Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd beschreibt e​ine Wahrscheinlichkeitsverteilung m​it bestimmten Eigenschaften. Im diskreten Fall t​ritt jedes mögliche Ergebnis m​it der gleichen Wahrscheinlichkeit ein, i​m stetigen Fall i​st die Dichte konstant. Der Grundgedanke e​iner Gleichverteilung ist, d​ass es k​eine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Ergebnisse beim Würfeln nach einem Wurf die sechs möglichen Augenzahlen: ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$. Bei einem idealen Würfel beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte 1/6, da sie für jeden der sechs möglichen Werte gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Definition

Diskreter Fall

→ Hauptartikel: Diskrete Gleichverteilung

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine nichtleere endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$ eines Ereignisses ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ durch die Laplace-Formel definiert:

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {{\text{Anzahl der Elemente von }}A}{{\text{Anzahl der Elemente von }}\Omega }}}$

Stetiger Fall

→ Hauptartikel: Stetige Gleichverteilung

Sei ${\displaystyle \Omega }$ ein endliches reelles Intervall, also ${\displaystyle \Omega =[a,b]}$ für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ ist bei einer Gleichverteilung definiert als

${\displaystyle P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda (\Omega )}}\,\mathrm {d} \lambda (x)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {\lambda (A)}{b-a}},}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall ${\displaystyle A=[c,d]\subseteq [a,b]}$

${\displaystyle P(A)={\frac {\lambda (A)}{\lambda (\Omega )}}={\frac {d-c}{b-a}}.}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine stückweise konstante Funktion ${\displaystyle \rho }$ mit:

${\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b,\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

Mit Hilfe der Indikatorfunktion des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ schreibt sich dies kürzer in der Form

${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{b-a}}\cdot \mathbf {1} _{[a,b]}(x).}$

In ähnlicher Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf beschränkten Teilmengen ${\displaystyle \Omega }$ des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ erklären. Für ein Ereignis ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ erhält man die zum eindimensionalen Fall analoge Formel

${\displaystyle P(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)={\frac {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}},}$

wobei ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ das ${\displaystyle n}$-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Beispiele

• Beim Werfen eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit jeder Augenzahl zwischen 1 und 6 gleich 1/6.
• Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Seiten gleich 1/2.

Indifferenzprinzip von Laplace und die Gleichverteilung

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man erst einmal Gleichverteilung annehmen solle, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kennt (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\,{\mathfrak {P}}(\Omega ),\,{\mathcal {U}}_{\Omega })}$ für endliches Ω auch Laplace-Raum.[1]

Siehe auch

• Gesetz der kleinen Zahlen
• Gleichverteilung modulo 1

Weblinks

• A. V. Prokhorov: Uniform distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

• Eric W. Weisstein: Uniform Distribution. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 22.