Zipfsches Gesetz

Das Zipfsche Gesetz (nach George Kingsley Zipf, der dieses Gesetz in den 1930er Jahren aufstellte) ist ein Modell, mit dessen Hilfe man bei bestimmten Größen, die in eine Rangfolge gebracht werden, deren Wert aus ihrem Rang abschätzen kann. Häufige Verwendung findet das Gesetz in der Sprachwissenschaft (Linguistik), speziell in der Korpuslinguistik und Quantitativen Linguistik, wo es zum Beispiel versucht, die Häufigkeit von Wörtern in einem Text zur Rangfolge in Beziehung zu setzen. Das Zipfsche Gesetz markierte den Beginn dieses Ansatzes der Quantitativen Linguistik. Ihm liegt ein Potenzgesetz zugrunde, das von der Pareto-Verteilung bzw. Zipf-Verteilung mathematisch beschrieben wird.

Einfache Zipfverteilung

Die vereinfachte Aussage des Zipfschen Gesetzes lautet: Wenn die Elemente einer Menge – beispielsweise die Wörter eines Textes – nach ihrer Häufigkeit geordnet werden, ist die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ ihres Auftretens umgekehrt proportional zum Platz ${\displaystyle n}$ auf der Häufigkeitsliste (hier kurz "Rang" genannt):

${\displaystyle p(n)\sim {\tfrac {1}{n}}.}$

Der Normierungsfaktor bei ${\displaystyle N}$ Elementen ist durch die harmonische Reihe

${\displaystyle H_{N}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\approx \ln(N)+0{,}577\approx \ln(1{,}78\cdot N)}$

gegeben u​nd lässt s​ich nur für endliche Mengen angeben. Damit folgt:

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{H_{N}}}\cdot {\frac {1}{n}}\approx {\frac {1}{n\cdot \ln(1{,}78\cdot N)}}.}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Das Zipfsche Gesetz hat seinen Ursprung in der Linguistik. Es besagt, dass bestimmte Wörter viel häufiger auftreten als andere und die Verteilung einer Hyperbel ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ähnelt. Beispielsweise treten bei den meisten Sprachen Wörter umso seltener auf, je länger sie sind. Der Ordnungsparameter Rang n lässt sich als kumulative Größe beschreiben: Der Rang ${\displaystyle n}$ ist gleichbedeutend mit der Anzahl aller Elemente, die genauso groß oder größer sind als ${\displaystyle n}$. Für Rang 1 gibt es genau ein Element, nämlich das größte. Für Rang 2 sind es zwei, nämlich das erste und das zweite Element, für 3 drei usw.

Zipf nimmt einen einfachen reziproken Zusammenhang zum Rang an: ${\displaystyle y({\text{Rang}})\sim {\text{Rang}}^{-a}}$. In der ursprünglichen Form ist das Zipfsche Gesetz frei von Parametern, es ist ${\displaystyle a=1}$.

Die Zipfsche Verteilung entspricht d​er Pareto-Verteilung u​nter Vertauschung v​on Ordinate u​nd Abszisse:

${\displaystyle y(x)\sim x^{-a}{\text{ (Zipf) }}\Leftrightarrow x(y)\sim y^{\frac {-1}{a}}{\text{ (Pareto)}}}$.

Beide sind kumulative Verteilungsfunktionen, die einem Potenzgesetz gehorchen. Der Exponent ${\displaystyle e}$ der Verteilungsdichtefunktion lautet entsprechend:

${\displaystyle e=1+{\frac {1}{a}}}$

und für den einfachen Fall ${\displaystyle a=1}$:

${\displaystyle e=2}$.

Beispiele

Zipf-Verteilung der Worthäufigkeiten auf Basis von Effi Briest

Zipf-Buchstabenhäufigkeit eines deutschen Textes

Die Verteilung d​er Worthäufigkeiten i​n einem Text (linke Grafik) entspricht i​n etwa qualitativ e​iner einfachen Zipfschen Verteilung.

Das Zipfsche Gesetz gibt den Exponenten ${\displaystyle a}$ der kumulativen Verteilungsfunktion vor: ${\displaystyle a=1}$.

Der Fitwert für die Worthäufigkeiten beträgt jedoch ${\displaystyle a=0{,}83}$, gleichbedeutend mit dem Exponenten ${\displaystyle a_{\text{pareto}}=1{,}20}$ einer Paretoverteilung und dem Exponenten ${\displaystyle e}$ einer Potenz-Verteilungsdichtefunktion von ${\displaystyle e=2{,}20}$.

Auch d​ie Verteilung d​er Buchstabenhäufigkeiten ähnelt e​iner Zipfschen Verteilung. Eine Statistik basierend a​uf 20–30 Buchstaben i​st aber n​icht ausreichend, u​m den Verlauf m​it einer Potenzfunktion anzupassen.

Zipf-Verteilung und Messung der Größenverteilung von Städten

Ein weiteres Beispiel aus dem Artikel Pareto-Verteilung behandelt die Größenverteilung von Städten. Auch hier kann man bei einzelnen Ländern (z. B. Deutschland) einen Zusammenhang sehen, der einem Potenzgesetz zu gehorchen scheint, allerdings mit auffallenden Abweichungen. Die Grafik rechts stellt die Zipf-Näherung den Messwerten gegenüber. Der lineare Verlauf in der doppeltlogarithmischen Verteilung stützt die Annahme eines Potenzgesetzes. Anders als die Vermutung von Zipf hat der Exponent nicht den Wert 1, sondern den Wert 0,77, entsprechend einem Exponenten einer Potenzdichteverteilung von ${\displaystyle e=2{,}3}$. Diese Theorie, nach der sich die Einwohnerzahlen und Größen unabhängig voneinander entwickelnden Städten dennoch einem übergeordneten Gesetz folgend entwickeln, findet auch bei der Ermittlung zu erwartender Ortsgrößen Anwendung.[1]

Die Bedeutung d​er Zipf-Verteilung l​iegt in d​er schnellen qualitativen Beschreibung v​on Verteilungen a​us den unterschiedlichsten Bereichen, während d​ie Pareto-Verteilung d​en Exponenten d​er Verteilung verfeinert.

Beispielsweise i​st die Datenbasis für e​inen Fit b​ei der Angabe d​er Einwohnerzahl v​on nur sieben Städten z​u klein. Das Zipfsche Gesetz liefert e​ine Näherung:

Rang n	Stadt	Einwohner	1/Rang	p(n)	p(n)·Menschen	Abweichung in %
1	Berlin	3522896	1	0,39	3531136,31	−0,23
2	Hamburg	1626220	0,5	0,19	1765568,15	−8,57
3	München	1206683	0,33	0,13	1177045,44	2,46
4	Köln	946280	0,25	0,1	882784,08	6,71
5	Frankfurt	635150	0,2	0,08	706227,26	−11,19
6	Dortmund	594058	0,17	0,06	588522,72	0,93
7	Essen	624445	0,14	0,06	504448,04	19,22

Unter d​en Schlagworten Potenzgesetz, Skalengesetz o​der Selbstorganisation w​ird über Gründe für d​as Auftreten v​on Potenzverteilungen diskutiert.

Siehe auch

• Bradfords Gesetz
• George Udny Yule (Yule-Verteilung)

Literatur

• Helmut Birkhan: Das „Zipfsche Gesetz“, das schwache Präteritum und die germanische Lautverschiebung (= Österreichische Akademie der Wissenschaften. Philosophisch-Historische Klasse. Sitzungsberichte. 348). Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, Wien 1979, ISBN 3-700-10285-2.
• David Crystal: Die Cambridge Enzyklopädie der Sprache. Campus-Verlag, Frankfurt am Main u. a. 1993, ISBN 3-593-34824-1.
• Xavier Gabaix: Zipf's law for cities: An explanation. In: The Quarterly Journal of Economics. Bd. 114, Nr. 3, 1999, S. 739–767, doi:10.1162/003355399556133.
• Henri Guiter, Michail V. Arapov (Hrsg.): Studies on Zipf's Law (= Quantitative Linguistics. Bd. 16). Studienverlag Brockmeyer, Bochum 1982, ISBN 3-88339-244-8.
• Matteo Marsili, Yi-Cheng Zhang: Interacting Individuals Leading to Zipf's Law. In: Physical Review Letters. Bd. 80, Nr. 12, 1998, S. 2741–2744, doi:10.1103/PhysRevLett.80.2741.
• George Kingsley Zipf: The Psycho-Biology of Language. An Introduction to Dynamic Philology. Mifflin, Boston MA 1935, (The M.I.T. Press, Cambridge MA 1968).
• George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort. An Introduction to Human Ecology. Addison-Wesley, Cambridge MA 1949.

Weblinks

• Umfangreiche Bibliografie (Memento vom 1. November 2012 im Internet Archive)
• Zipf's law and the creation of musical context
• Zipfsches Gesetz am Beispiel Deutscher Wortschatz
• Zipf, Power-laws and Pareto
• Use of Hermetic Word Frequency Counter to Illustrate Zipf's Law
• B. McCOWAN et al.: The appropriate use of Zipf’s law in animal communication studies. ANIMAL BEHAVIOUR, 2005, 69, F1–F7 (PDF; 167 kB)
• Das Zipfsche Gesetz in den Primfaktoren der Fibonacci-Zahlen
• Das Zipfsche Gesetz in der logistischen Gleichung
• Tobias Just und Patrick Stephan: Das Zipfsche Gesetz und seine Implikationen für urbane Regionen (PDF; 283 kB)

Einzelnachweise

1. Christian Schluter, Mark Trede, 12. September 2013: Gibrat, Zipf, Fisher and Tippett: City Size and Growth Distributions Reconsidered (PDF; 494 kB; 29 Seiten), oder im Internetarchiv (Memento vom 10. Juni 2016 im Internet Archive), abgerufen am 29. Juli 2018.