Normal-Approximation

Die Normal-Approximation i​st eine Methode d​er Wahrscheinlichkeitsrechnung, u​m die Binomialverteilung für große Stichproben d​urch die Normalverteilung anzunähern. Hierbei handelt e​s sich u​m eine Anwendung d​es Satzes v​on Moivre-Laplace u​nd damit a​uch um e​ine Anwendung d​es Zentralen Grenzwertsatzes.

Formulierung

Nach d​em Satz v​on Moivre-Laplace gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\operatorname {P} (S_{n}\leq x)-\Phi {\left({\frac {x-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}\right)=0}$,

wenn ${\displaystyle S_{n}}$ eine binomialverteilte Zufallsvariable ist und ${\displaystyle \Phi (z)}$ die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Setzt man nun ${\displaystyle \mu =np}$ und ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}}$, dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x_{1}\leq S_{n}\leq x_{2})&=\underbrace {\sum _{k=x_{1}}^{x_{2}}{\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}} _{\text{Binomialverteilung}}\\&\approx \underbrace {\Phi {\left({\frac {x_{2}+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}-\Phi {\left({\frac {x_{1}-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)}} _{\text{Normalverteilung}}.\end{aligned}}}$

Das Addieren und Subtrahieren von 0,5 (der Wert ${\displaystyle x_{1}-0{,}5}$ ist damit de facto die Obergrenze des ${\displaystyle x_{1}-1}$-ten Intervalls ${\displaystyle (x_{1}-1)+0{,}5}$) wird auch als „Stetigkeitskorrektur“ bezeichnet und liefert so eine bessere Näherung für den Übergang von der diskreten zur stetigen Berechnung.

Nach d​em Satz v​on Berry-Esseen i​st die Approximation besser, j​e kleiner d​er Term

${\displaystyle {\frac {p(1-p)^{3}+(1-p)p^{3}}{(p(1-p))^{3/2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

ist. Er ist genau dann klein, wenn ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ groß ist. Die Näherung gilt als hinreichend gut, falls ${\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)\geq 9}$ gilt.[1][2] Falls dies nicht gilt, so sollte zumindest ${\displaystyle np\geq 5}$ und ${\displaystyle n(1-p)\geq 5}$ gelten.[3][4] Je asymmetrischer die Binomialverteilung ist, d. h. je größer die Differenz zwischen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle 1-p}$ ist, umso größer sollte ${\displaystyle n}$ sein. Für ${\displaystyle p}$ nahe an 0 ist zur Näherung die Poisson-Approximation besser geeignet. Für ${\displaystyle p}$ nahe an 1 sind beide Approximationen schlecht, dann kann jedoch ${\displaystyle S_{n}'=n-S_{n}}$ statt ${\displaystyle S_{n}}$ betrachtet werden, d. h. bei der Binomialverteilung werden Erfolge und Misserfolge vertauscht. ${\displaystyle S_{n}'}$ ist wieder binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle 1-p}$ und kann daher mit der Poisson-Approximation angenähert werden.

Beispiel

Ein fairer Würfel w​ird 1000 Mal geworfen. Man i​st nun a​n der Wahrscheinlichkeit interessiert, d​ass zwischen 100 u​nd 150 Mal d​ie Sechs gewürfelt wird.

Exakte Lösung

Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega$ :=\{0,\dotsc ,1000\}} , der Anzahl der gewürfelten Sechsen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge ${\displaystyle \Sigma$ :={\mathcal {P}}(\Omega )} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung ${\displaystyle P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})}$, wobei ${\displaystyle n=1000}$ ist und ${\displaystyle p=1/6}$. Es ist dann

${\displaystyle P(100\leq S_{n}\leq 150)=\sum _{i=100}^{150}{\binom {1000}{i}}p^{i}(1-p)^{1000-i}\approx 0{,}0837}$

Mit e​iner Wahrscheinlichkeit v​on ca. 8,4 % w​ird also zwischen 100 u​nd 150 Mal d​ie Sechs gewürfelt.

Approximierte Lösung

Es ist ${\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)\approx 138{,}9>9}$, die approximierte Lösung ist also ausreichend genau. Folglich gilt

${\displaystyle P(100\leq S_{n}\leq 150)\approx \Phi \left({\frac {150+0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {100-0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \approx \Phi (-1{,}3718)-\Phi (-5{,}6993)\approx 1-\Phi (1{,}3718)\approx 0{,}0851}$

Die Werte von ${\displaystyle \Phi (z)}$ sind meist in einer Tabelle vorgegeben, da keine explizite Stammfunktion existiert. Dennoch ist die approximierte Lösung numerisch günstiger, da keine umfangreichen Berechnungen der Binomialkoeffizienten durchgeführt werden müssen.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg, Braunschweig 1988, ISBN 978-3-528-07259-9, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.

Einzelnachweise

1. Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130
2. Christian Hassold, Sven Knoth, Detlef Steuer; Formelsammlung Statistik I & II. Beschreibende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Schließende Statistik; Hamburg 2010, S. 25 (Memento vom 9. Februar 2016 im Internet Archive), zuletzt abgerufen 9. Februar 2016.
3. K.Zirkelbach, W.Schmid; Kommentierte Formelsammlung Statistik I und II. Deskriptive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung; Frankfurt(Oder) 2008, S. 29.
4. Formelsammlung zur Vorlesung Statistik I/II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (WS 08/09); LMU München 2008, S.23, zuletzt abgerufen 9. Februar 2016.