich ${\displaystyle n(1-p)\geq 4}$.

Folgende Näherung i​st dann brauchbar:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x_{1}\leq X\leq x_{2})&=\underbrace {\sum _{k=x_{1}}^{x_{2}}{n \choose k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}} _{\mathrm {BV} }\\&\approx \underbrace {\Phi \left({\frac {x_{2}+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {x_{1}-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)} _{\mathrm {NV} }.\end{aligned}}}$

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn ${\displaystyle \sigma }$ einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

Da d​ie Binomialverteilung diskret ist, m​uss auf einige Punkte geachtet werden:

• Der Unterschied zwischen ${\displaystyle <}$ oder ${\displaystyle \leq }$ (sowie zwischen größer und größer gleich) muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei ${\displaystyle P(X_{\text{BV}}<x)}$ die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d. h.

${\displaystyle P(X_{\text{BV}}<x)=P(X_{\text{BV}}\leq x-1)}$ bzw. ${\displaystyle P(X_{\text{BV}}>x)=P(X_{\text{BV}}\geq x+1)}$,

damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.

Zum Beispiel: ${\displaystyle P(X_{\text{BV}}<70)=P(X_{\text{BV}}\leq 69)}$

• Außerdem ist

${\displaystyle P(X_{\text{BV}}\leq x)=P(0\leq X_{\text{BV}}\leq x)}$

${\displaystyle P(X_{\text{BV}}\geq x)=P(x\leq X_{\text{BV}}\leq n)}$

${\displaystyle P(X_{\text{BV}}=x)=P(x\leq X_{\text{BV}}\leq x)}$ (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)

und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.

Der große Vorteil d​er Approximation l​iegt darin, d​ass sehr v​iele Stufen e​iner Binomialverteilung s​ehr schnell u​nd einfach bestimmt werden können.

Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Der Quotient von zwei stochastisch unabhängigen ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$-standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist Cauchy-verteilt.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Das Quadrat einer normalverteilten Zufallsvariablen hat eine Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad. Also: Wenn ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$, dann ${\displaystyle Z^{2}\sim \chi ^{2}(1)}$. Weiterhin gilt: Wenn ${\displaystyle \chi ^{2}(r_{1}),\chi ^{2}(r_{2}),\dotsc ,\chi ^{2}(r_{n})}$ gemeinsam stochastisch unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen sind, dann gilt

${\displaystyle Y=\chi ^{2}(r_{1})+\chi ^{2}(r_{2})+\dotsb +\chi ^{2}(r_{n})\sim \chi ^{2}(r_{1}+\dotsb +r_{n})}$.

Daraus folgt mit unabhängig und standardnormalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dotsc ,Z_{n}}$:[8]

${\displaystyle Y=Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}\sim \chi ^{2}(n)}$

Weitere Beziehungen sind:

• Die Summe ${\displaystyle X_{n-1}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}}$ mit ${\displaystyle {\overline {Z}}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ und ${\displaystyle n}$ unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\dotsc ,n}$ genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung ${\displaystyle X_{n-1}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ mit ${\displaystyle (n-1)}$ Freiheitsgraden.

• Mit steigender Anzahl an Freiheitsgraden (df ≫ 100) nähert sich die Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung an.

• Die Chi-Quadrat-Verteilung wird zur Konfidenzschätzung für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit verwendet.

Beziehung zur Rayleigh-Verteilung

Der Betrag ${\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$, jeweils mit Mittelwert ${\displaystyle \mu _{X}=\mu _{Y}=0}$ und gleichen Varianzen ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sigma _{Y}^{2}=\sigma ^{2}}$, ist Rayleigh-verteilt mit Parameter ${\displaystyle \sigma >0}$.

Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung

Ist die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ normalverteilt mit ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, dann ist die Zufallsvariable ${\displaystyle Y=e^{X}}$ logarithmisch-normalverteilt, also ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}$.

Die Entstehung e​iner logarithmischen Normalverteilung i​st auf multiplikatives, d​ie einer Normalverteilung a​uf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen.

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn die stochastisch unabhängigen und identisch-normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},\dotsc ,X_{n}^{(1)}}$ und ${\displaystyle X_{1}^{(2)},X_{2}^{(2)},\dotsc ,X_{n}^{(2)}}$ die Parameter

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i}^{(1)})=\mu _{1},{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i}^{(1)})}}=\sigma _{1}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i}^{(2)})=\mu _{2},{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i}^{(2)})}}=\sigma _{2}}$

besitzen, d​ann unterliegt d​ie Zufallsvariable

${\displaystyle Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:={\frac {\sigma _{2}(n_{2}-1)\sum \limits _{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-{\overline {X}}^{(1)})^{2}}{\sigma _{1}(n_{1}-1)\sum \limits _{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-{\overline {X}}^{(2)})^{2}}}}$

einer F-Verteilung mit ${\displaystyle ((n_{1}-1,n_{2}-1))}$ Freiheitsgraden. Dabei sind

${\displaystyle {\overline {X}}^{(1)}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)},\quad {\overline {X}}^{(2)}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}}$.

Beziehung zur studentschen t-Verteilung

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ identisch normalverteilt sind mit den Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$, dann unterliegt die stetige Zufallsvariable

${\displaystyle Y_{n-1}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

mit dem Stichprobenmittel ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ und der Stichprobenvarianz ${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$ einer studentschen t-Verteilung mit ${\displaystyle (n-1)}$ Freiheitsgraden.

Für eine zunehmende Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die studentsche t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an. Als Faustregel gilt, dass man ab ca. ${\displaystyle df>30}$ die studentsche t-Verteilung bei Bedarf durch die Normalverteilung approximieren kann.

Die studentsche t-Verteilung w​ird zur Konfidenzschätzung für d​en Erwartungswert e​iner normalverteilten Zufallsvariable b​ei unbekannter Varianz verwendet.

Rechnen mit der Standardnormalverteilung

Bei Aufgabenstellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle {\sigma }^{2}}$-normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedes Mal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach die Transformation

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

verwendet, um eine ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ zu erzeugen.

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass z. B. ${\displaystyle X}$ im Intervall ${\displaystyle [x,y]}$ liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich einer Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x\leq X\leq y)&=P\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {y-\mu }{\sigma }}\right)\\&=P\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\leq Z\leq {\frac {y-\mu }{\sigma }}\right)\\&=\Phi \left({\frac {y-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\end{aligned}}}$.

Grundlegende Fragestellungen

Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert ${\displaystyle x}$ an, d. h., es wird das bestimmte Integral von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle x}$ berechnet.

Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten Wahrscheinlichkeit, bei der die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ kleiner oder nicht größer als eine bestimmte Zahl ${\displaystyle x}$ ist. Wegen der Stetigkeit der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun ${\displaystyle <}$ oder ${\displaystyle \leq }$ verlangt ist, weil z. B.

${\displaystyle P(X=3)=\int _{3}^{3}f(x)\mathrm {d} x=0}$ und somit ${\displaystyle P(X<3)=P(X\leq 3)}$.

Analoges g​ilt für „größer“ u​nd „nicht kleiner“.

Dadurch, dass ${\displaystyle X}$ nur kleiner oder größer als eine Grenze sein (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen liegen) kann, ergeben sich für Aufgaben bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu Normalverteilungen zwei grundlegende Fragestellungen:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ höchstens den Wert ${\displaystyle z}$ annimmt?

  ${\displaystyle P(Z\leq z)=\Phi (z)}$

In der Schulmathematik wird für diese Aussage gelegentlich auch die Bezeichnung linker Spitz verwendet, da die Fläche unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für ${\displaystyle z}$ sind auch negative Werte erlaubt. Allerdings haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge – wegen der Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel

${\displaystyle \Phi (-z)\ =\ 1-\Phi (z)}$

des „linken Spitzes“ stellt dies aber keine Einschränkung dar.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ mindestens den Wert ${\displaystyle z}$ annimmt?

${\displaystyle P(Z\geq z)=1-\Phi (z)}$

Hier wird gelegentlich die Bezeichnung rechter Spitz verwendet, mit

${\displaystyle P(Z\geq -z)=1-\Phi (-z)=1-(1-\Phi (z))=\Phi (z)}$

gibt es auch hier eine Negativitätsregel.

Da jede Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsvariable ${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$ mit der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend.

Streubereich und Antistreubereich

Häufig ist die Wahrscheinlichkeit für einen Streubereich von Interesse, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ Werte zwischen ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ annimmt:

${\displaystyle P(z_{1}\leq Z\leq z_{2})=\Phi (z_{2})-\Phi (z_{1})}$

Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (${\displaystyle z_{1}=-z_{2}}$, mit ${\displaystyle z_{2}>0}$) gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}P(-z\leq Z\leq z)&=P(|Z|\leq z)\\&=\Phi (z)-\Phi (-z)\\&=\Phi (z)-(1-\Phi (z))\\&=2\Phi (z)-1.\end{aligned}}}$

Für den entsprechenden Antistreubereich ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle Z}$ Werte außerhalb des Bereichs zwischen ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ annimmt, zu:

${\displaystyle P(Z\leq z_{1}{\text{ oder }}Z\geq z_{2})=\Phi (z_{1})+(1-\Phi (z_{2})).}$

Somit f​olgt bei e​inem symmetrischen Antistreubereich

${\displaystyle {\begin{aligned}P(Z\leq -z{\text{ oder }}Z\geq z)&=P(|Z|\geq z)\\&=\Phi (-z)+1-\Phi (z)\\&=1-\Phi (z)+1-\Phi (z)\\&=2-2\Phi (z).\end{aligned}}}$

Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung

Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z. B. bei der Qualitätssicherung von technischen oder wirtschaftlichen Produktionsprozessen. Hier gibt es einzuhaltende Toleranzgrenzen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand ${\displaystyle \epsilon }$ vom Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ (= dem optimalen Sollwert) gibt. Die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ kann hingegen empirisch aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.

Wurde ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]=[\mu -\epsilon$ ;\mu +\epsilon ]} als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor.

Im Falle d​es Streubereiches gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x_{1}\leq X\leq x_{2})&=P(|X-\mu |\leq \epsilon )\\&=P(\mu -\epsilon \leq X\leq \mu +\epsilon )\\&=P\left({\frac {-\epsilon }{\sigma }}\leq Z\leq {\frac {\epsilon }{\sigma }}\right)\\&=\Phi \left({\frac {\epsilon }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {-\epsilon }{\sigma }}\right)\\&=2\Phi \left({\frac {\epsilon }{\sigma }}\right)-1\\&=\gamma \end{aligned}}}$.

Der Antistreubereich ergibt s​ich dann aus

${\displaystyle P(|X-\mu |\geq \epsilon )=1-\gamma }$

oder w​enn kein Streubereich berechnet w​urde durch

${\displaystyle P(|X-\mu |\geq \epsilon )=2\cdot \left(1-\Phi \left({\frac {\epsilon }{\sigma }}\right)\right)=\alpha .}$

Das Ergebnis ${\displaystyle \gamma }$ ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während ${\displaystyle \alpha }$ die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$ und ${\displaystyle \epsilon }$ abhängig ist.

Ist bekannt, dass die maximale Abweichung ${\displaystyle \epsilon }$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist.

Testen auf Normalverteilung

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung

Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt.

Um z​u überprüfen, o​b vorliegende Daten normalverteilt sind, können u​nter anderen folgende Methoden u​nd Tests angewandt werden:

• Chi-Quadrat-Test
• Kolmogorow-Smirnow-Test
• Anderson-Darling-Test (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
• Lilliefors-Test (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
• Cramér-von-Mises-Test
• Shapiro-Wilk-Test
• Jarque-Bera-Test
• Q-Q-Plot (deskriptive Überprüfung)
• Maximum-Likelihood-Methode (deskriptive Überprüfung)

Die Tests h​aben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich d​er Art d​er Abweichungen v​on der Normalverteilung, d​ie sie erkennen. So erkennt d​er Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen i​n der Mitte d​er Verteilung e​her als Abweichungen a​n den Rändern, während d​er Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel a​uf stark abweichende Einzelwerte a​n den Rändern („schwere Ränder“) reagiert.

Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d. h., ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.

Mit Hilfe von Quantil-Quantil-Diagrammen bzw. Normal-Quantil-Diagrammen ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.
Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden.

Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests

→ Hauptartikel: Normalverteilungsmodell

Viele der statistischen Fragestellungen, in denen die Normalverteilung vorkommt, sind gut untersucht. Wichtigster Fall ist das sogenannte Normalverteilungsmodell, in dem man von der Durchführung von ${\displaystyle n}$ unabhängigen und normalverteilten Versuchen ausgeht. Dabei treten drei Fälle auf:

• der Erwartungswert ist unbekannt und die Varianz bekannt
• die Varianz ist unbekannt und der Erwartungswert ist bekannt
• Erwartungswert und Varianz sind unbekannt.

Je nachdem, welcher dieser Fälle auftritt, ergeben s​ich verschiedene Schätzfunktionen, Konfidenzbereiche o​der Tests. Diese s​ind detailliert i​m Hauptartikel Normalverteilungsmodell zusammengefasst.

Dabei k​ommt den folgenden Schätzfunktionen e​ine besondere Bedeutung zu:

• Das Stichprobenmittel

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

ist ein erwartungstreuer Schätzer für den unbekannten Erwartungswert sowohl für den Fall einer bekannten als auch einer unbekannten Varianz. Er ist sogar der beste erwartungstreue Schätzer, d. h. der Schätzer mit der kleinsten Varianz. Sowohl die Maximum-Likelihood-Methode als auch die Momentenmethode liefern das Stichprobenmittel als Schätzfunktion.

• Die unkorrigierte Stichprobenvarianz

${\displaystyle V(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{0})^{2}}$.

ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei gegebenem Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{0}}$. Auch sie kann sowohl aus der Maximum-Likelihood-Methode als auch aus der Momentenmethode gewonnen werden.

• Die korrigierte Stichprobenvarianz

${\displaystyle V^{*}(X)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$.

ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei unbekanntem Erwartungswert.

Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen

Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable ${\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$-verteilt, so ist ${\displaystyle a\cdot x+b}$ schließlich ${\displaystyle {\mathcal {N}}(b,a^{2})}$-verteilt.

Box-Muller-Methode

Nach der Box-Muller-Methode lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ aus zwei unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle U_{1},U_{2}\sim U(0,1)}$, sogenannten Standardzufallszahlen, simulieren:

${\displaystyle X=\cos(2\pi U_{1}){\sqrt {-2\ln U_{2}}}}$

und

${\displaystyle Y=\sin(2\pi U_{1}){\sqrt {-2\ln U_{2}}}.}$

Polar-Methode

→ Hauptartikel: Polar-Methode

Die Polar-Methode v​on George Marsaglia i​st auf e​inem Computer n​och schneller, d​a sie k​eine Auswertungen v​on trigonometrischen Funktionen benötigt:

1. Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ gleichverteilte Zufallszahlen ${\displaystyle u_{1}}$ und ${\displaystyle u_{2}}$
2. Berechne ${\displaystyle q=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}$. Falls ${\displaystyle q=0}$ oder ${\displaystyle q\geq 1}$, gehe zurück zu Schritt 1.
3. Berechne ${\displaystyle p={\sqrt {\frac {-2\cdot \ln q}{q}}}}$.
4. ${\displaystyle x_{i}=u_{i}\cdot p}$ für ${\displaystyle i=1,2}$ liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$.

Zwölferregel

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, d​ass sich u​nter bestimmten Voraussetzungen d​ie Verteilung d​er Summe unabhängig u​nd identisch verteilter Zufallszahlen e​iner Normalverteilung nähert.

Ein Spezialfall i​st die Zwölferregel, d​ie sich a​uf die Summe v​on zwölf Zufallszahlen a​us einer Gleichverteilung a​uf dem Intervall [0,1] beschränkt u​nd bereits z​u passablen Verteilungen führt.

Allerdings ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ bei den immer noch häufig verwendeten Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG) nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom Spektraltest für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der ${\displaystyle X_{i}}$ garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z. B. dem Mersenne-Twister (Standard in Python, GNU R) oder WELL genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren, sind daher i. d. R. der Zwölferregel vorzuziehen.

Verwerfungsmethode

Normalverteilungen lassen s​ich mit d​er Verwerfungsmethode (siehe dort) simulieren.

Inversionsmethode

Die Normalverteilung lässt s​ich auch m​it der Inversionsmethode berechnen.

Da das Fehlerintegral nicht explizit mit elementaren Funktionen integrierbar ist, kann man auf Reihenentwicklungen der inversen Funktion für einen Startwert und anschließende Korrektur mit dem Newtonverfahren zurückgreifen. Dazu werden ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$ und ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ benötigt, die ihrerseits mit Reihenentwicklungen und Kettenbruchentwicklungen berechnet werden können – insgesamt ein relativ hoher Aufwand. Die notwendigen Entwicklungen sind in der Literatur zu finden.[9]

Entwicklung d​es inversen Fehlerintegrals (wegen d​es Pols n​ur als Startwert für d​as Newtonverfahren verwendbar):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}x\right)=x{\Bigl (}a_{1}+x^{2}{\bigl (}a_{2}+x^{2}(\dotsb ){\bigr )}{\Bigr )}}$

mit d​en Koeffizienten

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=1,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {7}{30}},{\tfrac {127}{630}},{\tfrac {4369}{22680}},{\tfrac {34807}{178200}},\dotsc \end{aligned}}}$

Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Normalverteilung lässt s​ich auch z​ur Beschreibung n​icht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, e​twa in d​er Physik für d​as Amplitudenprofil d​er Gauß-Strahlen u​nd andere Verteilungsprofile.

Zudem findet s​ie Verwendung i​n der Gabor-Transformation.

Siehe auch

• Additives weißes gaußsches Rauschen
• Lineare Regression

Literatur

• Stephen M. Stigler: The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900. Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 978-0-674-40341-3.

Weblinks

• Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen
• Darstellung mit Programmcode (Memento vom 7. Februar 2018 im Internet Archive) in Visual Basic Classic
• Online-Rechner Normalverteilung

Einzelnachweise

1. Wolfgang Götze, Christel Deutschmann, Heike Link: Statistik. Lehr- und Übungsbuch mit Beispielen aus der Tourismus- und Verkehrswirtschaft. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-27233-0, S. 170 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Hans Wußing: Von Gauß bis Poincaré: Mathematik und Industrielle Revolution. S. 33.
3. Bei ${\displaystyle e^{x}}$ handelt es sich um die Exponentialfunktion mit der Basis ${\displaystyle e.}$
4. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 47.
5. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 48.
6. H. Schmid, A. Huber: Measuring a Small Number of Samples and the 3σ Fallacy. (PDF; 1,6 MB) In: IEEE Solid-State Circuits Magazine, Band 6, Nr. 2, 2014, S. 52–58, doi:10.1109/MSSC.2014.2313714.
7. Mareke Arends: Epidemiologie bulimischer Symptomatik unter 10-Klässlern in der Stadt Halle. Dissertation. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, 2005, Tabelle 9, S. 30. urn:nbn:de:gbv:3-000008151
8. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 49.
9. William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Addison-Wesley, 1980.