Träger (Mathematik)

In d​er Mathematik bezeichnet d​er Träger (engl. support) m​eist die abgeschlossene Hülle d​er Nichtnullstellenmenge e​iner Funktion o​der anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von ${\displaystyle f}$ wird meist mit ${\displaystyle \operatorname {Tr} (f)}$[1] oder ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ bezeichnet.

Sei ${\displaystyle A}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ eine Funktion. Der Träger von ${\displaystyle f}$ besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von ${\displaystyle f}$, formal:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (f)=\operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in A\mid f(x)\neq 0\}}}}$

Träger einer Distribution

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ und ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )}$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ zum Träger von ${\displaystyle T}$ gehört, und schreibt ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {supp} (T)}$, wenn für jede offene Umgebung ${\displaystyle U\subset \Omega }$ von ${\displaystyle x_{0}}$ eine Funktion ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$ existiert mit ${\displaystyle \;T(\phi )\neq 0}$.

Falls ${\displaystyle T}$ eine reguläre Distribution ${\displaystyle T=T_{f}}$ mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=x}$, dann ist ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\mathbb {R} }$, denn die Nichtnullstellenmenge von ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}}$, deren Abschluss ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=1}$, falls ${\displaystyle \left|x\right|<1}$, sonst , dann ist ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ die Menge ${\displaystyle \left\{x:\left|x\right|\leq 1\right\}}$.

Ist ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }}$ die charakteristische Funktion von ${\displaystyle \mathbb {Q}$ :\chi _{\mathbb {Q} }(x)=1} , falls ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$, und ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }(x)=0}$, falls ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, dann ist der Träger ${\displaystyle \mathbb {R} }$, also der Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Sei ${\displaystyle U}$ eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Die Menge aller stetigen Funktionen von ${\displaystyle U}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit ${\displaystyle C_{c}(U)}$ bezeichnet wird.

Die Menge ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in ${\displaystyle U}$ spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution ${\displaystyle \delta (f):=f(0)}$ hat den Träger ${\displaystyle \left\{0\right\}}$, denn mit ${\displaystyle \omega$ :=\mathbb {R} ^{d}\setminus \left\{0\right\}} gilt: Ist ${\displaystyle f}$ aus ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\omega )}$, dann ist ${\displaystyle \delta (f)=0}$.

Garbentheorie

Es sei ${\displaystyle F}$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$.

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ und einen Schnitt ${\displaystyle s\in \Gamma (U,F)}$ heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte ${\displaystyle x\in X}$, für die das Bild von ${\displaystyle s}$ im Halm ${\displaystyle F_{x}}$ ungleich null ist, der Träger von ${\displaystyle s}$, meist mit ${\displaystyle \mathrm {supp} \,s}$ oder ${\displaystyle |s|}$ bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ definierten Vektorfeldes ${\displaystyle F\colon M\to TM}$ den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger e​ines Schnittes i​st nach Definition s​tets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von ${\displaystyle F}$ selbst ist die Menge der Punkte ${\displaystyle x\in X}$, für die der Halm ${\displaystyle F_{x}}$ ungleich null ist.

Der Träger e​iner Garbe i​st nicht notwendigerweise abgeschlossen, d​er Träger e​iner kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

• Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.

Einzelnachweise

1. Bei der Schreibweise ${\displaystyle Tr(f)}$ gibt es möglicherweise Verwechslungsgefahr mit der Spur einer quadratischen Matrix, die auf Englisch trace heißt.