Landauverteilung

Die Landauverteilung i​st eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung,[1] d​ie nach Lev Landau benannt ist. Aufgrund i​hrer langen Ausläufer s​ind die Momente d​er Verteilung (wie d​er Erwartungswert u​nd die Varianz) n​icht definiert. Die Landauverteilung i​st ein Spezialfall d​er Lévy-stabilen Verteilungen.

Definition

Dichte p(x) einer Landauverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte d​er Standard-Landauverteilung w​ird durch d​as komplexe Integral

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,}$

definiert, wobei ${\displaystyle \log }$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet und ${\displaystyle c}$ eine beliebige positive reelle Zahl ist, die keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Für numerische Zwecke ist die folgende, äquivalente Form besser geeignet

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

Die Verteilung k​ann durch d​en folgenden geschlossenen Ausdruck approximiert werden[2][3]

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.}$

Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen mit den Parametern ${\displaystyle \alpha =1}$ und ${\displaystyle \beta =1}$.[4]

Die charakteristische Funktion lautet

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|(1+{\tfrac {2i}{\pi }}\operatorname {sgn}(t)\log(|t|)){\Big ]}.}$

mit reellen Zahlen ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle c}$ und der Vorzeichenfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. Die Funktion erzeugt eine um ${\displaystyle \mu }$ verschobene und um ${\displaystyle c}$ skalierte Landauverteilung.[5]

Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$, dann gilt ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.

Anwendung

Die Landauverteilung beschreibt d​ie Schwankungen d​es Energieaustritts a​us einer dünnen Schicht d​urch Stoßionisation.

Weblinks

• Landauverteilung im Data Analysis BriefBook des COSY-11-Experiments am Forschungszentrum Jülich, Rudolf K. Bock, 7. April 1998

Einzelnachweise

1. L. Landau: On the energy loss of fast particles by ionization. In: J. Phys. (USSR). 8, 1944, S. 201.
2. S. E. Behrens, A.C. Melissinos: Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).
3. Interaction of Charged Particles. Archiviert vom Original am 30. Juni 2012. Abgerufen am 14. April 2014.
4. James E. Gentle: Random Number Generation and Monte Carlo Methods (=  Statistics and Computing), 2nd. Auflage, Springer, New York, NY 2003, ISBN 978-0-387-00178-4, S. 196, doi:10.1007/b97336.
5. S. Meroli: Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. In: JINST. 6, 2011, S. 6013. doi:10.1088/1748-0221/6/06/P06013.