Empirische Verteilung (Wahrscheinlichkeitsverteilung)

Die empirische Verteilung i​st eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung i​n der Stochastik, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Sie gehört z​u den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen u​nd stellt e​ine Beziehung zwischen d​er deskriptiven Statistik u​nd der Wahrscheinlichkeitstheorie her. So i​st der Erwartungswert d​er empirischen Verteilung d​as arithmetische Mittel d​er zugrundeliegenden Stichprobe, ebenso w​ie die Verteilungsfunktion d​er empirischen Verteilung d​ie empirische Verteilungsfunktion ist.

Definition

Gegeben sei ein Vektor ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$. Es bezeichne ${\displaystyle \delta _{z}}$ das Dirac-Maß auf ${\displaystyle z}$, das gegeben ist durch

${\displaystyle \delta _{z}(A)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}z\in A\\0&{\text{ falls }}z\notin A\end{cases}}}$.

Dann heißt d​ie Wahrscheinlichkeitsverteilung a​uf den reellen Zahlen, gegeben durch

${\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{x_{i}}}$

die empirische Verteilung von ${\displaystyle x}$ auf den reellen Zahlen.[1] Es ist also

${\displaystyle P(A)={\tfrac {1}{n}}\#\{i\mid x_{i}\in A\}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \#}$ die Mächtigkeit der Menge, also die Anzahl ihrer Elemente und ${\displaystyle \{i\mid x_{i}\in A\}}$ enthält die Indizes der Elemente des Vektors ${\displaystyle x}$, die in ${\displaystyle A}$ enthalten sind. Anschaulich wird somit zuerst gezählt, wie viele Komponenten des Vektors ${\displaystyle x}$ in der Menge ${\displaystyle A}$ enthalten sind. Diese Zahl, geteilt durch die Gesamtzahl der Komponenten, ist dann die Wahrscheinlichkeit der Menge ${\displaystyle A}$.

Die empirische Verteilung kann auch auf allgemeineren Grundräumen ${\displaystyle \Omega }$ definiert werden, dann ist ${\displaystyle x\in \Omega ^{n}}$.[2] Dieser Artikel behandelt aber weiterhin den Fall ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Sind alle Komponenten von ${\displaystyle x}$ verschieden, ist also ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$ für ${\displaystyle i\neq j}$, so entspricht die Wahrscheinlichkeitsfunktion der empirischen Verteilung der einer diskreten Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ und ist gegeben durch

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{für }}x=x_{i}\quad (i=1,\dotsc ,n)\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Tritt eine Komponente ${\displaystyle k}$-mal auf, so ist der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion dort entsprechend ${\displaystyle {\tfrac {k}{n}}}$.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion d​er empirischen Verteilung i​st die empirische Verteilungsfunktion u​nd damit gegeben durch

${\displaystyle F(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{[x_{i};+\infty )}(t)}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ die Indikatorfunktion der Menge ${\displaystyle A}$.

Eigenschaften

Gegeben sei eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, welche gemäß der empirischen Verteilung (mit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$) verteilt ist. Dann sind die wahrscheinlichkeitstheoretischen Kennzahlen von ${\displaystyle X}$ wie Erwartungswert und Quantile genau die korrespondierenden Kennzahlen der deskriptiven Statistik der Stichprobe ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ wie das arithmetisches Mittel und die empirischen Quantile.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der empirischen Verteilung ist das arithmetische Mittel von ${\displaystyle x}$ (siehe Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert), also

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Varianz

Die Varianz d​er empirischen Verteilung i​st die (unkorrigierte) empirische Varianz, also

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {x}}}$ das arithmetische Mittel bzw. den Erwartungswert.

Median und Quantile

Der Median (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) der empirischen Verteilung entspricht dem Median der Stichprobe ${\displaystyle x}$, ebenso entsprechen die Quantile der empirischen Verteilung den empirischen Quantilen.

Modus

Der Modus (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) der empirischen Verteilung entspricht dem Modus der Stichprobe ${\displaystyle x}$.

Weitere Streumaße

Des Weiteren gilt:

• Die Standardabweichung der empirischen Verteilung entspricht der empirischen Standardabweichung.
• Der Variationskoeffizient der empirischen Verteilung entspricht dem empirischen Variationskoeffizienten.

Einzelnachweise

1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 116, doi:10.1515/9783110215274.
2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 237, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.