Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung bzw. ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Verteilung (ältere Bezeichnung: Helmert-Pearson-Verteilung, nach Friedrich Robert Helmert und Karl Pearson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen einzigen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$.

Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit unterschiedlicher Anzahl an Freiheitsgraden k

Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ abgeleitet werden kann: Hat man ${\displaystyle n}$ Zufallsvariablen ${\displaystyle Z_{i}}$, die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen ${\displaystyle Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}}$. Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei Schätzfunktionen wie der Stichprobenvarianz zur Schätzung der empirischen Varianz auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten. Kann z. B. eine Gerade die Daten erklären, oder braucht man doch eine Parabel oder vielleicht einen Logarithmus? Man wählt verschiedene Modelle aus, und dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten Chi-Quadrat-Wert, bietet die beste Erklärung der Daten.[1][2] So stellt die Chi-Quadrat-Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die empirische Varianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind weiter unten und im Artikel Chi-Quadrat-Test beschrieben.

Die Chi-Quadrat-Verteilung w​urde 1876 eingeführt v​on Friedrich Robert Helmert, d​ie Bezeichnung stammt v​on Karl Pearson (1900).[3]

Definition

Dichte und Verteilung von mehreren Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen

Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad:

${\displaystyle Z^{2}\sim \chi ^{2}(1)}$.

Weiterhin gilt, wenn ${\displaystyle X_{r_{1}},\dotsc ,X_{r_{n}}}$ gemeinsam stochastisch unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen sind, dann ist deren Summe Chi-Quadrat-verteilt mit der Summe der jeweiligen Freiheitsgrade[4]

${\displaystyle Y=X_{r_{1}}+\dotsb +X_{r_{n}}\sim \chi ^{2}(r_{1}+\dotsb +r_{n})}$.

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist also reproduktiv. Seien ${\displaystyle Z_{1},\dotsc ,Z_{n}}$ stochastisch unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann gilt für deren Quadratsumme ${\displaystyle Q}$, dass sie Chi-Quadrat-verteilt mit der Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$ ist:

${\displaystyle Q=Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}\;\sim \;\chi ^{2}(n)}$.

Das Zeichen ${\displaystyle \,\sim }$ ist eine Kurzschreibweise für „folgt der Verteilung“. Bspw. bedeutet ${\displaystyle Q\;\sim \;\chi ^{2}(n)}$; auch oft als ${\displaystyle Q\;\sim \;\chi _{n}^{2}}$ geschrieben: Die Zufallsvariable ${\displaystyle Q}$ folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$. Die Summe quadrierter Größen kann keine negativen Werte annehmen.

Im Unterschied dazu gilt für die einfache Summe ${\displaystyle Z_{1}+\dotsb +Z_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,n)}$ mit um den Nullpunkt symmetrischer Verteilung.

Dichte

Die Dichte ${\displaystyle f_{n}}$ der ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden hat die Form:

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}\quad ,x>0}$

Dabei steht ${\displaystyle \Gamma (r)}$ für die Gammafunktion. Die Werte von ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {n}{2}})}$ kann man mit

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}\;,\quad \Gamma (1)=1\;,}$

${\displaystyle \Gamma (r+1)=r\cdot \Gamma (r)\quad {\text{mit}}\quad r\in \mathbb {R} ^{+}}$.

berechnen.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion kann man mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion schreiben:

${\displaystyle F_{n}(x)=P({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x}{2}}).}$

Wenn ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl ist, dann kann die Verteilungsfunktion (mehr oder weniger) elementar dargestellt werden:

${\displaystyle P\left({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x}{2}}\right)=1-e^{-{\frac {x}{2}}}\sum \limits _{k=0}^{n/2-1}{\frac {1}{\Gamma (k+1)}}({\tfrac {x}{2}})^{k}\quad (n=2,4,\dotsc ),}$

${\displaystyle P({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x}{2}})=\operatorname {Erf} \left({\sqrt {\tfrac {x}{2}}}\right)-e^{-{\frac {x}{2}}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor -1}{\frac {1}{\Gamma (k+{\tfrac {3}{2}})}}({\tfrac {x}{2}})^{k+{\tfrac {1}{2}}}\quad (n=1,3,\dotsc ),}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {Erf} }$ die Fehlerfunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ im Intervall ${\displaystyle [0,x]}$ liegt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi _{n}^{2}\right)=n}$.

Unter der Voraussetzung einer standardnormalverteilten Grundgesamtheit sollte also bei richtiger Abschätzung der Varianz der Grundgesamtheit der Wert ${\displaystyle \chi _{n}^{2}/n}$ in der Nähe von 1 liegen.

Varianz

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist gleich 2 mal die Anzahl der Freiheitsgrade

${\displaystyle \operatorname {Var} (\chi _{n}^{2})=2n}$.

Modus

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist ${\displaystyle n-2}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$.

Schiefe

Die Schiefe ${\displaystyle \gamma _{m}}$ der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist

${\displaystyle \gamma _{m}(\chi _{n}^{2})={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {n}}}}$.

Die Chi-Quadrat-Verteilung besitzt eine positive Schiefe, d. h., sie ist linkssteil- bzw. rechtsschief. Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$, desto weniger schief ist die Verteilung.

Kurtosis

Die Kurtosis (Wölbung) ${\displaystyle \beta _{2}}$ der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden ist gegeben durch

${\displaystyle \beta _{2}=3+{\frac {12}{n}}}$.

Der Exzess ${\displaystyle \gamma _{2}}$ gegenüber der Normalverteilung ergibt sich damit zu  ${\displaystyle \gamma _{2}={\tfrac {12}{n}}}$.[5] Daher gilt: Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$, desto geringer der Exzess.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion für ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$ hat die Form[6]

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion für ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$ ergibt sich aus der momenterzeugenden Funktion als:

${\displaystyle \varphi _{X}(s)={\frac {1}{(1-2is)^{n/2}}}}$.

Entropie

Die Entropie d​er Chi-Quadrat-Verteilung (ausgedrückt i​n nats) beträgt

${\displaystyle H(X)=\ln \left(2\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {n}{2}},}$

wobei ψ(p) d​ie Digamma-Funktion bezeichnet.

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes ${\displaystyle \mu _{i}(i=1,\ldots ,n)}$ zentriert sind (d. h., wenn nicht alle ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ sind), erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben ${\displaystyle n}$ den Nichtzentralitätsparameter ${\displaystyle \lambda >0}$.

Seien ${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},1),\,i=1,2,\ldots ,n}$, so ist

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{Z_{i}}^{2}\sim \chi ^{2}(n,\lambda )}$ mit ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}{\mu _{i}}^{2}}$.

Insbesondere folgt aus ${\displaystyle \,X\sim \chi ^{2}(n-1)}$ und ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }},1)}$, dass ${\displaystyle \,X+Z^{2}\sim \chi ^{2}(n,\lambda )}$ ist.

Eine zweite Möglichkeit, e​ine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung z​u erzeugen, i​st als Mischverteilung d​er zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist

${\displaystyle \chi ^{2}(n+2\,j)=\chi ^{2}(n,\lambda )}$,

wenn ${\displaystyle j\sim {\mathcal {P}}\left({\tfrac {\lambda }{2}}\right)}$ aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion d​er nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}(x+\lambda )\right\}}{2^{\frac {n}{2}}}}\,\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {n}{2}}+j-1}\lambda ^{j}}{2^{2j}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}+j\right)\,j!}}}$ für ${\displaystyle x\geq 0}$ , ${\displaystyle \,f(x)=0}$ für ${\displaystyle \,x<0}$ .

Die Summe über j führt auf eine modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung ${\displaystyle I_{q}(x)}$ . Damit erhält die Dichtefunktion folgende Form:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}(x+\lambda )\right\}x^{{\frac {1}{2}}(n-1)}{\sqrt {\lambda }}}{2(\lambda x)^{\frac {n}{4}}}}\,I_{{\frac {n}{2}}-1}\left({\sqrt {\lambda x}}\right)}$ für ${\displaystyle x\geq 0}$.

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ${\displaystyle n+\lambda }$ und ${\displaystyle 2n+4\lambda }$ gehen ebenso wie die Dichte selbst bei ${\displaystyle \lambda \to 0}$ in die entsprechenden Ausdrücke der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung über.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung kann mit Hilfe der Marcum-Q-Funktion ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$ ausgedrückt werden.[7]

${\displaystyle F(x)=1-Q_{\frac {n}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

Beispiel

Man macht ${\displaystyle n}$ Messungen einer Größe ${\displaystyle x}$, die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Sei ${\displaystyle {\overline {x}}}$ der empirische Mittelwert der ${\displaystyle n}$ gemessenen Werte und

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-{\overline {x}})^{2}}$

die korrigierte Stichprobenvarianz. Dann lässt sich z. B. das 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ angeben:

${\displaystyle {\tfrac {n-1}{\chi _{b}^{2}}}\,s^{2}\leq \sigma ^{2}\leq {\tfrac {n-1}{\chi _{a}^{2}}}\,s^{2},}$

wobei ${\displaystyle \chi _{b}^{2}}$ durch ${\displaystyle F_{n-1}(\chi _{b}^{2})=0{,}975}$ und ${\displaystyle \chi _{a}^{2}}$ durch ${\displaystyle F_{n-1}(\chi _{a}^{2})=0{,}025}$ bestimmt wird, und deshalb auch ${\displaystyle \chi _{a}^{2}\leq n-1\leq \chi _{b}^{2}}$. Die Grenzen ergeben sich daraus, dass ${\displaystyle {\tfrac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ wie ${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$ verteilt ist.

Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz

Sei ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ eine Stichprobe von ${\displaystyle n}$ Messwerten, gezogen aus einer normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mit empirischen Mittelwert ${\displaystyle {\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ und Stichprobenvarianz ${\displaystyle s^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$ als Schätzfunktionen für Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ der Grundgesamtheit.

Dann lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle {\tfrac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ verteilt ist wie ${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$.

Dazu werden nach Helmert[8] die ${\displaystyle (x_{i})}$ mittels einer orthonormalen Linearkombination in neue Variablen ${\displaystyle (y_{j})}$ transformiert. Die Transformation lautet:

${\displaystyle y_{1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}x_{1}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}x_{2}}$

${\displaystyle y_{2}={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}x_{1}+{\tfrac {1}{\sqrt {6}}}x_{2}-{\tfrac {2}{\sqrt {6}}}x_{3}}$

   ${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n-1}={\tfrac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}x_{1}+{\tfrac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}x_{2}+\dotsb +{\tfrac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}x_{n-1}-{\tfrac {n-1}{\sqrt {n(n-1)}}}x_{n}}$

${\displaystyle y_{n}={\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{1}+{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{2}+\dotsb +{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{n-1}+{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{n}={\sqrt {n}}\,{\overline {x}}.}$

Die neuen unabhängigen Variablen ${\displaystyle y_{i}}$ sind wie ${\displaystyle X}$ normalverteilt mit gleicher Varianz ${\displaystyle \sigma _{y_{i}}^{2}=\sigma _{x_{i}}^{2}=\sigma ^{2},(i=1,\dots ,n)}$, aber mit Erwartungswert ${\displaystyle \mathrm {E} (y_{i})=0,(i=1,\dots ,n-1),}$ beides aufgrund der Faltungsinvarianz der Normalverteilung.

Außerdem gilt für die Koeffizienten ${\displaystyle a_{ij}}$ in ${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}}$ (falls ${\displaystyle j>i+1}$ , ist ${\displaystyle a_{ij}=0}$) wegen der Orthonormalität ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}}$ (Kronecker-Delta) und damit

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\sum _{k=1}^{n}a_{ik}x_{k}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\delta _{jk}x_{j}x_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}.}$

Deshalb ergibt s​ich nun für d​ie Summe d​er Abweichungsquadrate

${\displaystyle (n-1)s^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{\overline {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-y_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}y_{i}^{2}}$

und schlussendlich nach Division durch ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle (n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {y_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

Der Ausdruck auf der linken Seite ist offenbar verteilt wie eine Summe von quadrierten standardnormalverteilten unabhängigen Variablen mit ${\displaystyle n-1}$ Summanden, wie für ${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$ gefordert.

Demnach ist also die Summe Chi-Quadrat-verteilt mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {x_{i}-{\overline {x}}}{\sigma }}\right)^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$, während laut Definition der Chi-Quadrat-Summe ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {x_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\sim \chi _{n}^{2}}$. Ein Freiheitsgrad wird hier „verbraucht“, denn aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des empirischen Mittels ${\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}$ ist die letzte Abweichung ${\displaystyle \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)}$ bereits durch die ersten ${\displaystyle (n-1)}$ bestimmt. Folglich variieren nur ${\displaystyle (n-1)}$ Abweichungen frei und man mittelt die empirische Varianz deshalb, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle (n-1)}$ dividiert.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$, so gilt

${\displaystyle X\sim \gamma ({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {1}{2}}).}$

Beziehung zur Normalverteilung

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung

• Seien ${\displaystyle Z_{1},\dotsc ,Z_{n}}$ unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann gilt für deren Quadratsumme ${\displaystyle Q}$, dass sie Chi-Quadrat-verteilt mit der Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$ ist:

${\displaystyle Q=Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}\;\sim \;\chi ^{2}(n)}$.

• Für ${\displaystyle n\geq 30}$ ist ${\displaystyle Y={\sqrt {2X}}-{\sqrt {2n-1}}}$ näherungsweise standardnormalverteilt.

• Für ${\displaystyle n>100}$ ist die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert ${\displaystyle n}$ und Standardabweichung ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$ bzw. bei einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle n+\lambda }$ und Standardabweichung ${\displaystyle {\sqrt {2n+4\lambda }}}$.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ mit dem Parameter ${\displaystyle \,\lambda =1/2}$.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle 2n}$ Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$ mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden und ${\displaystyle \,\lambda =1/2}$.

Beziehung zur F-Verteilung

Seien ${\displaystyle \chi ^{2}(r_{1})}$ und ${\displaystyle \chi ^{2}(r_{2})}$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ Freiheitsgraden, dann ist der Quotient

${\displaystyle F={\frac {\chi ^{2}(r_{1})/r_{1}}{\chi ^{2}(r_{2})/r_{2}}}}$

F-verteilt mit ${\displaystyle r_{1}}$ Zählerfreiheitsgraden und ${\displaystyle r_{2}}$ Nennerfreiheitsgraden.[9]

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Verteilungsfunktionen d​er Poisson-Verteilung u​nd der Chi-Quadrat-Verteilung hängen a​uf folgende Weise zusammen:

Die Wahrscheinlichkeit, ${\displaystyle n}$ oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel ${\displaystyle \lambda }$ Ereignisse erwartet, gleicht der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von ${\displaystyle \chi _{2n}^{2}\leq 2\lambda }$ ist. Es gilt nämlich

${\displaystyle 1-Q(n,\lambda )=P(n,\lambda )}$,

mit ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ als regularisierte Gammafunktionen.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Für gerade ${\displaystyle n=2m}$ kann man die ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$-Verteilung als ${\displaystyle m}$-fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetigen Dichte ${\displaystyle U(0,1)}$:

${\displaystyle \chi _{n}^{2}=-2\ln {\left(\prod _{i=1}^{m}u_{i}\right)}=-2\sum _{i=1}^{m}\ln(u_{i})}$,

worin die ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle m}$ unabhängige gleichmäßig stetig verteilte Zufallsvariablen sind.

Für ungerade ${\displaystyle n}$ gilt dagegen

${\displaystyle \chi _{n}^{2}=\chi _{n-1}^{2}+\left[{\mathcal {N}}(0,1)\right]^{2}.}$

Herleitung der Dichtefunktion

Die Dichte der Zufallsvariable ${\displaystyle \chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}}$, mit ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ unabhängig und standardnormalverteilt, ergibt sich aus der gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$. Diese gemeinsame Dichte ist das ${\displaystyle n}$-fache Produkt der Standardnormalverteilungsdichte:

${\displaystyle f_{X_{1},\dots ,X_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x_{i}^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}.}$

Für d​ie gesuchte Dichte gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\chi _{n}^{2}}(z)&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\&=(2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}\\\end{aligned}}}$

mit ${\displaystyle K=\{z\leq x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\leq z+h\}.}$

Im Grenzwert ist die Summe im Argument der Exponentialfunktion gleich ${\displaystyle z}$. Man kann zeigen, dass man den Integranden als ${\displaystyle (2\pi )^{-{\tfrac {n}{2}}}e^{-{\frac {z}{2}}}}$ vor das Integral und den Limes ziehen kann.

Das verbleibende Integral

${\displaystyle \int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt {z}})}$

entspricht dem Volumen der Schale zwischen der Kugel mit Radius ${\displaystyle {\sqrt {z+h}}}$ und der Kugel mit Radius ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ,

wobei ${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}}$ das Volumen der n-dimensionalen Kugel mit Radius R angibt.

Es folgt: ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}={\frac {\mathrm {d} \,V_{n}({\sqrt {z}})}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}z^{{\tfrac {n}{2}}-1}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}}$

und nach Einsetzen in den Ausdruck für die gesuchte Dichte: ${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}z^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {z}{2}}\right\}\quad ,z>0}$.

Quantilfunktion

Die Quantilfunktion ${\displaystyle x_{p}}$ der Chi-Quadrat-Verteilung ist die Lösung der Gleichung ${\displaystyle p=P({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x_{p}}{2}})}$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

${\displaystyle x_{p}=2P^{-1}\left({\tfrac {n}{2}},p\right),}$

mit ${\displaystyle P^{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Gammafunktion. Dieser Wert ${\displaystyle x_{p}}$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle n}$ eingetragen.

Quantilfunktion für kleinen Stichprobenumfang

Für wenige Werte ${\displaystyle n}$ (1, 2, 4) kann man die Quantilfunktion auch alternativ angeben:

${\displaystyle n=1:x_{p}=2(\operatorname {Erf} ^{-1}(p))^{2},}$

${\displaystyle n=2:x_{p}=-2\,\ln(1-p),}$

${\displaystyle n=4:x_{p}=-2\,(1+W_{-1}(-(1-p)/e)),}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {Erf} }$ die Fehlerfunktion, ${\displaystyle W_{-1}(x)\,}$ den unteren Zweig der Lambertschen W-Funktion bezeichnet und ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl.

Näherung der Quantilfunktion für feste Wahrscheinlichkeiten

Für bestimmte feste Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p}$ lassen sich die zugehörigen Quantile ${\displaystyle x_{p}}$ durch die einfache Funktion des Stichprobenumfangs ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{p}\approx n+a{\sqrt {n+\operatorname {sgn}(a){\sqrt {n}}}}+b+c/n}$

mit den Parametern ${\displaystyle a,b,c}$ aus der Tabelle annähern, wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)}$ die Signum-Funktion bezeichnet, die einfach das Vorzeichen ihres Arguments darstellt:

${\displaystyle p}$	0,005	0,01	0,025	0,05	0,1	0,5	0,9	0,95	0,975	0,99	0,995
${\displaystyle a}$	−3,643	−3,298	−2,787	−2,34	−1,83	0	1,82	2,34	2,78	3,29	3,63
${\displaystyle b}$	1,8947	1,327	0,6	0,082	−0,348	−0,67	−0,58	−0,15	0,43	1,3	2
${\displaystyle c}$	−2,14	−1,46	−0,69	−0,24	0	0,104	−0,34	−0,4	−0,4	−0,3	0

Der Vergleich mit einer ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Tabelle zeigt ab ${\displaystyle n>3}$ einen relativen Fehler unter 0,4 %, ab ${\displaystyle n>10}$ unter 0,1 %. Da die ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Verteilung für große ${\displaystyle n}$ in eine Normalverteilung mit Standardabweichung ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$ übergeht, besitzt der Parameter ${\displaystyle a}$ aus der Tabelle, der hier frei angepasst wurde, bei der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ etwa die Größe des ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$-fachen des Quantils der Normalverteilung (${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\operatorname {Erf} ^{-1}(2p-1)}$), wobei ${\displaystyle \operatorname {Erf} ^{-1}}$ die Umkehrfunktion der Fehlerfunktion bedeutet.

Das 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit aus dem Abschnitt Beispiel kann z. B. mit den beiden Funktionen ${\displaystyle x_{p}}$ aus den Zeilen mit ${\displaystyle p=0{,}025\to \chi _{a}^{2}}$ und ${\displaystyle p=0{,}975\to \chi _{b}^{2}}$ auf einfache Weise als Funktion von ${\displaystyle n}$ grafisch dargestellt werden.

Der Median befindet sich in der Spalte der Tabelle mit ${\displaystyle p=0{,}5}$.

Literatur

• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. 12. Auflage. Oldenbourg, 1999, ISBN 3-486-24984-3, S. 152 ff.

Einzelnachweise

1. R. Barlow: Statistics Wiley, 1989, S. 152 (Goodness of Fit).
2. Kendall, Stuart: The Advanced Theory Of Statistics Vol. 2 Third Edition, London, 1973, S. 436 (Goodness of Fit).
3. F. R. Helmert. In: Zeitschrift fuer Math. und Physik 21, 1876, S. 102–219. Karl Pearson: On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling. In: Philosophical Magazine 5, Band 50, 1900, S. 157–175. Zitiert nach L. Schmetterer: Mathematische Statistik. Springer, Wien 1966, S. 93
4. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 51.
5. Wolfram Mathworld
6. A. C. Davison: Statistical Models, Cambridge University Press 2008, ISBN 1-4672-0331-9, Kapitel 3.2
7. Albert H. Nuttall: Some Integrals Involving the Q_M Function. In: IEEE Transactions on Information Theory. Nr. 21, 1975, S. 95–96, doi:10.1109/TIT.1975.1055327.
8. Helmert. In: Astronomische Nachrichten, 88, 1876, S. 113–132
9. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 51.