F-Verteilung

Die F-Verteilung o​der Fisher-Verteilung, a​uch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher u​nd George W. Snedecor), i​st eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt s​ich als Quotient zweier jeweils d​urch die zugehörige Anzahl d​er Freiheitsgrade geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt z​wei unabhängige Freiheitsgrade a​ls Parameter u​nd bildet s​o eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung w​ird häufig i​n einem Test verwendet (F-Test), u​m festzustellen, o​b der Unterschied zweier Stichprobenvarianzen a​uf statistischer Schwankung beruht o​der ob e​r auf unterschiedliche Grundgesamtheiten hinweist. Auch i​m Rahmen d​er Varianzanalyse w​ird mit e​iner F-Statistik a​uf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet.[1]

Definition

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$

Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung ${\displaystyle F(m,n)}$, mit ${\displaystyle m}$ Freiheitsgraden im Zähler und ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x\mid m,n)=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {x^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mx+n)^{\frac {m+n}{2}}}},\quad x>0}$

besitzt. Dabei ist mit ${\displaystyle \Gamma (x)}$ die Gammafunktion an der Stelle ${\displaystyle x}$ bezeichnet.

Historisch bildet d​ie nachfolgende Definition d​en Ursprung d​er F-Verteilung a​ls die Verteilung d​er Größe

${\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}},}$

wobei ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ unabhängige, Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden sind.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert existiert nur für ${\displaystyle n>2}$ und hat dann den Wert

${\displaystyle \operatorname {E} (F_{m,n})={\frac {n}{n-2}}}$.

Varianz

Die Varianz ist nur für ${\displaystyle n>4}$ definiert und lautet dann

${\displaystyle \operatorname {Var} (F_{m,n})={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$.

Verteilungsfunktion

Die Werte der Verteilung ${\displaystyle P(X\leq x)=F(x|m;n)}$ werden meist numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i. A. nicht notwendig, sodass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

${\displaystyle F^{-1}(p;m;n)={\frac {1}{F^{-1}(1-p;n;m)}},}$

wobei ${\displaystyle F^{-1}(p;m;n)}$ das ${\displaystyle p}$-Quantil der F-Verteilung mit ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt s​ich geschlossen ausdrücken als

${\displaystyle F(x|m;n)=I\left({\frac {m\cdot x}{m\cdot x+n}},{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right),}$

wobei ${\displaystyle I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\cdot \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t}$ die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum

Für ${\displaystyle m>2}$ nimmt ${\displaystyle f}$ an der Stelle

${\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\frac {n(m-2)}{m(n+2)}}}$

das Maximum an.

Entropie

Die Entropie d​er F-Verteilung (ausgedrückt i​n nats) beträgt

${\displaystyle H(X)=\ln \left({\frac {n}{m}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {m}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)}}\right)+\left(1-{\frac {m}{2}}\right)\psi \left({\frac {m}{2}}\right)-\left(1+{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {m+n}{2}}\psi \left({\frac {m+n}{2}}\right),}$

wobei ${\displaystyle \psi }$ die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Das Zeichen ${\displaystyle \sim }$ bedeutet im Folgenden „ist verteilt wie“.

Beziehung zur Beta-Verteilung

Die Zufallsvariable

${\displaystyle Y={\frac {{\frac {m}{n}}F_{m,n}}{1+{\frac {m}{n}}F_{m,n}}}}$

ist betaverteilt mit Parametern ${\displaystyle m/2}$ und ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle \left(Y\sim \operatorname {Beta} (m/2,n/2)\right).}$ Es gilt:

${\displaystyle Y\sim {\frac {\chi _{m}^{2}}{\chi _{m}^{2}+\chi _{n}^{2}}}}$

wobei ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsgrößen sind mit ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den unabhängigen ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit ${\displaystyle m}$ bzw. ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden lässt sich

${\displaystyle F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}$

konstruieren. Diese Zufallsvariable ist ${\displaystyle F(m,n)}$-verteilt.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\delta ,m)}$ und ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(n)}$ ist

${\displaystyle Z={\frac {X/m}{Y/n}}}$

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung ${\displaystyle Z\sim F(\delta ,m,n)}$ mit Nichtzentralitäts-Parameter ${\displaystyle \delta }$. Dabei ist ${\displaystyle \chi ^{2}(\delta ,\,m)}$ eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitäts-Parameter ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle m}$ Freiheitsgraden. Für ${\displaystyle \delta =0}$ ergibt sich die zentrale F-Verteilung ${\displaystyle F(m,\,n)}$.

Dichte der nichtzentralen F-Verteilung

${\displaystyle g(z|m,n,\delta )=f(z|m,n)\cdot e^{-\delta /2}{}_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left({\frac {m+n}{2}},{\frac {m}{2}},{\frac {m\cdot z\cdot \delta }{2(m\cdot z+n)}}\right).}$[2]

Die Funktion ${\displaystyle {}_{1}{\mathcal {F}}_{1}(a,b,x)}$ ist eine spezielle hypergeometrische Funktion, auch Kummersche Funktion genannt und ${\displaystyle f(x|m,n)}$ repräsentiert die oben angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.

Erwartungswert u​nd Varianz d​er nichtzentralen F-Verteilung s​ind gegeben durch

${\displaystyle {\frac {n(1+\delta /m)}{n-2}}}$ mit ${\displaystyle n>2}$

und

${\displaystyle {\frac {2n^{2}(m(1+\delta /m)^{2}+(n-2)(1+2\delta /m))}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$ mit ${\displaystyle n>4.}$

Beide ergeben bei ${\displaystyle \delta \to 0}$ die Formeln der zentralen F-Verteilung.

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{m},Y_{1},Y_{2},\dotsc ,Y_{n}}$ die Parameter

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=\mu ,\quad \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{j})=\nu ,\quad \operatorname {Var} (Y_{j})=\tau ^{2}}$

besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen ${\displaystyle S_{X}^{2}}$ und ${\displaystyle S_{Y}^{2}}$ unabhängig, und es gilt:

${\displaystyle {\frac {S_{X}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{m-1}^{2}/(m-1)}$

${\displaystyle {\frac {S_{Y}^{2}}{\tau ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}/(n-1)}$

Deshalb unterliegt d​ie Zufallsvariable

${\displaystyle F={\frac {S_{X}^{2}/\sigma ^{2}}{S_{Y}^{2}/\tau ^{2}}}}$

einer F-Verteilung mit ${\displaystyle m-1}$ Freiheitsgraden im Zähler und ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden im Nenner.

Beziehung zur Studentschen t-Verteilung

Wenn ${\displaystyle X\sim t_{n}}$ (Studentsche t-Verteilung), dann ist ${\displaystyle X^{2}\sim F(1,n).}$

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit ${\displaystyle m=1}$ und ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind.[3]

${\displaystyle g_{\chi _{m}^{2},\chi _{n}^{2}}(x,y)=\left({\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}\Gamma ({\tfrac {m}{2}})}}x^{{\frac {m}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}\right)\cdot \left({\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}y^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {y}{2}}\right\}\right)}$.

Mit d​er Transformation

${\displaystyle f={\frac {x/m}{y/n}},v=y}$

bekommt man die gemeinsame Dichte von ${\displaystyle F={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}}$ und ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle f\geq 0}$ und ${\displaystyle v\geq 0}$ gilt.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (f,v)}}={\begin{vmatrix}{\frac {m}{n}}v&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\frac {m}{n}}v}$

Der Wert ${\displaystyle \Diamond }$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also

${\displaystyle g_{F,\chi _{n}^{2}}(f,v)={\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}\Gamma ({\frac {m}{2}})}}\left(fv\,{\frac {m}{n}}\right)^{{\frac {m}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}(fv\,{\frac {m}{n}})}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\frac {m}{n}}v.}$

Gesucht ist nun die Randverteilung ${\displaystyle g_{m,\,n}(f)}$ als Integral über die nicht interessierende Variable ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle g_{m,n}(f)=\int \limits _{0}^{\infty }g_{F,\chi _{n}^{2}}(f,v)\,dv={\frac {({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}f^{{\frac {m}{2}}-1}}{2^{\frac {m+n}{2}}\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{{\frac {m+n}{2}}-1}e^{-{\frac {v}{2}}(1+{\frac {m}{n}}f)}\,dv=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {f^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mf+n)^{\frac {m+n}{2}}}}.}$

Quantilfunktionen

Das ${\displaystyle p}$-Quantil der F-Verteilung ${\displaystyle x_{p}}$ ist die Lösung der Gleichung ${\displaystyle p=F(x_{p}|m,\,n)}$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

${\displaystyle x_{p}={\frac {nI^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}})}{m(1-I^{-1}(p,{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}))}}}$

mit ${\displaystyle I^{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert ${\displaystyle x_{p}}$ ist in der F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ eingetragen oder in der Quantiltabelle der Fisher-Verteilung zu finden.

Für einige Werte ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ lassen sich die Quantilsfunktionen ${\displaystyle x_{p}(m,\,n)}$ explizit ausrechnen. Man löst das Beta-Integral ${\displaystyle I({\tfrac {mx}{mx+n}},{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$ mit ${\displaystyle m,n=1,2,\dotsc ,}$ wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}m\downarrow ,\,n\rightarrow &1&2&3&4\\\hline 1&\tan({\frac {\pi }{2}}p)^{2}&{\frac {2p^{2}}{1-p^{2}}}&?&{\frac {4}{2\cos({\frac {2\arcsin(p)}{3}})-1}}-4\\\hline 2&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2}}}-1)&{\frac {p}{1-p}}&{\frac {3}{2}}({\frac {1}{(1-p)^{2/3}}}-1)&{\frac {2}{\sqrt {1-p}}}-2\\\hline 3&?&{\frac {2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}}}&?&?\\\hline 4&{\frac {1}{(4\sin({\frac {\arcsin(1-p)}{3}}))^{2}}}-{\frac {1}{4}}&{\frac {\sqrt {p}}{2(1-{\sqrt {p}})}}&?&{\frac {1}{{\frac {1}{2}}+\sin({\frac {\arcsin(1-2p)}{3}})}}-1\\\end{array}}}$

Aus d​er jeweils vollständigen Zeile u​nd Spalte k​ann man s​ogar die allgemeinen Ausdrücke für höhere Indizes ablesen. Man findet:

${\displaystyle x_{p}(2,\,n)={\frac {n}{2}}\left({\frac {1}{(1-p)^{2/n}}}-1\right)}$

${\displaystyle x_{p}(m,\,2)={\frac {2}{m}}\left({\frac {p^{2/m}}{1-p^{2/m}}}\right)}$

Siehe auch

• Fishersche z-Verteilung

Literatur

• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3.

Weblinks

• Statistischer Internetrechner
• Eric W. Weisstein: Snedecor’s F-Distribution. In: MathWorld (englisch).
• Tabelle der kritischen Werte der F-Verteilung

Einzelnachweise

1. P. R. Kinnear, C. D. Gray (2004): SPSS 12 MADE SIMPLE. Psychology Press. New York. S. 208–209.
2. Eric W. Weisstein: Snedecor’s F-Distribution. In: MathWorld (englisch).
3. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics. Universitetsforlaget, Bergen – Oslo – Tromsø S. 145 f.