Bose-Einstein-Statistik

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$ eines Quantenzustands der Energie ${\displaystyle E\,}$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Besetzungszahl ${\displaystyle \langle n\rangle }$ als Funktion der Energie ${\displaystyle E-\mu }$
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur ${\displaystyle T>0}$.
Das chemische Potential ${\displaystyle \mu }$ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei ${\displaystyle T=0\,\mathrm {K} }$ entspricht es der Fermi-Energie.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie ${\displaystyle E}$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen ${\displaystyle x,y,z,m\,}$ zweier Bosonen (${\displaystyle x,y\,}$ und ${\displaystyle z\,}$: Ortsvariable; ${\displaystyle m\,}$: Spinvariable) die Wellenfunktion ${\displaystyle \psi \,}$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt ${\displaystyle (\psi \rightarrow \psi )}$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt ${\displaystyle (\psi \rightarrow -\psi )}$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt s​ich für Bosonen d​ie folgende Formel:

${\displaystyle \langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}}$

mit

• dem chemischen Potential ${\displaystyle \mu }$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: ${\displaystyle \mu <E}$;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte ${\displaystyle E-\mu >0}$ definiert.
• der Energienormierung ${\displaystyle \beta }$. Die Wahl von ${\displaystyle \beta }$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu ${\displaystyle \beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)}$ mit der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$;
  • sie beträgt ${\displaystyle \beta =1/T}$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur ${\displaystyle T_{\lambda }}$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass ${\displaystyle \mu \,}$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad ${\displaystyle g_{i}=2s+1}$ zu multiplizieren (${\displaystyle s\,}$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

• U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).