Charakteristische Funktion (Stochastik)

Als charakteristische Funktion bezeichnet m​an in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine spezielle komplexwertige Funktion, d​ie einem endlichen Maß o​der spezieller e​inem Wahrscheinlichkeitsmaß a​uf den reellen Zahlen beziehungsweise d​er Verteilung e​iner Zufallsvariable zugeordnet wird. Dabei w​ird das endliche Maß eindeutig d​urch seine charakteristische Funktion bestimmt u​nd umgekehrt, d​ie Zuordnung i​st also bijektiv.

Wesentlicher Nutzen v​on charakteristischen Funktionen l​iegt darin, d​ass viele schwerer greifbare Eigenschaften d​es endlichen Maßes s​ich als Eigenschaft d​er charakteristischen Funktion wiederfinden u​nd dort a​ls Eigenschaft e​iner Funktion leichter zugänglich sind. So reduziert s​ich beispielsweise d​ie Faltung v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen a​uf die Multiplikation d​er entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Definition

Gegeben sei ein endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Dann heißt die komplexwertige Funktion

${\displaystyle \varphi _{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

definiert durch

${\displaystyle \varphi _{\mu }(t):=\int _{\mathbb {R} }\exp(\mathrm {i} tx)\,\mu (\mathrm {d} x)}$

die charakteristische Funktion von ${\displaystyle \mu }$. Ist ${\displaystyle \mu =P}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so folgt die Definition analog. Ist speziell eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit Verteilung ${\displaystyle P_{X}}$ gegeben, so ist die charakteristische Funktion gegeben durch

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } (\exp(\mathrm {i} tX))}$

mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mathbb {E} }$.

Damit ergeben s​ich als wichtige Sonderfälle:

• Besitzt ${\displaystyle P_{X}}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (bezüglich des Riemann-Integrals) ${\displaystyle f_{X}(x)}$, so ist die charakteristische Funktion gegeben als

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\exp(\mathrm {i} tx)\,\mathrm {d} x}$.

• Besitzt ${\displaystyle P_{X}}$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle p_{X}}$, so ist die charakteristische Funktion gegeben als

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tx_{k})p_{X}(x_{k})}$.

In beiden Fällen i​st die charakteristische Funktion d​ie (stetige bzw. diskrete) Fourier-Transformierte d​er Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Als Schätzfunktion der charakteristische Funktion auf einer Stichprobe ${\displaystyle \{x_{1},\dots x_{N}\}}$ dient die empirische charakteristische Funktion:

${\displaystyle {\hat {\varphi }}_{X}(t)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\exp(\mathrm {i} tx_{i})}$

Elementare Beispiele

Ist ${\displaystyle X}$ Poisson-verteilt, so besitzt ${\displaystyle P_{X}}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle p_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\quad {\text{für}}\quad k\in \mathbb {N} }$.

Mit d​er oben aufgeführten Darstellung für d​ie charakteristische Funktion mittels Wahrscheinlichkeitsfunktionen ergibt s​ich dann

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tk){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(\lambda e^{it}\right)^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{\lambda (e^{it}-1)}}$

Ist ${\displaystyle Y}$ exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$, so besitzt ${\displaystyle P_{Y}}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

Damit ergibt sich

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\int _{0}^{\infty }e^{\mathrm {i} tx}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\mathrm {d} x=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{x(\mathrm {i} t-\lambda )}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -\mathrm {i} t}}}$

Weitere Beispiele für Charakteristische Funktionen s​ind weiter u​nten im Artikel tabelliert o​der befinden s​ich direkt i​m Artikel über d​ie entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Eigenschaften als Funktion

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen, die auf (−1,1) stetig gleichverteilt ist. Im Allgemeinen sind charakteristische Funktionen jedoch nicht reell-wertig.

Existenz

Die charakteristische Funktion existiert für beliebige endliche Maße u​nd somit a​uch Wahrscheinlichkeitsmaße bzw. Verteilungen v​on Zufallsvariablen, d​a wegen

${\displaystyle \left|e^{\mathrm {i} tx}\right|=1}$

das Integral s​tets existiert.

Beschränktheit

Jede charakteristische Funktion ist immer beschränkt, es gilt für eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, dass

${\displaystyle \left|\varphi _{X}(t)\right|\leq \varphi _{X}(0)=1}$.

Im allgemeinen Fall eines endlichen Maßes ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ gilt

${\displaystyle \left|\varphi _{\mu }(t)\right|\leq \varphi _{\mu }(0)=\mu (\mathbb {R} )}$.

Symmetrie

Die charakteristische Funktion ${\displaystyle \varphi _{X}}$ ist genau dann reellwertig, wenn die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ symmetrisch ist.

Des Weiteren ist ${\displaystyle \varphi _{X}}$ stets hermitesch, das heißt, es gilt

${\displaystyle \varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}}$.

Gleichmäßige Stetigkeit

${\displaystyle \varphi _{X}}$ ist eine gleichmäßig stetige Funktion.

Charakterisierung

Interessant ist insbesondere, wann eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist. Eine hinreichende Bedingung liefert der Satz von Pólya (nach George Pólya): Ist eine Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$

• konvex auf ${\displaystyle [0,\infty )}$ sowie
• stetig und gerade

und gilt außerdem ${\displaystyle f(0)=1}$, so ist sie die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Eine notwendige u​nd hinreichende Bedingung liefert d​er Satz v​on Bochner (nach Salomon Bochner):

Eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

ist genau dann die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wenn ${\displaystyle f}$ eine positiv semidefinite Funktion ist und ${\displaystyle f(0)=1}$ gilt.

Weitere Eigenschaften

Lineare Transformation

${\displaystyle \varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,.}$

Umkehrbarkeit

Ist ${\displaystyle \varphi _{X}}$ integrierbar, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle X}$ rekonstruieren als

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\,.}$

Momenterzeugung

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}}$ für alle natürlichen ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, falls ${\displaystyle \mathbb {E} (|X|^{k})<\infty }$.

In dieser Eigenschaft i​st die charakteristische Funktion ähnlich z​ur momenterzeugenden Funktion.

Insbesondere ergeben s​ich die Spezialfälle

${\displaystyle \mathbb {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\,,}$

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{2})=-\varphi _{X}''(0)\,.}$

Wenn für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ der Erwartungswert ${\displaystyle \mathbb {E} (|X|^{n})}$ endlich ist, dann ist ${\displaystyle \varphi _{X}}$ ${\displaystyle n}$-mal stetig differenzierbar und in eine Taylor-Reihe um ${\displaystyle 0}$ entwickelbar:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{k!}}t^{k}+R_{n+1}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(\mathrm {i} t)^{k}}{k!}}\mathbb {E} (X^{k})+R_{n+1}(t)\,.}$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \mathbb {E} (X)=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=1}$:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+R_{3}(t)\quad {\text{mit}}\quad \lim \limits _{t\rightarrow 0}{\frac {R_{3}(t)}{t^{2}}}=0\,.}$

Faltungsformel für Dichten

Bei unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ gilt für die charakteristische Funktion der Summe ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,,}$

denn w​egen der Unabhängigkeit gilt

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} t(X_{1}+X_{2})}\right)=\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}\right)\mathbb {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,.}$

Charakteristische Funktion von zufälligen Summen

Sind ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen und ${\displaystyle N}$ eine ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-wertige Zufallsvariable, die von allen ${\displaystyle X_{i}}$ unabhängig ist, so lässt sich die charakteristische Funktion der Zufallsvariable

${\displaystyle S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ${\displaystyle m_{N}(t)}$ von ${\displaystyle N}$ und der charakteristischen Funktion von ${\displaystyle X_{1}}$ darstellen:

${\displaystyle \varphi _{S}(t)=m_{N}(\varphi _{X_{1}}(t))}$.

Eindeutigkeitssatz

Es gilt der folgende Eindeutigkeitssatz: Wenn ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ Zufallsvariablen sind und ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\varphi _{Y}(t)}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ gilt, dann ist ${\displaystyle X{\overset {d}{=}}Y}$, d. h. ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ haben die gleiche Verteilungsfunktion. Folglich kann damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmt werden.

Aus dem Eindeutigkeitssatz lässt sich der Stetigkeitssatz von Lévy folgern: Wenn ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Zufallsvariablen ist, dann gilt ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {d}{\rightarrow }}X}$ (Konvergenz in Verteilung) genau dann, wenn ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{X_{n}}(t)=\varphi _{X}(t)}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ gilt. Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsätzen ausgenutzt werden.

Beispiele

Verteilung	Charakteristische Funktion ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$
Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left(pe^{\mathrm {i} t}+1-p\right)^{n}}$
Poisson-Verteilung ${\displaystyle X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\lambda \left(e^{\mathrm {i} t}-1\right)}}$
Negative Binomialverteilung ${\displaystyle X\sim \operatorname {NegBin} (r,p)}$	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {1-pe^{\mathrm {i} t}}{1-p}}\right)^{-r}}$
Absolutstetige Verteilungen
${\displaystyle X\sim N(0,1)}$ standardnormalverteilt	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$
${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ normalverteilt	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mathrm {i} t\mu }e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$
${\displaystyle X\sim U(a,b)}$ gleichverteilt	${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{\mathrm {i} bt}-e^{\mathrm {i} at}}{\mathrm {i} (b-a)t}}}$
${\displaystyle X\sim \;C(0,1)}$ Standard-Cauchy-verteilt	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-|t|}}$
${\displaystyle X\sim \;G(p,b)}$ gammaverteilt	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\left({\frac {b}{b-\mathrm {i} t}}\right)^{p}}$

Allgemeinere Definitionen

Definition für mehrdimensionale Zufallsvariablen

Die charakteristische Funktion lässt sich auf ${\displaystyle \ell }$-dimensionale reelle Zufallsvektoren ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}$ wie folgt erweitern:

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(t)=\varphi _{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\mathbb {E} (e^{i\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\mathbb {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{it_{j}X_{j}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}}$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Definition für nukleare Räume

Auch für nukleare Räume existiert der Begriff der charakteristischen Funktion. Die Funktion ${\displaystyle \varphi :N\rightarrow \mathbb {C} }$, definiert auf dem nuklearen Raum ${\displaystyle N}$, heißt charakteristische Funktion, wenn folgende Eigenschaften gelten:

• ${\displaystyle \varphi }$ ist stetig,
• ${\displaystyle \varphi }$ ist positiv definit, d. h. für jede Wahl ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\in N,}$ ist

${\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}\alpha _{j}{\overline {\alpha _{k}}}\varphi (\xi _{j}-\xi _{k})\geq 0,}$

• ${\displaystyle \varphi }$ ist normiert, d. h. ${\displaystyle \varphi (0)=1.}$

In diesem Fall besagt der Satz von Bochner-Minlos, dass ${\displaystyle \varphi }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem topologischen Dualraum ${\displaystyle N^{\prime }}$ induziert.

Für zufällige Maße

Die charakteristische Funktion lässt sich auch für zufällige Maße definieren. Sie ist dann jedoch ein Funktional, ihre Argumente sind also Funktionen. Ist ${\displaystyle X}$ ein zufälliges Maß, so ist die charakteristische Funktion gegeben als

${\displaystyle \varphi _{X}(f)=\mathbb {E} \left(\exp \left(i\int f\mathrm {d} X\right)\right)}$

für alle beschränkten, messbaren reellwertigen Funktionen ${\displaystyle f}$ mit kompaktem Träger. Das zufällige Maß ist durch die Werte der charakteristischen Funktion an allen positiven stetigen Funktionen mit kompaktem Träger eindeutig bestimmt.[1]

Beziehung zu anderen erzeugenden Funktionen

Außer d​en charakteristischen Funktionen spielen n​och die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen u​nd die momenterzeugenden Funktionen e​ine wichtige Rolle i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-wertigen Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist definiert als ${\displaystyle m_{X}(t)=\mathbb {E} (t^{X})}$. Demnach gilt der Zusammenhang ${\displaystyle m_{X}(e^{it})=\varphi _{X}(t)}$.

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als ${\displaystyle M_{X}(t):=\mathbb {E} (e^{tX})}$. Demnach gilt der Zusammenhang ${\displaystyle M_{iX}(t)=M_{X}(it)=\varphi _{X}(t)}$, wenn die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur charakteristischen Funktion ist dies nicht immer der Fall.

Außerdem g​ibt es n​och die kumulantenerzeugende Funktion a​ls Logarithmus d​er momenterzeugenden Funktion. Aus i​hr wird d​er Begriff d​er Kumulante abgeleitet.

Einzelnachweise

1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 553, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Literatur

• Eugene Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960. 2., erweiterte Auflage 1970, ISBN 0-85264-170-2
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Weblinks

• N.N. Vakhania: Characteristic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Todd Rowland: Characteristic Function. In: MathWorld (englisch).