Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für ${\displaystyle p=0.2}$ (blau), ${\displaystyle p=0.5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0.8}$ (rot)

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße ${\displaystyle X\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter ${\displaystyle p}$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=f(k)=-{\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{\ln(1-p)}}}$

besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die logarithmische Verteilung h​at einen Erwartungswert von

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}}$.

Varianz

Die Varianz bestimmt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert u​nd Varianz erhält m​an sofort d​en Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt s​ich zu:

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}}$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für d​ie wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er logarithmischen Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}}$.

Iterative Berechnung

Für d​ie Wahrscheinlichkeitsfunktion g​ilt die rekursive Gleichung

${\displaystyle f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)}$

mit Startwert ${\displaystyle f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}}$. Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Kombiniert m​an die logarithmische Verteilung m​it der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, s​o entsteht d​ie negative Binomialverteilung u​nd damit a​ls Spezialfall a​uch die geometrische Verteilung.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Logarithmic Distribution. In: MathWorld (englisch).