Rayleigh-Verteilung

In d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd Statistik w​ird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) e​ine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von ${\displaystyle \sigma }$

Wenn d​ie Komponenten e​ines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt u​nd stochastisch unabhängig sind, d​ann ist d​er Betrag Rayleigh-verteilt. Dies t​ritt zum Beispiel i​n einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal b​ei Mobilfunksystemen auf, w​enn zwischen d​em Sender, w​ie einer Basisstation, u​nd dem Empfänger, beispielsweise e​inem Mobiltelefon, k​ein direkter Sichtkontakt besteht. Der d​urch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion u​nd Streuungen, beispielsweise a​n Gebäudewänden u​nd anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt s​ich dann m​it Hilfe d​er Rayleigh-Verteilung a​ls sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung v​on 10-Minutenmittelwerten d​er Windgeschwindigkeit werden ebenfalls d​es Öfteren d​urch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, w​enn nicht e​ine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter ${\displaystyle \sigma >0}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x|\sigma )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

besitzt. Daraus ergibt s​ich die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

Eigenschaften

Momente

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

${\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$.

Varianz

Die Varianz d​er Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$.

Somit i​st das Verhältnis zwischen Erwartungswert u​nd Standardabweichung b​ei dieser Verteilung konstant:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}={\sqrt {\frac {\pi }{4-\pi }}}\approx 1{,}91}$.

Schiefe

Für d​ie Schiefe erhält man

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0{,}6311}$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt s​ich zu

${\displaystyle \beta _{2}(X)=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0{,}2451}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left(\operatorname {erf} \!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$.

wobei ${\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}$ die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion i​st gegeben durch

${\displaystyle M(t)=1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}$ wiederum die Fehlerfunktion ist.

Entropie

Die Entropie, ausgedrückt i​n nats, ergibt s​ich zu

${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$,

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Modus

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für ${\displaystyle x=\sigma }$, denn für ${\displaystyle x\geq 0}$ gilt

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{2}}}-x^{2}{\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{4}}}\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sigma }$.

Damit ist ${\displaystyle \sigma }$ der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat ${\displaystyle f}$ den Wert

${\displaystyle f\left(\sigma \right)={\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}}}$.

Parameterschätzung

Die Maximum-Likelihood-Schätzung von ${\displaystyle \sigma }$ aus Messwerten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ erfolgt über:

${\displaystyle \sigma \approx {\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung u​nd Rice-Verteilung s​ind Verallgemeinerungen d​er Rayleigh-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$, dann ist ${\displaystyle R^{2}}$ Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden: ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$

Beziehung zur Weibull-Verteilung

${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})=\mathrm {Wei} \left({\frac {1}{2\sigma ^{2}}},2\right)}$

Beziehung zur Rice-Verteilung

${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn ${\displaystyle X}$ exponentialverteilt mit ${\displaystyle \!\,X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ ist, dann ist ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)}$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$, dann ist ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$ gammaverteilt mit den Parametern ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$: ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})}$.

Beziehung zur Normalverteilung

${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ist Rayleigh-verteilt, wenn ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ und ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.

Literatur

• Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.