Stichprobenmittel

Das Stichprobenmittel, a​uch als Stichprobenmittelwert[1], arithmetischer Mittelwert[2] o​der arithmetisches Mittel[3] bezeichnet, i​st eine spezielle Schätzfunktion i​n der mathematische Statistik. Es spielt e​ine wichtige Rolle b​ei der Schätzung d​es Erwartungswertes v​on unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen u​nd tritt a​uch bei d​er Konstruktion v​on Konfidenzintervallen u​nd statistischen Tests auf.

Sein empirisches Pendant i​st der empirische Mittelwert. Er entspricht e​iner Realisierung d​es Stichprobenmittels.

Definition

Seien ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen. Dann ist das Stichprobenmittel definiert als[4]

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$.

Teils wird noch die Anzahl der Zufallsvariablen als Index mitnotiert, insbesondere bei Grenzwertbetrachtungen. Das Stichprobenmittel wird dann als ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ notiert.

Eigenschaften

Das Stichprobenmittel i​st das e​rste Stichprobenmoment u​nd damit Erwartungswert d​er empirischen Verteilung. Daraus f​olgt direkt, d​ass es s​ich bei d​em Stichprobenmittel u​m den Momentenschätzer für d​en Erwartungswert handelt (für e​ine Herleitung s​iehe Momentenmethode#Schätzung d​es Erwartungswertes).

Der so gewonnene Schätzer ist erwartungstreu für den unbekannten Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und hat damit eine Verzerrung von Null. Dies folgt direkt aus der Linearität des Erwartungswertes, denn es ist

${\displaystyle \operatorname {E} ({\overline {X}})=\operatorname {E} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})={\frac {1}{n}}\cdot n\cdot \mu =\mu }$,

was genau dem Erwartungswert des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes entspricht. Des Weiteren ist das Stichprobenmittel aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes stets asymptotisch normalverteilt und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen auch stark konsistent.

Weiter gilt für unabhängige ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\operatorname {Var} (X_{i})={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\cdot \sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

Weblinks

• Eric Weisstein: Sample Mean auf MathWorld (englisch)

Einzelnachweise

1. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 99, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
2. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 5, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
3. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 26, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
4. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 246, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.