Punktsymmetrie

Die Punktsymmetrie, a​uch Inversionssymmetrie[1][2] o​der Zentralsymmetrie[3], i​st in d​er Geometrie e​ine Eigenschaft e​iner Figur. Eine Figur i​st punktsymmetrisch, w​enn sie d​urch die Spiegelung a​n einem Symmetriepunkt a​uf sich selbst abgebildet wird.

Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Definition

Eine (ebene) geometrische Figur (zum Beispiel e​in Viereck) heißt punktsymmetrisch, w​enn es e​ine Punktspiegelung gibt, d​ie diese Figur a​uf sich abbildet. Der Punkt, a​n dem d​iese Spiegelung erfolgt, w​ird als Symmetriezentrum bezeichnet.[4]

Punktspiegelung als Drehung (und Spiegelung)

In der Ebene (zweidimensionaler euklidischer Raum) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie. Im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt und anschließender Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

Allgemeiner gilt:

Im 2N-dimensionalen Raum entspricht d​ie Punktspiegelung N Drehungen u​m jeweils 180°. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander u​nd schneiden s​ich im Symmetriepunkt.

Im 2N+1-dimensionalen Raum entspricht d​ie Punktspiegelung N Drehungen u​m jeweils 180° u​nd anschließender Spiegelung. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander u​nd schneiden s​ich im Symmetriepunkt. Der Symmetriepunkt l​iegt ebenfalls a​uf der Spiegelebene u​nd alle Drehachsen stehen senkrecht a​uf der Spiegelebene.

Beispiele

• Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
• Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
• Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
• Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
• Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.
• Ein regelmäßiges Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken ist punktsymmetrisch.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Überblick

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ mit dem Definitionsbereich ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$ und mit reellen Funktionswerten punktsymmetrisch ist.

Existiert ein Punkt ${\displaystyle (a,b),}$ sodass für die Funktion ${\displaystyle f}$ die Gleichung

${\displaystyle f(a+x)-b=-f(a-x)+b}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Punktes ${\displaystyle (a,b).}$ Die genannte Bedingung ist mit

${\displaystyle f(x)=2b-f(2a-x)}$

gleichwertig, wie die Substitution ${\displaystyle x\to x-a}$ zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung ${\displaystyle (0,0)}$ vereinfacht sich diese Gleichung zu

${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$

Ist sie für alle ${\displaystyle x}$ gültig, liegt Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor. Dann nennt man die Funktion ${\displaystyle f}$ ungerade Funktion.

Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung

Kurve von f(x) = 2x⁵

Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f(x)=2x^{5}.}$ Dann gilt:

${\displaystyle f(-x)=2(-x)^{5}=2(-1)^{5}x^{5}=2(-1)x^{5}=-2x^{5}=-f(x)}$

Also i​st der Funktionsgraph punktsymmetrisch m​it Symmetriezentrum i​m Ursprung (0,0).

Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (0,2)

Kurve von f(x) = 2x⁵ + 2

Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f(x)=2x^{5}+2.}$ Wähle ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=2.}$ Dann gilt:

${\displaystyle 2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^{5}+2)=}$

${\displaystyle =4-(-2x^{5}+2)=4+2x^{5}-2=2x^{5}+2=f(x)}$

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch in Bezug auf den Punkt ${\displaystyle (0,2)}$ und es gilt

${\displaystyle -f(x)+2=f(-x)-2.}$

Um den Symmetriepunkt ${\displaystyle (0,2)}$ zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichnen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

Einzelnachweise

1. Arthur Schoenflies: Krystallsysteme und Krystallstructur. Teubner, Leipzig 1891 (XII, 638 S., Online-Ressourcen).
2. Spektrum.de: Inversionssymmetrie. Abgerufen am 5. März 2020.
3. Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 21, S. 258.
4. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-8258-5, S. 144.