Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung i​st eine Wahrscheinlichkeitsverteilung a​uf einem endlichen Träger. Sie gehört z​u den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen u​nd lässt s​ich aus d​em Urnenmodell ableiten.

Definition

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf dem Träger ${\displaystyle T=\{k,\dots ,k+N-M\}}$ heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f(n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}\cdot {\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}={\frac {{\binom {-k}{n-k}}\cdot {\binom {k-M-1}{N-M-n+k}}}{\binom {-M-1}{N-M}}}}$

hat. Dabei ist ${\displaystyle k\leq M\leq N}$. Man schreibt dann ${\displaystyle X\sim \operatorname {NH} (N,M,k)}$.

Herleitung aus dem Urnenmodell

Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit ${\displaystyle N}$ Kugeln, von denen ${\displaystyle M}$ markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man ${\displaystyle k}$ markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür ${\displaystyle n}$ Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.

Denkt man sich dazu in ${\displaystyle N}$ Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt ${\displaystyle {\tbinom {N}{M}}}$ Möglichkeiten, die ${\displaystyle M}$ markierten Kugeln auf die ${\displaystyle N}$ Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im ${\displaystyle n}$-ten Zug die ${\displaystyle k}$-te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den ${\displaystyle n-1}$ Zügen davor ${\displaystyle k-1}$ markierte Kugeln gezogen werden und in den ${\displaystyle N-n}$ Zügen danach die restlichen ${\displaystyle M-k}$ markierten Kugeln. Hierfür gibt es ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}\cdot {\tbinom {N-n}{M-k}}}$ Möglichkeiten.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {k(N+1)}{M+1}}}$

Varianz

Für d​ie Varianz erhält man

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {k(M+1-k)(N-M)(N+1)}{(M+1)^{2}(M+2)}}}$

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Negative hypergeometric distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.