Beta-Binomialverteilung

Die Beta-Binomialverteilung ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist univariat. Sie kann als eine Art Verallgemeinerung der Binomialverteilung angesehen werden, da in dieser die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle x}$ Erfolgen auf ${\displaystyle n}$ bei gegebener Wahrscheinlichkeit eines Einzelerfolges angegeben wird, während in der Beta-Binomialverteilung die Erfolgswahrscheinlichkeit nur ungenau bekannt ist und durch eine Betaverteilung B(a,b) beschrieben wird. Es handelt sich somit um eine Mischverteilung.

Die Beta-Binomialverteilung h​at drei Parameter: n, a, b

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Beta-Binomialverteilung für unterschiedliche Parameter

Die Verteilungsfunktion der Beta-Binomialverteilung für unterschiedliche Parameter

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ hat eine Beta-Binomialverteilung mit den Parametern ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a>0}$ und ${\displaystyle b>0}$, in Zeichen ${\displaystyle X\sim BeB(n,a,b)}$, wenn sie für alle ${\displaystyle x}$ aus dem Träger ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle P(X=x)={n \choose x}{\frac {\mathrm {B} (a+x,b+n-x)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

hat, wobei ${\displaystyle \mathrm {B} }$ die Betafunktion ist.

Konstruktion

Ist ${\displaystyle f(x|p,n)}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung und ${\displaystyle b(p|a,b)}$ die Dichte der Beta-Verteilung, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Mischverteilung als

${\displaystyle P(X=x)=M(x|n,a,b)=\int _{0}^{1}f(x|p,n)b(p|a,b)dp}$.

Das Integral entspricht g​enau der obigen Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Alternative Darstellung

Alternativ lässt s​ich die Wahrscheinlichkeitsfunktion a​uch darstellen als

${\displaystyle P(X=x)=C{n \choose x}\Gamma (a+x)\Gamma (b+n-x).}$

Dabei i​st die Konstante C e​ine Normierungskonstante u​nd wird folgendermaßen berechnet:

${\displaystyle C={\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (a+b+n)}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert hängt v​on allen d​rei Parametern ab:

${\displaystyle E(X)=n{\frac {a}{a+b}},}$

Varianz

Die Varianz ist:

${\displaystyle Var(X)=n{\frac {ab}{(a+b)^{2}}}{\frac {a+b+n}{a+b+1}}.}$

Schiefe

Die Schiefe w​ird angegeben mit

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=(a+b+2n){\frac {b-a}{a+b+2}}{\sqrt {\frac {1+a+b}{nab(n+a+b)}}}}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion d​er Beta-Binomialverteilung ist

${\displaystyle m_{X}\left(t\right)={_{2}F_{1}}\left(-n,a;a+b;1-t\right)\!}$.

Hierbei ist ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ die gaußsche hypergeometrische Funktion.

Charakteristische Funktion

Durch Substitution f​olgt daraus d​ie charakteristische Funktion:

${\displaystyle \varphi _{X}\left(t\right)={_{2}F_{1}}\left(-n,a;a+b;1-e^{it}\right)\!}$.

Momenterzeugende Funktion

Damit i​st die momenterzeugende Funktion

${\displaystyle M_{X}\left(t\right)={_{2}F_{1}}\left(-n,a;a+b;1-e^{t}\right)\!}$.

Spezialfälle

Falls ${\displaystyle a=1}$ und ${\displaystyle b=1}$, dann handelt es sich um eine diskrete Gleichverteilung mit ${\displaystyle P(X=x)={\tfrac {1}{n+1}}}$, da der Träger ${\displaystyle n+1}$ Werte beinhaltet.

Anwendungsbereiche

Die Beta-Binomialverteilung w​ird typischerweise i​n Fällen angewendet, b​ei denen m​an üblicherweise e​ine Binomialverteilung benutzen würde, a​ber nicht d​avon ausgehen kann, d​ass alle Einzelereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit h​aben einzutreten, sondern d​iese Wahrscheinlichkeiten m​ehr oder minder glockenförmig u​m einen Wert liegen.

Will m​an zum Beispiel wissen, w​ie viele Glühlampen innerhalb d​er nächsten 12 Monaten ausfallen werden, g​eht aber d​avon aus, d​ass die Wahrscheinlichkeit e​ines Ausfalls e​iner Glühlampe zwischen verschiedenen Lieferkartons abweicht, d​ann ist e​ine Beta-Binomialverteilung angebracht.

Empirisch k​ann man vermuten, m​it einer Beta-Binomialverteilung z​u tun z​u haben, obwohl m​an eher a​n ein Binomialmodell denken würde, f​alls die Daten m​ehr streuen a​ls von d​er Binomialverteilung vorgesehen.

Beispiel

Modell in der bayesschen Statistik

Eine Urne enthält eine unbekannte Anzahl von Bällen, von denen man aus anderen Stichproben weiß, dass der Anteil roter Bälle von einer Betaverteilung ${\displaystyle B(a,b)}$ beschrieben wird.

Es sollen n-mal Bälle gezogen werden (mit Zurücklegen). Die Wahrscheinlichkeit, dass x-mal ein roter Ball gezogen wird, ist in der Beta-Binomialverteilung ${\displaystyle BeB(n,a,b)}$.

Zahlenbeispiel

Ausgehend von einer kompletten Unwissenheit der apriori Verteilung, die mit einer ${\displaystyle Beta(1,1)}$ beschrieben wird (Alternativen sind z. B. ${\displaystyle Beta({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$), wird eine "Vorstudie" mit einer Ziehung (mit Wiederholung) von 15 Bällen organisiert. Einer dieser Bälle ist rot. Somit wird die a posteriori Verteilung mit der ${\displaystyle Beta(1+1,1+14)=Beta(2,15)}$ beschrieben.

Die eigentliche "Studie" s​ieht eine Ziehung v​on 40 Bällen vor. Gefragt i​st die Wahrscheinlichkeit, d​ass genau z​wei Mal e​in roter Ball gezogen wird.

Da in dieser zweiten Ziehung die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(X=x)}$ jene einer ${\displaystyle BeB(40,2,15)}$ ist, lässt sie sich wie folgt berechnen:

${\displaystyle P(X=2,n=40,a=2,b=15)=C{40 \choose 2}\Gamma (2+2)\Gamma (15+40-2)}$,

wobei

${\displaystyle C={\frac {\Gamma (2+15)}{\Gamma (2)\Gamma (15)\Gamma (2+15+40)}}}$

und da ${\displaystyle {40 \choose 2}=780}$ und außerdem allgemein ${\displaystyle \Gamma (k)=(k-1)!\,}$ ist, erhält man

Die im Beispiel benutzten Zufallsvariablen

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=2|n=40,a=2,b=15)&={\frac {16!}{1\cdot 14!\cdot 56!}}(780\cdot 6\cdot 52!)\\&=780\cdot 6\cdot {\frac {16!}{14!}}\cdot {\frac {54!}{56!}}={\frac {780}{53}}\cdot {\frac {6}{54}}\cdot {\frac {15}{55}}\cdot {\frac {16}{56}}\\&={\frac {260}{53}}\cdot {\frac {2}{77}}=0{,}12741975=12{,}74\,\%.\end{aligned}}}$ 

Dieses Ergebnis weicht wesentlich von jenem, welches mit einer „einfachen“ Binomialverteilung ${\displaystyle B(n=40,p={\tfrac {1}{15}})}$ berechnet worden wäre, ab. In diesem Fall wäre das Ergebnis ${\displaystyle P(X=2,n=40,p={\tfrac {1}{15}})=25{,}19\,\%}$.

Aus der Grafik wird ersichtlich, dass die „einfache“ Binomialverteilung ${\displaystyle B(n=40,p={\tfrac {1}{15}})}$ weniger Ergebnisse „zulässt“ als die ${\displaystyle BeB(n=40,a=2,b=15)}$. Dies geschieht, da man in dem bayesschen Modell nicht vernachlässigt, dass der „wahre“ Anteil an roten Bällen im Grunde unbekannt ist, und somit die Ergebnisse stärker streuen.

Literatur

• Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, Unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2.
• Jim Albert: Bayesian Computation With R, Springer New York, 2009, ISBN 978-0-387-92297-3, doi:10.1007/978-0-387-92298-0.

Siehe auch

• Poisson-Gamma-Verteilung

Weblinks

• http://www.vosesoftware.com/ModelRiskHelp/Distributions/Discrete_distributions/Beta-Binomial_distribution.htm
• Eric W. Weisstein: Beta-Binomial Distribution. In: MathWorld (englisch).