Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung (benannt n​ach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson) i​st eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, m​it der d​ie Anzahl v​on Ereignissen modelliert werden kann, d​ie bei konstanter mittlerer Rate unabhängig voneinander i​n einem festen Zeitintervall o​der räumlichen Gebiet eintreten. Sie i​st eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, d​ie einen häufig vorkommenden Grenzwert d​er Binomialverteilung für unendlich v​iele Versuche darstellt. Sie lässt s​ich aber a​uch aus grundlegenden Prozesseigenschaften axiomatisch herleiten.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung für die Erwartungswerte ${\displaystyle \lambda }$ = 1, 5 und 9

Die Zuwächse e​ines Poisson-Prozesses s​ind Poisson-verteilte Zufallsvariablen. Erweiterungen d​er Poisson-Verteilung w​ie die verallgemeinerte Poisson-Verteilung u​nd die gemischte Poisson-Verteilung werden v​or allem i​m Bereich d​er Versicherungsmathematik angewendet.

Definition

Die Poisson-Verteilung ${\displaystyle P_{\lambda }}$ ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird durch einen reellen Parameter ${\displaystyle \lambda >0}$ bestimmt, der den Erwartungswert und gleichzeitig die Varianz der Verteilung beschreibt. Sie ordnet den natürlichen Zahlen ${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc }$ die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }}$

zu, wobei ${\displaystyle \mathrm {e} }$ die Eulersche Zahl und ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$ bezeichnet. Der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ beschreibt anschaulich die bei einer Beobachtung erwartete Ereignishäufigkeit. Die Poisson-Verteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ereignisanzahl ${\displaystyle k}$ im Einzelfall an, wenn die mittlere Ereignisrate ${\displaystyle \lambda }$ bekannt ist.

Eigenschaften

Rekursionsformel

Es g​ilt die Rekursionsformel

${\displaystyle P_{\lambda }(k+1)={\frac {\lambda }{k+1}}P_{\lambda }(k)}$

für ${\displaystyle k=0,1,\dots }$ mit ${\displaystyle P_{\lambda }(0)=\mathrm {e} ^{-\lambda }}$.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{\lambda }}$ der Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle F_{\lambda }(n)=\sum _{k=0}^{n}P_{\lambda }(k)=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{n}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=Q(n+1,\lambda )=p}$

und gibt die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ dafür an, höchstens ${\displaystyle n}$ Ereignisse zu finden, wo man ${\displaystyle \lambda }$ im Mittel erwartet. Dabei bezeichnet ${\displaystyle Q(a,x)}$ die regularisierte Gammafunktion der unteren Grenze.

Erwartungswert, Varianz, Moment

Ist die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ Poisson-verteilt, also ${\displaystyle X\sim {\mathcal {P}}(\lambda )}$, so ist ${\displaystyle \lambda }$ zugleich Erwartungswert und Varianz, denn es gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\underbrace {\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}} _{e^{\lambda }}=\lambda }$

sowie

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(X^{2}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\left(\sum _{k=1}^{\infty }(k-1){\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\right)\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-2)!}}+\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}=\lambda ^{2}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}}+\lambda \cdot \mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda ^{2}+\lambda .\end{aligned}}}$

Nach d​em Verschiebungssatz f​olgt nun:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda .}$

Auch für das dritte zentrierte Moment gilt ${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(X-\operatorname {E} (X)\right)^{3}\right)=\lambda }$.

Median

Es liegt die Vermutung nahe, dass der Median ${\displaystyle n_{\text{median}}}$ nahe bei ${\displaystyle \lambda }$ liegt. Eine exakte Formel existiert jedoch nicht, die genauest mögliche Abschätzung ist[1]

${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq n_{\text{median}}<\lambda +{\frac {1}{3}}.}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert u​nd Varianz erhält m​an sofort d​en Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}{\operatorname {E} (X)}}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$.

Schiefe und Wölbung

Die Schiefe ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$.

Die Wölbung lässt s​ich ebenfalls geschlossen darstellen als

${\displaystyle \beta _{2}=3+{\frac {1}{\lambda }}}$.

und d​er Exzess als

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\lambda }}}$.

Höhere Momente

Das ${\displaystyle k}$-te Moment lässt sich als Polynom von Grad ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \lambda }$ angeben und ist das ${\displaystyle k}$-te vollständige Bell-Polynom ${\displaystyle B_{k}}$ ausgewertet an den ${\displaystyle k}$ Stellen ${\displaystyle \lambda }$:[2]

${\displaystyle m_{k}=B_{k}(\lambda ,\dots ,\lambda )}$.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion d​er Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\lambda (e^{t}-1)}$.

Damit sind alle Kumulanten gleich ${\displaystyle \kappa _{i}=\lambda }$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {e} ^{iks}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(\lambda \,\mathrm {e} ^{is}\right)^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda \,\mathrm {e} ^{is}}=\mathrm {e} ^{\lambda \left(\mathrm {e} ^{is}-1\right)}}$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für d​ie wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle m_{X}(s)=\mathrm {e} ^{\lambda (s-1)}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle M_{X}(s)=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{s}-1)}.}$

Reproduktivität

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d. h., die Summe ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}}$ stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}}$ ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{n}}$. Für die Faltung gilt also

${\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda _{1})*\operatorname {Poi} (\lambda _{2})=\operatorname {Poi} (\lambda _{1}+\lambda _{2})}$

Somit bilden die Poisson-Verteilungen eine Faltungshalbgruppe. Dieses Ergebnis folgt unmittelbar aus der charakteristischen Funktion der Poisson-Verteilung und der Tatsache, dass die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der charakteristischen Funktionen ist.

Die Poisson-Verteilung ist also auch unendlich teilbar. Nach einem Satz des sowjetischen Mathematikers Dmitri Abramowitsch Raikow gilt auch die Umkehrung: Ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$, dann sind die Summanden ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ ebenfalls Poisson-verteilt. Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in Poisson-verteilte unabhängige Summanden zerlegen. Dieser Satz ist ein Analogon zu dem Satz von Cramér für die Normalverteilung.

Ausdünnung

Häufig kommen stochastische Experimente vor, bei denen die Ereignisse eigentlich Poisson-verteilt sind, aber die Zählung nur erfolgt, wenn noch eine zusätzliche Bedingung erfüllt ist. Beispielsweise könnte die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, Poisson-verteilt sein, aber aus jedem Ei schlüpft nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Larve. Ein Beobachter dieser Poisson-verteilten Zufallsvariable mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$ zählt jedes Ereignis also nur mit einer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p<1}$ (unabhängig voneinander).

Alternativ könnte aber auch ein Fehler bei der Zählung dazu führen, dass das Ereignis nicht registriert wird. Wenn also ursprünglich ${\displaystyle n}$ Ereignisse vorliegen, werden entsprechend der Binomial-Verteilung ${\displaystyle B_{n,p}(r)}$ nur ${\displaystyle r}$ Ereignisse gezählt. In diesem Fall ist der wahre Wert ${\displaystyle n}$ unbekannt und variiert zwischen dem gemessenen Wert ${\displaystyle r}$ (alle vorhandenen Ereignisse gesehen) und unendlich (es gab mehr Ereignisse, als gesehen wurden). Die Wahrscheinlichkeit eines Messwertes ${\displaystyle r}$ findet man dann mittels des Produktes der Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Messung ${\displaystyle B_{n,p}(r)}$ und der ursprünglichen Poisson-Verteilung ${\displaystyle P_{\lambda }(n)}$, summiert über alle möglichen Werte ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum \limits _{n=r}^{\infty }B_{n,p}(r)P_{\lambda }(n)=P_{p\lambda }(r)}$.

Die gefundenen Werte ${\displaystyle r}$ bei Nachweiswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ sind also wieder Poisson-verteilt. Die Nachweiswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ reduziert den Parameter ${\displaystyle \lambda }$ der ursprünglichen Poisson-Verteilung zu ${\displaystyle p\lambda }$. Dies bezeichnet man auch als Ausdünnung der Poisson-Verteilung.

Berechnung

Die Berechnung von ${\displaystyle P_{\lambda }(k)}$ kann folgendermaßen rekursiv erfolgen. Zuerst bestimmt man ${\displaystyle P_{\lambda }(0)=\mathrm {e} ^{-\lambda }}$, dann ergeben sich nacheinander ${\displaystyle P_{\lambda }(k)={\tfrac {\lambda }{k}}\cdot P_{\lambda }(k-1),(k=1,2,3,\dotsc )}$. Mit wachsendem ${\displaystyle k}$ werden dabei die Wahrscheinlichkeiten größer, solange ${\displaystyle k<\lambda }$ ist. Wird ${\displaystyle k>\lambda }$, schrumpfen sie. Der Modus, also der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit, beträgt ${\displaystyle k_{\mathrm {Modus} }=\lfloor \lambda \rfloor }$, wenn ${\displaystyle \lambda }$ nicht ganzzahlig ist, anderenfalls gibt es zwei benachbarte ${\displaystyle k_{\text{Modus}}=\lambda ,\lambda -1}$ (siehe Diagramm rechts oben).

Falls die Berechnung von ${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }}$ wegen zu großer Werte von ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle k}$ Probleme bereitet, dann kann folgende mit der Stirlingformel erhaltene Näherung weiterhelfen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{k(1+\ln(\lambda /k))-\lambda }}{\sqrt {2\pi (k+1/6)}}}.}$

Poisson-verteilte Zufallszahlen werden üblicherweise m​it Hilfe d​er Inversionsmethode erzeugt.

Parameterschätzung

Maximum-Likelihood-Schätzer

Aus einer Stichprobe von ${\displaystyle N}$ Beobachtungen ${\displaystyle n_{i}\in \{0,1,2,\dotsc \}}$ für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,N}$ soll der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ der Poisson-verteilten Grundgesamtheit geschätzt werden. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist gegeben durch das arithmetische Mittel

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}n_{i}}$.

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist ein erwartungstreuer, effizienter und suffizienter Schätzer für den Parameter ${\displaystyle \lambda }$.

Konfidenzintervall

Das Konfidenzintervall für ${\displaystyle \lambda }$ erhält man aus der Beziehung zwischen Poisson- und Chi-Quadrat-Verteilung. Liegt ein Stichprobenwert ${\displaystyle n}$ vor, dann ist ein Konfidenzintervall für ${\displaystyle \lambda }$ zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ gegeben durch

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2n)\leq \lambda \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2n+2)}$,

wobei ${\displaystyle \chi ^{2}(p;i)}$ die Quantilfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle i}$ Freiheitsgraden bezeichnet.

Prognoseintervall

Das Prognoseintervall hat die Aufgabe, vor dem Ziehen einer Stichprobe einen Bereich vorherzusagen, in dem man die Realisierung einer Schätzfunktion mit hoher Wahrscheinlichkeit findet. Die Anzahl ${\displaystyle n_{\text{up}}}$ Poisson-verteilter Ereignisse, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p<1}$ nicht überschritten wird, lässt sich aus der Inversion der Verteilungsfunktion berechnen:

${\displaystyle n_{\text{up}}=F_{\lambda }^{-1}(p).}$

Dabei lässt sich wieder ${\displaystyle F_{\lambda }(n)=p}$ durch die regularisierte Gammafunktion ${\displaystyle Q(n+1,\lambda )=p}$ ausdrücken. Eine elementare Form der Inversion der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{\lambda }}$ oder der Gammafunktion ist nicht bekannt. Gute Dienste leistet in diesem Fall eine zweispaltige ${\displaystyle (n,F_{\lambda }(n)=p)}$ Wertetabelle, die leicht mit der oben im Abschnitt Verteilungsfunktion angegebenen Summe berechenbar ist und zeigt, welche Wahrscheinlichkeiten bestimmten Werten von ${\displaystyle n}$ zugeordnet sind.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

→ Hauptartikel: Poisson-Approximation

Ebenso wie die Binomialverteilung sagt die Poisson-Verteilung das zu erwartende Ergebnis einer Serie von Bernoulli-Experimenten voraus. Letzteres sind Zufallsexperimente, die nur zwei mögliche Ergebnisse kennen (zum Beispiel „Erfolg“ und „Misserfolg“), also einen dichotomen Ereignisraum besitzen. Wird das zeitliche oder räumliche Beobachtungsintervall immer weiter unterteilt, erhöht sich damit die Zahl der Versuche ${\displaystyle (n\to \infty )}$. Die fortschreitende Unterteilung bedingt eine Abnahme der Erfolgswahrscheinlichkeit ${\displaystyle (p\to 0)}$ derart, dass das Produkt ${\displaystyle n\cdot p}$ gegen einen endlichen Grenzwert ${\displaystyle \lambda }$ konvergiert. Dementsprechend nähert sich die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung der mathematisch etwas einfacheren Poisson-Verteilung an.

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierenden Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ und ${\displaystyle p\rightarrow 0}$ unter der Nebenbedingung, dass das Produkt ${\displaystyle np=\lambda }$ einen Wert annimmt, der weder null noch unendlich ist. ${\displaystyle \lambda }$ ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert.

Sowohl d​ie Poisson-Verteilung, a​ls auch d​ie Binomialverteilung s​ind Spezialfälle d​er Panjer-Verteilung.

Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung

Auch d​ie verallgemeinerte Binomialverteilung k​ann für große Stichproben u​nd kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten mittels d​er Poisson-Approximation angenähert werden.

Beziehung zur Normalverteilung

Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für λ = 30 werden durch eine Normalverteilungsdichte angenähert

Die Poisson-Verteilung ${\displaystyle P_{\lambda }}$ hat für kleine Werte von ${\displaystyle \lambda }$ eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdendes ${\displaystyle \lambda }$ wird ${\displaystyle P_{\lambda }}$ symmetrischer und ähnelt ab etwa ${\displaystyle \lambda =30}$ einer gaußschen Normalverteilung mit ${\displaystyle \mu =\lambda }$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=\lambda }$:

${\displaystyle P_{\lambda }(k)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right).}$

Beziehung zur Erlang-Verteilung

• In einem Poisson-Prozess genügt die zufällige Anzahl der Ereignisse in einem festgelegten Intervall der Poisson-Verteilung ${\displaystyle P_{\lambda }}$. Der zufällige Abstand (Strecke oder Zeit) bis zum Eintreffen des ${\displaystyle n}$-ten Ereignisses sowie der Abstand zwischen den Ereignissen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle m+n}$ sind hingegen ${\displaystyle \operatorname {Erl} (g,n)}$-Erlang-verteilt. Man sagt auch, dass die Poisson-Verteilung und die Erlang-Verteilung zueinander konjugierte Verteilungen sind. Im Fall ${\displaystyle n=1}$ geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über (${\displaystyle \operatorname {Erl} (g,1)=\operatorname {Exp} (g)}$). Dabei bezeichnet ${\displaystyle g}$ die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. ${\displaystyle g\,\mathrm {e} ^{-gx}}$ ist dann die Verteilungsdichte des Abstands ${\displaystyle x}$, der bis zum Eintreffen des nächsten Ereignisses vergehen wird, wie auch des Abstandes zwischen zwei aufeinanderfolgen Ereignissen.
• Für die Verteilungsfunktionen der Erlang-Verteilung und der Poisson-Verteilung gilt

${\displaystyle F_{\text{Erlang}}(n+1)+F_{\text{Poisson}}(n)=1}$.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung ${\displaystyle F_{\lambda }}$ und der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle m}$ Freiheitsgraden ${\displaystyle F_{m}}$ hängen auf folgende Weise zusammen:

Die Wahrscheinlichkeit, ${\displaystyle n}$ oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel ${\displaystyle \lambda }$ Ereignisse erwartet, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von ${\displaystyle \chi _{2n}^{2}\leq 2\lambda }$ ist. Es gilt also

${\displaystyle 1-F_{\lambda }(n-1)=F_{2n}(2\lambda )}$.

Dies folgt aus ${\displaystyle 1-Q(n,\lambda )=P(n,\lambda )}$ mit ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ als regularisierte Gammafunktionen.

Beziehung zur Skellam-Verteilung

Dagegen ist die Differenz ${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$ zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$ nicht wieder Poisson-verteilt, sondern Skellam-verteilt.[3] Es gilt:

${\displaystyle P_{\lambda _{1},\lambda _{2}}(X_{1}-X_{2}=k)=e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\lambda _{1}\lambda _{2}}})}$,

wobei ${\displaystyle I_{k}(z)}$ die modifizierte Bessel-Funktion bezeichnet.

Weitere Poisson-Verteilungen

Einige weitere Verteilungen tragen teilweise d​en Namen „Poisson“ u​nd sind Verallgemeinerungen d​er hier beschriebenen Poisson-Verteilung:

• Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit zwei Formparametern. Setzt man einen von ihnen gleich Null, ergibt sich wieder die gewöhnliche Poisson-Verteilung.
• Die gemischte Poisson-Verteilung kombiniert die Poisson-Verteilung mit einer weiteren Wahrscheinlichkeitsdichte.
• Die Poisson-Gamma-Verteilung entsteht bei Kombination mit der Gamma-Verteilung. Sie entspricht der negativen Binomialverteilung.
• Eine weitere Verallgemeinerung ist die zusammengesetzte Poisson-Verteilung. Sie entsteht, wenn man eine Summe unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen bildet und die Anzahl der Summanden Poisson-verteilt ist. Im Gegensatz zu den meisten Verteilungen ist bei dieser Verteilung nicht festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sind die aufsummierten Zufallsvariablen logarithmisch verteilt, so erhält man die negative Binomialverteilung und als einen Spezialfall davon auch die geometrische Verteilung.

Freie Poisson-Verteilung

→ Hauptartikel: Freie Poisson-Verteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es ein freies Analogon zur Poisson-Verteilung, die freie Poisson-Verteilung. Sie wird in Analogie zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die Poisson-Verteilung als der Grenzwert der iterierten freien Faltung ${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$ für ${\displaystyle N\to \infty }$ definiert.

Zweidimensionale Poisson-Verteilung

Die zweidimensionale Poisson-Verteilung, a​uch bivariate Poisson-Verteilung[4] w​ird definiert durch

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$

Die Randverteilungen sind Poisson-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$ und es gilt ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{1},X_{2})=\lambda _{3}}$. Die Differenz ist Skellam-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Dies bedeutet, dass man relativ einfach Abhängigkeiten zwischen Poisson-verteilten Zufallsvariablen einführen kann, wenn man die Mittelwerte der Randverteilungen sowie die Kovarianz kennt oder schätzen kann. Man kann dann die bivariate Poisson-Verteilung ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ einfach erzeugen, indem man drei unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ definiert mit Parametern ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ und dann ${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}}$ setzt.

Analog k​ann die multivariate Poisson-Verteilung[5] definiert werden.

Anwendungsbeispiele

„Seltene“ Ereignisse

Das klassische Beispiel stammt v​on Ladislaus v​on Bortkewitsch, d​er bei d​er Untersuchung d​er Anzahlen d​er Todesfälle d​urch Hufschlag i​n den einzelnen Kavallerie-Einheiten d​er preußischen Armee p​ro Jahr belegen konnte, d​ass diese Anzahlen g​ut durch e​ine Poisson-Verteilung beschrieben werden können.[6]

Allgemein müssen für d​ie einzelnen Zählereignisse (im Beispiel d​ie einzelnen Todesfälle d​urch Hufschläge) d​ie folgenden Bedingungen gelten, d​amit die Anzahl Poisson-verteilt ist:[7]

1. Einzelereignisse: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse in einem kurzen Zeitraum auftreten, ist vernachlässigbar.
2. Proportionalität: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist proportional zur Länge des Zeitraums.
3. Homogenität: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist unabhängig von der Lage des Zeitraums.
4. Unabhängigkeit: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis in einem kurzen Zeitraum zu beobachten, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in anderen nicht-überlappenden Zeiträumen.

Alternativ k​ann man d​iese Bedingungen a​uch damit erklären, d​ass die Wartezeit zwischen z​wei Ereignissen exponentialverteilt ist. Da d​iese gedächtnislos ist, treten d​ie Ereignisse q​uasi zufällig u​nd unabhängig voneinander ein.

Es i​st in j​edem Einzelfall z​u prüfen, o​b die Bedingungen vorliegen, a​ber typische Beispiele sind:

• Anzahl der Druckfehler auf einer Buchseite
• Anzahl der ankommenden Gespräche pro Stunde in einer Telefonzentrale
• Anzahl der radioaktiven Zerfälle einer Substanz in einem gegebenen Zeitintervall (vorausgesetzt, dass die Zerfallsrate nicht merklich abnimmt, die Messdauer also klein im Vergleich zur Halbwertszeit ist)
• Anzahl der Blitzeinschläge pro ha und Jahr
• Anzahl der aufgetretenen Impfschäden pro Jahr
• der V-Waffen-Beschuss von London[8]

Nach d​em Satz v​on Palm-Chintschin konvergieren s​ogar allgemeine Erneuerungsprozesse u​nter relativ milden Bedingungen g​egen einen Poisson-Prozess, d. h., a​uch hier ergibt s​ich für d​ie Anzahl d​er Ereignisse wieder d​ie Poisson-Verteilung. Das bedeutet, d​ass die o​ben angegebenen Bedingungen n​och erheblich abgeschwächt werden können.

Ankünfte von Kunden

In Warteschlangensystemen kommen Kunden o​der Aufträge i​m System an, u​m bedient z​u werden. In d​er Warteschlangentheorie werden d​ie unterschiedlichen Modelle i​n der Kendall-Notation beschrieben. Dabei werden häufig insb. d​ie Anzahl d​er Kunden, d​ie in e​inem gewissen Zeitintervall ankommen, m​it einer Poisson-Verteilung modelliert (abgekürzt d​urch M für exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten). Diese Modellbildung i​st sehr attraktiv, d​a sich u​nter dieser Annahme o​ft einfache analytische Lösungen ergeben.[9]

Häufig kann diese Annahme auch näherungsweise gerechtfertigt werden, hier soll an einem Beispiel illustriert werden, was diese Annahme bedeutet: Ein Kaufhaus wird beispielsweise an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden von einem Kunden betreten. Werden nun im Takt von einer Minute die Personen gezählt, die neu dazu kamen, so würde man im Mittel 6 Personen erwarten, die das Kaufhaus pro Minute betreten. Die Wahl der Länge des Intervalls liegt beim Beobachter. Würde man eine Stunde als Beobachtungsintervall wählen, ergäbe sich ${\displaystyle \lambda =6\cdot 60=360}$, bei einem Intervall von 1 Sekunde wäre ${\displaystyle \lambda =1/10=0{,}1}$. Die relative Schwankung der Kundenanzahl (${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}/\lambda }$) nimmt mit größer werdendem Intervall und folglich größer werdendem ${\displaystyle \lambda }$ ab. Das längere Intervall erlaubt also über die längere Mittelung eine im Prinzip präzisere Beobachtung, ist aber mit mehr Aufwand verbunden und kann innerhalb des Intervalls auftretende Veränderung der Bedingungen (z. B. Ankunft eines Busses mit einkaufswilligen Touristen) nicht erfassen.

Unter folgenden Randbedingungen könnte e​ine Poisson-Verteilung vorliegen:

1. Die Kunden müssen einzeln ankommen. In der Realität kommen aber häufig Personengruppen gemeinsam an.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde ankommt, könnte proportional zur Länge des Beobachtungszeitraums sein.
3. Es gibt sicherlich über den Tag verteilt Stoßzeiten mit erhöhtem Kundenaufkommen, und Flauten.
4. Die Kundenankünfte in verschiedenen Zeiträumen sind nicht notwendigerweise unabhängig. Z. B. bei Überfüllung des Kaufhauses könnten Kunden abgeschreckt werden.

In diesem Beispiel i​st die Annahme d​er Poisson-Verteilung n​ur schwer z​u rechtfertigen, d​aher gibt e​s Warteschlangenmodelle z. B. m​it Gruppenankünften, endlichen Warteschlangen o​der anderen Ankunftsverteilungen, u​m diesen Ankunftsprozess realistischer z​u modellieren. Glücklicherweise s​ind einige wichtige Kennzahlen, w​ie z. B. n​ach Littles Gesetz d​ie durchschnittliche Anzahl v​on Kunden i​m System, n​icht von d​er konkreten Verteilung abhängig, d. h., a​uch wenn Annahmen verletzt sind, g​ilt dasselbe Ergebnis.[10]

Ball-Fächer-Modell

Im Gebiet Abzählende Kombinatorik besteht eine Standard-Aufgabe darin, Bälle oder Kugeln auf Fächer zu verteilen und abzuzählen, wie viele Möglichkeiten es gibt. Ordnet man die ${\displaystyle N}$ Bälle den ${\displaystyle n}$ Fächern zufällig zu, so erhält man für die Anzahl der Bälle in einem festen Fach eine Binomialverteilung mit ${\displaystyle p=1/n}$. Eine Anwendung ist z. B. die Verteilung von Rosinen auf einem Kuchen, mit dem Ziel, dass jedes Stück eine Mindestanzahl von Rosinen enthält.

Zufällig auf dem Boden verstreute Reiskörner.

Das Bild rechts zeigt einen Ausschnitt eines Fußbodens mit quadratischen Fliesen, auf dem Reiskörner zufällig verstreut wurden. Die ${\displaystyle n=49}$ Felder enthalten je ${\displaystyle k=0,\dotsc ,5}$ Reiskörner und insgesamt befinden sich ${\displaystyle N=66}$ Reiskörner im betrachteten Ausschnitt. Man kann die Wahrscheinlichkeiten jetzt direkt über die Binomialverteilung bestimmen, aber es sind auch die Voraussetzungen der Poisson-Approximation erfüllt.

Der Vergleich zwischen Experiment und berechneter Poisson-Verteilung ${\displaystyle P(X=k)}$, wobei ${\displaystyle \lambda =N/n=66/49=1{,}35}$ Reiskörner/Quadrate ist, zeigt intuitiv eine gute Übereinstimmung. Statistisch könnte man die Anpassungsgüte mit einem Anpassungstest überprüfen.

Verteilung des Beispiels, gezählt (blau) und nach Poisson (rot)

${\displaystyle k}$	gezählt	${\displaystyle P(X=k)\cdot 49}$
0	15	12,7
1	15	17,2
2	11	11,6
3	5	5,2
4	1	1,7
5	2	0,5

Die Wahrscheinlichkeit, d​ass ein bestimmtes Feld l​eer bleibt, i​st etwa 26 %:

${\displaystyle P(X=0)={\frac {1{,}35^{0}}{0!}}\,\mathrm {e} ^{-1{,}35}\approx 0{,}26.}$

Sportergebnisse

In vielen Sportarten g​eht es i​n einem Wettbewerb darum, innerhalb e​ines bestimmten Zeitraums m​ehr zählende Ereignisse z​u erwirken a​ls der Gegner. Der Physiker Metin Tolan h​at in seinem Buch z​um Fußballspiel d​ie Anwendbarkeit d​er Poisson-Verteilung i​m Sport ausführlich untersucht.[11]

Die (zeitliche) Konstanz d​er Ereigniswahrscheinlichkeit – e​ine hinreichende Voraussetzung für d​ie Anwendung d​er Poisson-Statistik (siehe o​ben unter Poissonsche Annahmen) – i​st bei Sportergebnissen i​n der Regel höchstens näherungsweise gegeben. Aber i​st man n​ur an d​em reinen Zählwert, z. B. d​er Torzahl e​iner Mannschaft, interessiert, s​o ergibt s​ich auch b​ei zeitabhängiger Torrate e​ine Poisson-Verteilung.[12] Schwieriger z​u rechtfertigen i​st die o​ft getroffene Annahme, d​ass die Tor- o​der Punktzahlen zweier Mannschaften unabhängig sind. Kann m​an diese Annahme n​icht statistisch ausreichend begründen, z. B. d​urch Hypothesen- o​der Anpassungstest a​uf Übereinstimmung d​er Daten m​it der Poisson-Verteilung, s​o kann m​an beispielsweise z​ur bivariaten Poisson-Verteilung übergehen u​nd durch Schätzung d​er Kovarianz e​ine Abhängigkeit einführen.

Tolan argumentiert, d​ass man d​ie Torzahl e​iner Mannschaft i​n einem Fußballspiel i​n guter Näherung a​ls Poisson-verteilt annehmen darf.[13] In seinem Ansatz berücksichtigt e​r zur Schätzung allerdings n​ur die durchschnittliche Anzahl v​on Toren p​ro Spiel u​nd Mannschaft, d. h., e​r betrachtet beispielsweise n​icht die Spielstärke d​er gegnerischen Mannschaft. Er h​at auch nachgewiesen, d​ass über 70 % d​er Varianz d​er Punkteverteilung i​n der Fußball-Bundesliga d​urch Zufall erklärt werden können. Dies belegt a​uch aus stochastischer Sicht, w​arum Fußball spannend ist.

Für d​as Finale i​m DFB-Pokal 2015 hätte Tolan z. B. a​uf Grundlage d​er abgelaufenen Bundesliga-Saison für d​en VfL Wolfsburg 2,12 Tore u​nd für Borussia Dortmund 1,38 Tore geschätzt. Andreas Heuer g​eht einen Schritt weiter u​nd definiert d​ie Spielstärke e​iner Mannschaft a​ls die mittlere Tordifferenz e​iner Mannschaft b​eim Spiel g​egen einen durchschnittlichen Gegner a​uf neutralem Platz.[14] Ebenfalls m​it den Daten a​us der abgelaufenen Bundesliga-Saison hätte m​an für d​en VfL Wolfsburg e​ine mittlere Tordifferenz v​on 1 u​nd für Borussia Dortmund v​on 0,15 geschätzt. Um z​u einer Spielprognose z​u kommen, m​uss man n​ach Heuer n​och die mittlere Anzahl d​er Tore p​ro Spiel berücksichtigen. Für d​iese beiden Mannschaften wäre d​as 2,92 u​nd Heuer würde für d​en VfL Wolfsburg 1,885 Tore u​nd für Borussia Dortmund 1,035 Tore schätzen. Für Saisonprognosen berücksichtigt Heuer i​n seinem kompletten Modell n​och weitere Parameter w​ie die Heimstärke, d​en Marktwert o​der das Abschneiden d​er Mannschaften i​n den Vorsaisons. Das Endspiel endete i​n der Praxis d​ann mit 3 Toren für Wolfsburg u​nd einem Tor für Dortmund.

Zwei-Drittel-Gesetz beim Roulette

Die Poisson-Verteilung ergibt e​ine gute Schätzung, w​ie viele verschiedene Nummern b​ei 37 Roulette-Spielen getroffen werden.

Literatur

• Alessandro Birolini: Reliability Engineering. 7. Auflage., Springer, 2013, ISBN 978-3-642-39534-5
• Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang: Introduction to Probability. Chapman&Hall, 2014, ISBN 978-1-4665-7557-8
• Catherine Forbes, Merran Evans: Statistical Distributions. 4. Auflage. Wiley, 2011, ISBN 978-0-470-39063-4

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Poisson distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Poisson Distribution. In: MathWorld (englisch).
• StatWiki – Herleitung der momenterzeugenden Funktion
• poissonverteilung.de – Allgemeinverständliche Erklärungen, Aufgaben, Tools und Beweise zur Poisson-Verteilung
• Online-Rechner Poisson-Verteilung

Einzelnachweise

1. Adell, Jodra: The median of the poisson distribution. In: Metrika, 61, 2005, S. 337–346, doi:10.1007/s001840400350.
2. A. Papoulis: Poisson Process and Shot Noise. In: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 2. Aufl. McGraw-Hill, New York 1984, S. 554–576.
3. J. G. Skellam: The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 109 (3), 1946, S. 296, JSTOR 2981372.
4. Kazutomu Kawamura: The structure of bivariate Poisson distribution. In: Kodai Mathematical Seminar Reports, Volume 25, Number 2, 1973, S. 246–256, doi:10.2996/kmj/1138846776
5. Kazutomu Kawamura: The structure of multivariate Poisson distribution. In: Kodai Mathematical Seminar Reports, Volume 25, Number 2, 1973, S. 333–345, doi:10.2996/kmj/1138036064
6. Ladislaus von Bortkewitsch: Das Gesetz der kleinen Zahlen. Leipzig 1898 (archive.org)
7. Poisson-Verteilung (Memento vom 20. September 2015 im Internet Archive) Humboldt-Universität Berlin
8. R. D. Clarke: An application of the Poisson distribution. In: Journal of the Institute of Actuaries. Volume 73, Number 3, 1946, S. 481, doi:10.1017/S0020268100035435.
9. Donald Gross, Carl M. Harris: Fundamentals of Queuing Theory. Wiley & Sons, New York 1994.
10. Rolf Schassberger: Warteschlangen. Springer Verlag, Wien, 1973, ISBN 3-211-81074-9
11. Metin Tolan: Manchmal gewinnt der Bessere: die Physik des Fußballspiels, Piper, 2011
12. Alessandro Birolini: Reliability Engineering, Springer, 2014, insb. A7.8.2
13. Holger Dambeck: Ist Fußball ein Glücksspiel? In: Spektrum der Wissenschaft, Juni 2010, S. 68–70.
14. Andreas Heuer: Der perfekte Tipp. Wiley-VCH, 2012.