Stammfunktion

Eine Stammfunktion o​der ein unbestimmtes Integral i​st eine mathematische Funktion, d​ie man i​n der Differentialrechnung, e​inem Teilgebiet d​er Analysis, untersucht. Es k​ann je n​ach Kontext erforderlich sein, zwischen diesen beiden Begriffen z​u unterscheiden (siehe Abschnitt "Unbestimmtes Integral").

Definition

Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion ${\displaystyle f}$ versteht man eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle F,}$ deren Ableitungsfunktion ${\displaystyle F'}$ mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt. Ist also ${\displaystyle f}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I}$ definiert, so muss ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle I}$ definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle I}$ gelten:

${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

Existenz und Eindeutigkeit

Jede auf einem Intervall stetige Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ besitzt eine Stammfunktion. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ${\displaystyle f}$ nämlich integrierbar und die Integralfunktion

${\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

ist eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$.

Ist ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen ${\displaystyle f}$ nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. Notwendig für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass die Funktion den Zwischenwertsatz erfüllt. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen.

Besitzt eine Funktion ${\displaystyle f}$ eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, so ist für jede beliebige reelle Zahl ${\displaystyle C}$ auch die durch ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ definierte Funktion ${\displaystyle G}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$. Ist der Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen: Sind ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ zwei Stammfunktionen von ${\displaystyle f}$, so ist ${\displaystyle G-F}$ konstant. Ist der Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen von ${\displaystyle f}$ nicht notwendigerweise konstant, aber lokal konstant, das heißt, konstant auf jeder zusammenhängenden Teilmenge des Definitionsbereichs.

Unbestimmtes Integral

Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral ${\displaystyle \textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}$ von ${\displaystyle f}$ als Synonym für eine Stammfunktion verstanden.[1] Das Problem dieser Definition ist, dass der Ausdruck ${\displaystyle f\mapsto \textstyle \int f(x)\mathrm {d} x}$ widersinnig ist. Denn in diesem Fall ist das unbestimmte Integral keine Abbildung, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion ${\displaystyle f}$ abgebildet werden soll. Da die Konstante, um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}$ als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren.[2] Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte Äquivalenzklassen sind.

Eine e​twas weniger geläufige Methode, d​as unbestimmte Integral z​u definieren, i​st es, e​s als Parameterintegral

${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

aufzufassen.[3] Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt dieser Ausdruck für jede stetige Funktion ${\displaystyle f}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$. Erweitert man diese Definition noch auf Lebesgue-Integrale über beliebigen Maßräumen, so ist das unbestimmte Integral im Allgemeinen keine Stammfunktion mehr.[4]

Beispiele

• Eine Stammfunktion der Polynomfunktion ${\displaystyle x^{3}+5x+6}$ ist beispielsweise ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}+6x+3}$. Die Konstante ${\displaystyle 3}$ wurde dabei frei gewählt, in diesem Fall konnte diese Stammfunktion durch Umkehrung elementarer Ableitungsregeln gewonnen werden.
• Betrachtet man die Funktion
  ${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1&x<0\\1&x\geq 0,\end{cases}}}$
  dann gilt ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{x}\operatorname {sgn} (t)\mathrm {d} t=|x|}$. Die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ist auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, nicht jedoch auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$, denn ${\displaystyle |x|}$ ist für ${\displaystyle x=0}$ nicht differenzierbar.

Anwendung

Ist ${\displaystyle f}$ eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetige (oder allgemeiner Riemann-integrierbare[5]) Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion ${\displaystyle F}$ von ${\displaystyle f}$ das bestimmte Integral von ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle [a,b]}$ berechnen:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$

Stammfunktionen werden d​aher für verschiedene Berechnungen benötigt, z. B.:

• für das Bestimmen der Größe einer Fläche, die von Funktionsgraphen begrenzt wird
• Volumenberechnung für Rotationskörper

Abgeschlossenheit/Integrationsregeln

Für das Differenzieren gibt es einfache Regeln. Dagegen ist die Situation beim unbestimmten Integrieren ganz anders, da die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt, z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen ${\displaystyle \ln }$ und ${\displaystyle \arctan }$. Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die einfache Funktion ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ keine elementare Stammfunktion besitzt. Auch die einfache Funktion ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\ln x}}}$ besitzt keine elementare Stammfunktion. Dagegen ist ${\displaystyle \textstyle \int {\tfrac {\ln x}{x}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}x}$.

Da e​s keine allgemeine Regel z​ur Bestimmung v​on Stammfunktionen gibt, werden Stammfunktionen i​n sogenannten Integraltafeln tabelliert. Computeralgebrasysteme (CAS) s​ind heute i​n der Lage, f​ast alle bisher tabellierten Integrale z​u berechnen. Der Risch-Algorithmus löst d​as Problem d​er algebraischen Integration elementarer Funktionen u​nd kann entscheiden, o​b eine elementare Stammfunktion existiert.

Stammfunktionen für komplexe Funktionen

Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch für komplexe Funktionen formulieren. Weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und ${\displaystyle z_{0}\in D}$, dann gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ in ${\displaystyle D}$ und eine Stammfunktion ${\displaystyle F\colon U\to \mathbb {C} }$ von ${\displaystyle f|U}$, d. h. ${\displaystyle F'(z)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle z\in U}$.

Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz ${\displaystyle D}$ hängt mit topologischen Eigenschaften von ${\displaystyle D}$ zusammen.

Für eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle D}$ offen und zusammenhängend sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Die Funktion ${\displaystyle f}$ hat eine Stammfunktion ${\displaystyle F}$ auf ganz ${\displaystyle D}$, das heißt, ${\displaystyle F}$ ist holomorph und ${\displaystyle f}$ ist die komplexe Ableitung von ${\displaystyle F}$.
2. Wegintegrale über ${\displaystyle f}$ hängen nur von den Endpunkten des Weges ab.
3. Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0.

Für ein Gebiet ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ sind äquivalent:

1. Jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ hat eine Stammfunktion ${\displaystyle F}$.
2. Jeder stetige, geschlossene Weg ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}$ ist nullhomotop.
3. Jeder stetige, geschlossene Weg ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}$ ist nullhomolog.
4. ${\displaystyle D}$ ist einfach zusammenhängend.

Siehe auch

• Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
• Faltung, für eine Methode zur Interpretation und zum Finden von Stammfunktionen.

Weblinks

• The Integrator – Berechnung von Stammfunktionen online
• Integralrechner mit Rechenweg – Berechnung von Stammfunktionen mit Rechenweg und schrittweiser Erklärung
• Applet zur Integralfunktion – interaktive Arbeitsblätter mit Lösungen zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion
• Video: Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Hauptsatz. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9907.

Einzelnachweise

1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, Kap. 76.
2. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201
3. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 201.
4. I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt am Main, ISBN 3-87144-217-8, S. 408.
5. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1977, ISBN 3-423-03008-9, S. 333.