Lage-Skalen-Familie

In d​er Statistik ist e​ine Lage-Skalen-Familie[1] bzw. Lage- u​nd Skalenfamilie[2] e​ine Familie v​on Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert d​urch einen Lageparameter u​nd einen nichtnegativen Skalenparameter.

Definition

Sei ${\displaystyle Z}$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{Z}}$, und für ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma >0}$ sei[3]

${\displaystyle X=\mu +\sigma Z}$.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von ${\displaystyle Z}$ induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter ${\displaystyle \mu }$ und Skalenparameter ${\displaystyle \sigma }$. Für ${\displaystyle \mu =0}$ spricht man von einer reinen Skalenfamilie.

Ist ${\displaystyle F_{Z}}$ auf ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :F_{Z}(x)\in (0,1)\}}$ stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{X}}$ von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\in (0,1)\}}$ stetig und streng monoton und es gilt:[4]

${\displaystyle F_{X}^{-1}(u)=\mu +\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)}$.

Im Fall e​iner reinen Skalenfamilie gilt

${\displaystyle F_{X}^{-1}(u)=\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)}$.

Einzelnachweise

1. Torsten Becker, et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 357.
2. location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).
3. Torsten Becker, et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 357.
4. Torsten Becker, et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 357.