Satz von Moivre-Laplace

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt,[1] ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ und Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle 0<p<1}$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Beim Satz von Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.[2]

Aussage

Sei ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\cdots }$ eine Folge unabhängiger bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern ${\displaystyle p\in \;[0,1]}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=p(1-p)}$. Dann ist die Summe ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle p\in \;[0,1]}$ und es gilt:

(1) ${\displaystyle \quad \operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\;=\;B(k\mid p,n)\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)}$

(2) ${\displaystyle \quad \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(x_{1}\leq {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}\right)\;={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\exp \left(-{x^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right)\mathrm {d} x}$ für alle ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$.

Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die Verteilung der Zufallsvariablen ${\displaystyle \textstyle {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ schwach gegen die Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\right)}$ mit der Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}=p(1-p)}$ konvergiert.

Anwendungen

Der Satz v​on Moivre-Laplace i​st die theoretische Grundlage d​er Normal-Approximation, e​iner Methode, m​it der d​ie Binomialverteilung angenähert werden kann.

Dabei formuliert man die obige Aussage durch eine Substitution um und erhält mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)\right|=0}$

für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Damit kann der Wert der binomialverteilten Zufallsvariable ${\displaystyle S_{n}}$ über die Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden. Diese entnimmt man üblicherweise der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen, wenn ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$ die folgende Bedingung erfüllen:[3]

${\displaystyle np(1-p)>9}$

Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die aus dem Einführen von Korrekturtermen ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$ besteht und den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

Beispiel

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Zur Veranschaulichung d​er Bedeutung d​er Fehlerkorrektur werden nachfolgende Rechnungen durchgeführt.

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit ${\displaystyle n=48}$ und ${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}}$, damit gilt folglich ${\displaystyle np(1-p)=9}$. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert ${\displaystyle \mu =np=12}$ und einer Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)=9}$.

Nun suchen wir die Antwort auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Werte kleiner oder gleich ${\displaystyle \mu -3\sigma =3}$ sind“. Die Berechnungen bzw. Abschätzungen ergeben folgende Resultate:

• Binomialverteilung

${\displaystyle P(0\leq X\leq 3)=\sum _{k=0}^{3}{\binom {48}{k}}\cdot {\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}^{k}\cdot {\bigg (}{\frac {3}{4}}{\bigg )}^{48-k}\approx 0{,}004}$

Der Näherungswert wurde durch Ablesen aus dem nebenstehenden Plot entnommen.

• Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3+0{,}5-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-0{,}5-12}{3}}\right)=\Phi \left(-2{,}83\right)-\Phi \left(-4{,}17\right)\\&=1-\Phi \left(2{,}83\right)-1+\Phi \left(4{,}17\right)\approx -0{,}99767+1=0{,}00233\end{aligned}}}$

Bei dieser Rechnung ist zu beachten, dass aus Gründen der Symmetrie ${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$ gilt und ${\displaystyle \Phi (x)\approx 1}$ für ${\displaystyle x>4{,}09}$ ist.

• Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-12}{3}}\right)=\Phi \left(-3\right)-\Phi \left(-4\right)\\&=1-\Phi \left(3\right)-1+\Phi \left(4\right)=-0{,}99865+0{,}99997=0{,}00132\end{aligned}}}$

Insgesamt k​ann aus d​en Werten d​er „Berechnungen“ erschlossen werden, d​ass mit Hilfe d​er Stetigkeitskorrektur e​in bessere Übereinstimmung m​it dem Wert d​er Binomialverteilung erzielt wird.

Siehe auch

• Zentraler Grenzwertsatz

Literatur

• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3, S. 221 ff.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83

Weblinks

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)

Einzelnachweise

1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 223, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
2. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
3. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130