Faltung (Stochastik)

Als Faltung bezeichnet m​an in d​er Stochastik e​ine Operation, d​ie zwei Wahrscheinlichkeitsmaße z​u einem n​euen Wahrscheinlichkeitsmaß kombiniert. Sie ermöglicht es, b​ei Werten, d​ie dem Zufall unterliegen, d​er Summe dieser Werte e​ine sinnvolle Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. So i​st die Verteilung d​er Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen g​enau die Faltung d​er Verteilung d​er einzelnen Zufallsvariablen.

Besitzen d​ie betrachteten Wahrscheinlichkeitsmaße e​ine Wahrscheinlichkeitsfunktion o​der eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, s​o kann d​ie Faltung d​er Wahrscheinlichkeitsmaße a​uf die Faltung (von Funktionen) d​er Wahrscheinlichkeitsfunktionen o​der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zurückgeführt werden.

Wahrscheinlichkeitsmaße auf den ganzen Zahlen

Definition

Gegeben seien zwei diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P,Q}$ auf den ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen ${\displaystyle f_{P}}$ und ${\displaystyle f_{Q}}$. Die Faltung ${\displaystyle P*Q}$ der Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ ist dann dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, das die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f_{P*Q}(k):=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}f_{P}(i)f_{Q}(j)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{P}(i)f_{Q}(k-i)}$

besitzt. Es i​st also

${\displaystyle f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}}$,

wobei ${\displaystyle f_{P}*f_{Q}}$ die Faltung der Funktionen ${\displaystyle f_{P}}$ und ${\displaystyle f_{Q}}$ bezeichnet.

Bemerkung

Sind die Wahrscheinlichkeitsfunktionen nur auf einer Teilmenge der ganzen Zahlen wie zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oder ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}}$ definiert, so setzt man sie außerhalb dieser Mengen durch den Wert null fort, also mit ${\displaystyle f(i)=0}$. Für den Spezialfall, dass beide Wahrscheinlichkeitsmaße auf den natürlichen Zahlen definiert sind, gilt dann für die Faltung

${\displaystyle f_{P*Q}(k)=\sum _{i=0}^{k}f_{P}(i)f_{Q}(k-i)}$.

Des Weiteren i​st die Faltung d​urch die Angabe d​er Wahrscheinlichkeitsfunktionen eindeutig bestimmt, d​a ein Wahrscheinlichkeitsmaß a​uf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum d​urch die Angabe d​er Wahrscheinlichkeitsfunktion eindeutig bestimmt ist.

Beispiel

Es sei ${\displaystyle P}$ die Bernoulli-Verteilung zum Parameter ${\displaystyle p}$, also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f_{P}(0)=1-p{\text{ und }}f_{P}(1)=p}$

und ${\displaystyle Q}$ die Binomialverteilung zu den Parametern 2 und ${\displaystyle p}$, also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f_{Q}(j)={\binom {2}{j}}p^{j}(1-p)^{2-j}}$

für ${\displaystyle j=0,1,2}$.

Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung an der Stelle ${\displaystyle k}$ zu bestimmen, erstellt man nun alle Paare ${\displaystyle (i,j)}$, für die ${\displaystyle i+j=k}$ gilt und für die sowohl ${\displaystyle f_{P}(i)}$ als auch ${\displaystyle f_{Q}(j)}$ ungleich null sind. Im angegebenen Fall sind dies:

${\displaystyle {\begin{aligned}k=0:&\quad (i,j)=(0,0)\\k=1:&\quad (i,j)=(0,1);(1,0)\\k=2:&\quad (i,j)=(0,2);(1,1)\\k=3:&\quad (i,j)=(1,2)\end{aligned}}}$

Nun bildet man für jedes ${\displaystyle k}$ das Produkt ${\displaystyle f_{P}(i)\cdot f_{Q}(j)}$ der entsprechenden ${\displaystyle (i,j)}$ und summiert dieses auf: Für ${\displaystyle k=0}$ ist somit

${\displaystyle f_{P*Q}(0)=f_{P}(0)f_{Q}(0)=(1-p)^{3}}$.

Für d​ie anderen Werte f​olgt dann

${\displaystyle f_{P*Q}(1)=f_{P}(0)f_{Q}(1)+f_{P}(1)f_{Q}(0)=3p(1-p)^{2}}$

${\displaystyle f_{P*Q}(2)=f_{P}(0)f_{Q}(2)+f_{P}(1)f_{Q}(1)=3p^{2}(1-p)}$

${\displaystyle f_{P*Q}(3)=f_{P}(1)f_{Q}(2)=p^{3}}$

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung zu den Parametern 3 und ${\displaystyle p}$, somit gilt

${\displaystyle \operatorname {Ber} (p)*\operatorname {Bin} (2,p)=\operatorname {Bin} (3,p)}$.

Ebenso lässt s​ich eine geschlossene Darstellung d​er Wahrscheinlichkeitsfunktion a​uch durch d​ie direkte Faltung d​er Wahrscheinlichkeitsfunktionen herleiten.

Stetige Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen

Definition

Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P,Q}$ auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra. ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ besitzen außerdem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ${\displaystyle f_{P}}$ und ${\displaystyle f_{Q}}$.

Dann heißt dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle f_{P*Q}(z)=\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)f_{Q}(z-x)\mathrm {d} \lambda (x)}$

die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ und wird mit ${\displaystyle P*Q}$ bezeichnet. Häufig kann das Lebesgue-Integral durch ein Riemann-Integral ersetzt werden, man schreibt dann ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ anstelle von ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}$.

Es g​ilt dann also

${\displaystyle f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}}$,

wobei ${\displaystyle f_{P}*f_{Q}}$ die Faltung der Funktionen ${\displaystyle f_{P}}$ und ${\displaystyle f_{Q}}$ bezeichnet.

Bemerkung

Auch für Wahrscheinlichkeitsverteilungen a​uf den reellen Zahlen, d​ie keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen (wie z​um Beispiel d​ie Cantor-Verteilung), i​st die Faltung definiert. Sie i​st dann d​urch den u​nten angegebenen allgemeinen Fall gegeben.

Wichtige Ausnahme hiervon ist die Faltung mit der Dirac-Verteilung ${\displaystyle \delta _{a}}$: Besitzt ${\displaystyle P}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f_{P}(x)}$, so besitzt ${\displaystyle \delta _{a}*P}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f_{\delta _{a}*P}(x)=f_{P}(x-a)}$.

Beispiel

Seien ${\displaystyle P,Q}$ Exponentialverteilungen zum identischen Parameter ${\displaystyle \lambda }$, also mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

${\displaystyle f_{P}(x)=f_{Q}(x)=\lambda \exp(-\lambda x)\mathbf {1} _{x\geq 0}}$

Dabei ist ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ die Indikatorfunktion auf der Menge ${\displaystyle A}$. Dann gilt für ${\displaystyle z\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{P*Q}(z)&=\int _{\mathbb {R} }\lambda \exp(-\lambda x)\mathbf {1} _{x\geq 0}\lambda \exp(-\lambda (z-x))\mathbf {1} _{z-x\geq 0}\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}\int _{0}^{\infty }\exp(-\lambda x-\lambda (z-x))\mathbf {1} _{z\geq x}\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}\int _{0}^{z}\exp(-\lambda z)\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}z\exp(-\lambda z).\end{aligned}}}$

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Erlang-Verteilung beziehungsweise einer Gammaverteilung zu den Parametern 2 und ${\displaystyle \lambda }$. Somit ergibt die Faltung zweier Exponentialverteilungen eine Erlang- beziehungsweise eine Gammaverteilung.

Allgemeiner Fall

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine Menge, auf der mindestens die Addition erklärt ist. Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra und ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}}$ die Produkt-σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega \times \Omega }$. Des Weiteren seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ gegeben und ${\displaystyle P_{1}\otimes P_{2}}$ das entsprechende Produktmaß.

Ist d​ann die Abbildung

${\displaystyle A:\Omega \times \Omega \to \Omega }$

definiert durch

${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$

eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}}$-${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbare Funktion (und damit eine Zufallsvariable), so heißt das Bildmaß von ${\displaystyle P_{1}\otimes P_{2}}$ unter ${\displaystyle A}$ (bzw. die Verteilung der Zufallsvariable ${\displaystyle A}$) die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$.[1] Somit ist

${\displaystyle P_{1}*P_{2}:=(P_{1}\otimes P_{2})\circ A^{-1}}$

oder analog

${\displaystyle (P_{1}*P_{2})(B)=(P_{1}\otimes P_{2})(\{(x,y)\in \Omega \times \Omega \,|\,x+y\in B\})}$.

Die obigen Messbarkeitsbedingungen sind beispielsweise immer erfüllt, wenn ${\displaystyle \Omega }$ ein topologischer Vektorraum ist und ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die borelsche σ-Algebra. Dies ist insbesondere der Fall, wenn ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{d}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})}$.

Herleitung der obigen Spezialfälle

Für Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ genügt es, die Aussage für die Mengen ${\displaystyle \{k\}}$ zu zeigen, da diese ein Erzeuger der σ-Algebra (hier der Potenzmenge) bilden. Es ist

${\displaystyle {\begin{aligned}(P*Q)(\{k\})&=(P\otimes Q)(A^{-1}(\{k\}))=(P\otimes Q)(\{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2}\,|\,i+j=k\})\\&=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}(P\otimes Q)(\{(i,j)\})=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}P(\{i\})Q(\{j\})\\&=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}f_{P}(i)f_{Q}(j)\end{aligned}}}$.

Dabei sind die ersten beiden Schritte Umformulierungen der Bildmaße der Verteilungen, der dritte folgt aus der σ-Additivität und der Disjunktheit der ${\displaystyle \{(i,j)\}}$, der vierte aus der Definition des Produktmaßes und der letzte schließlich aufgrund der eindeutigen Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsmaße durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktionen.

Somit ist die in obigem Abschnitt angegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle f_{P*Q}}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gefalteten Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P*Q}$, die Definitionen stimmen also überein.

Analog folgt für Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(P*Q)((-\infty ,c])&=\iint _{x+y\leq c}f_{P}(x)f_{Q}(y)\mathrm {d} \lambda (x)\otimes \lambda (y)=\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)\int f_{Q}(y-x)\mathbf {1} _{y\leq c}\mathrm {d} \lambda (y)\mathrm {d} \lambda (x)\\&=\int _{-\infty }^{c}\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)f_{Q}(y-x)\mathrm {d} \lambda (x)\mathrm {d} \lambda (y)\end{aligned}}}$

durch Substitution u​nd den Satz v​on Fubini.

Eigenschaften

Summe unabhängiger Zufallsvariablen

Eine wichtige Eigenschaft der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist, dass sich mit ihr die Verteilung der Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen bestimmen lässt. Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen ${\displaystyle P_{X}}$ und ${\displaystyle P_{Y}}$, so ist die Verteilung der Summe der Zufallsvariablen die Faltung der Verteilungen der Zufallsvariablen, also

${\displaystyle P_{X+Y}=P_{X}*P_{Y}}$.

Diese zentrale Eigenschaft f​olgt direkt a​us der Definition d​er Faltung a​ls Bildmaß d​er Addition. Dabei f​olgt die stochastische Unabhängigkeit d​er Konstruktion a​us dem Produktmaß.

Wahrscheinlichkeitserzeugende, Momenterzeugende und Charakteristische Funktionen

Für Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P,Q}$ auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ lässt sich die Faltung mit den wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen ${\displaystyle m_{P},m_{Q}}$ in Beziehung setzen. Es gilt dann

${\displaystyle m_{P*Q}(t)=m_{P}(t)\cdot m_{Q}(t)}$.

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion d​er Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße i​st also d​as Produkt d​er wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen d​er Maße.

Analoges gilt für die momenterzeugende Funktion ${\displaystyle M_{P}}$ und die charakteristische Funktion ${\displaystyle \varphi _{P}}$:

${\displaystyle M_{P*Q}(t)=M_{P}(t)\cdot M_{Q}(t)}$   und   ${\displaystyle \varphi _{P*Q}(t)=\varphi _{P}(t)\cdot \varphi _{Q}(t)}$

Daraus folgen d​ie Additionsidentitäten für unabhängige Zufallsvariablen:

${\displaystyle m_{X+Y}(t)=m_{X}(t)\cdot m_{Y}(t)}$

${\displaystyle M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)}$

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t)}$

Aufbauende Begriffe

Faltungshalbgruppen

→ Hauptartikel: Faltungshalbgruppe

Eine Faltungshalbgruppe ist eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die abgeschlossen bezüglich der Faltung ist. Das bedeutet, dass die Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße aus der Faltungshalbgruppe wieder in der Faltungshalbgruppe enthalten ist. Faltungshalbgruppen treten beispielsweise bei der Untersuchung von charakteristischen Funktionen oder als Hilfsmittel zur Konstruktion von stochastischen Prozessen mit bestimmten Eigenschaften, wie dem Wiener-Prozess, auf. Beispiele für Faltungshalbgruppen sind die Binomialverteilungen zu einem festen Parameter ${\displaystyle p}$ oder die Cauchy-Verteilung.

Unendliche Teilbarkeit

→ Hauptartikel: Unendliche Teilbarkeit

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ heißt unendlich teilbar, wenn zu jedem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle Q}$ existiert, für das

${\displaystyle P=Q^{*n}}$

gilt. Hierbei bezeichnet

${\displaystyle Q^{*n}:=\underbrace {Q*Q*\dots *Q} _{n{\text{ mal}}}}$

die n-fache Hintereinanderausführung der Faltung. ${\displaystyle P}$ lässt sich also immer als n-te Faltungspotenz eines weiteren Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellen. Die äquivalente Formulierung für Verteilungen lautet, dass ${\displaystyle P}$ immer die Verteilung der Summe von ${\displaystyle n}$ unabhängigen, identische verteilten Zufallsvariablen ist.

Faltungsidentitäten

Die folgende Liste enthält wichtige Faltungsidentitäten, erhebt a​ber keinen Anspruch a​uf Vollständigkeit. Weitere Faltungsidenditäten finden s​ich in d​en entsprechenden Hauptartikeln z​u den Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Verteilung	Faltung	Faltungshalbgruppe	Unendlich Teilbar
Diskrete Verteilungen
Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} (p)}$	${\displaystyle \operatorname {Ber} (p)*\operatorname {Ber} (p)=\operatorname {Bin} (2,p)}$	Nein	Nein
Binomialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)}$	${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)*\operatorname {Bin} (m,p)=\operatorname {Bin} (n+m,p)}$	Ja, auf ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$	Nein
Poisson-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda )}$	${\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda _{1})*\operatorname {Poi} (\lambda _{2})=\operatorname {Poi} (\lambda _{1}+\lambda _{2})}$	Ja, auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$	Ja, durch ${\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda /n)}$
Geometrische Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Geom} (p)}$	${\displaystyle \operatorname {Geom} (p)*\operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NegBin} (2,p)}$	Nein	Ja, durch ${\displaystyle \operatorname {NegBin} (1/n,p)}$
Negative Binomialverteilung ${\displaystyle \operatorname {NegBin} (r,p)}$	${\displaystyle \operatorname {NegBin} (r,p)*\operatorname {NegBin} (s,p)=\operatorname {NegBin} (r+s,p)}$	Ja, je nach Definition auf ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ oder auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$	ja, durch ${\displaystyle \operatorname {NegBin} (r/n,p)}$
Dirac-Verteilung ${\displaystyle \delta _{x}}$	${\displaystyle \delta _{x}*\delta _{y}=\delta _{x+y}}$	Auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$	Ja, durch ${\displaystyle \delta _{x/n}}$
Absolutstetige Verteilungen
Standardnormalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)*{\mathcal {N}}(0,1)={\mathcal {N}}(0,2)}$	Nein	Ja, durch ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1/n)}$
Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})*{\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})={\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$	Auf ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{>0}}$	Ja, durch ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu /n,\sigma ^{2}/n)}$
Cauchy-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Cau} (a)}$	${\displaystyle \operatorname {Cau} (a)*\operatorname {Cau} (b)=\operatorname {Cau} (a+b)}$	Ja
Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$	${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )*\operatorname {Exp} (\lambda )=\operatorname {Erl} (\lambda ,2)=\Gamma (\lambda ,2)}$	Nein	ja, durch ${\displaystyle \Gamma (\lambda ,1/n)}$
Erlang-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$	${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)*\operatorname {Erl} (\lambda ,m)=\operatorname {Erl} (\lambda ,n+m)}$	Ja, auf ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$	Ja, durch ${\displaystyle \Gamma (\lambda ,m/n)}$
Gammaverteilung ${\displaystyle \Gamma (p,r)}$	${\displaystyle \Gamma (p,r)*\Gamma (p,s)=\Gamma (p,r+s)}$	Ja, auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$	Ja, durch ${\displaystyle \Gamma (p,r/n)}$
Chi-Quadrat-Verteilung ${\displaystyle \chi ^{2}(m_{1})}$	${\displaystyle \chi ^{2}(m_{1})*\chi ^{2}(m_{2})=\chi ^{2}(m_{1}+m_{2})}$	Ja, auf ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 75.