Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und eine Folge ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$,

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

so nennt man ${\displaystyle X}$ stabil verteilt, wobei ${\displaystyle \sim }$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl ${\displaystyle c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]}$ ist. Die reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes ${\displaystyle \alpha }$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

• Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter ${\displaystyle \alpha =2}$, denn bekanntlich gilt

${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter ${\displaystyle \alpha =2}$.

• Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\rm {Cauchy}}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\,{\rm {Cauchy}}(0,a)}$

sie ist also stabil mit Formparameter ${\displaystyle \alpha =1}$.

• Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$.

Eigenschaften

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters

• Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist für ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ gegeben durch[1]

${\displaystyle \psi _{\alpha ,\beta }(u)=\exp \left(-|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname {sgn}(u)\right)\right)}$.

Der Parameter ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

Für ${\displaystyle \alpha =1}$ ergibt sich

${\displaystyle \psi _{\alpha ,\beta }(u)=\exp \left(-|u|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\log(|u|)\operatorname {sgn}(u)\right)\right)}$.

• Endliche Varianz existiert nur für ${\displaystyle \alpha =2}$. Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz.
• Für ${\displaystyle 1<\alpha \leq 2}$ hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
• Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise

1. Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.