Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung i​st eine zweiparametrige Familie v​on stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über d​er Menge d​er positiven reellen Zahlen. Abhängig v​on ihren beiden Parametern ähnelt s​ie einer Normalverteilung o​der asymmetrischen Verteilungen w​ie der Exponentialverteilung. Sie w​ird unter anderem z​ur statistischen Modellierung v​on Windgeschwindigkeiten o​der zur Beschreibung d​er Lebensdauer u​nd Ausfallhäufigkeit v​on elektronischen Bauelementen o​der (spröden) Werkstoffen herangezogen. Anders a​ls eine Exponentialverteilung berücksichtigt s​ie die Vorgeschichte e​ines Objekts, s​ie ist gedächtnisbehaftet u​nd berücksichtigt d​ie Alterung e​ines Bauelements n​icht nur m​it der Zeit, sondern i​n Abhängigkeit v​on seinem Einsatz. Sie lässt s​ich an steigende, konstante u​nd fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen. Benannt i​st die Verteilung n​ach dem schwedischen Ingenieur u​nd Mathematiker Waloddi Weibull. Eine besondere Bedeutung h​at sie i​n der Ereigniszeitanalyse.

Weibull-Verteilung
Dichtefunktion Dichtefunktion für verschiedene Formparameter ${\displaystyle k}$
Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ für verschiedene Formparameter k
Parameter	${\displaystyle k>0}$ — Formparameter ${\displaystyle \lambda >0}$ — inverser Skalenparameter
Träger	${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\geq 0\}}$
Dichtefunktion	${\displaystyle f(x)=\lambda \,k\,(\lambda \,x)^{k-1}\mathrm {e} ^{-(\lambda \,x)^{k}}}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle F(x)=1-\mathrm {e} ^{-(\lambda \,x)^{k}}}$
Erwartungswert	${\displaystyle \lambda ^{-1}\,\Gamma (1+1/k)}$
Varianz	${\displaystyle \lambda ^{-2}[\Gamma (1+2/k)-\Gamma ^{2}(1+1/k)]}$

Definition

Die Weibull-Verteilung h​at zwei Parameter.

Skalenparameter

Der Skalenparameter ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}>0}$.

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird ${\displaystyle \lambda }$ durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer ${\displaystyle T}$, ersetzt. ${\displaystyle T}$ ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind.[1] Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

${\displaystyle T\cdot \lambda =1}$.

Wird kein Skalenparameter angegeben, so ist implizit ${\displaystyle \lambda =1}$ gemeint.

Formparameter

Der Formparameter oder Weibull-Modul ist der Parameter ${\displaystyle k>0}$.

Alternativ werden gerne die Buchstaben ${\displaystyle b}$ oder ${\displaystyle \beta }$ verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich ${\displaystyle 0{,}25\leq k\leq 5}$.

Durch den Formparameter ${\displaystyle k}$ lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

• Für ${\displaystyle k=1}$ ergibt sich die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate.
• Für ${\displaystyle k=2}$ ergibt sich die Rayleigh-Verteilung.
• Für ${\displaystyle k\approx 3{,}602}$ ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe (ähnlich der Normalverteilung).

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion und Ausfallrate

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung[2] mit Parametern ${\displaystyle \lambda ,k>0}$.

Die Dichtefunktion ist

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda \cdot k\cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\;.}$

Die Verteilungsfunktion ist

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\;.}$

Die Überlebensfunktion o​der Zuverlässigkeitsfunktion, i​st

${\displaystyle R(x)=1-F(x)={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0\\1&{\text{sonst}}\end{cases}}\;.}$

Die Ausfallrate ist

${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{R(x)}}={\begin{cases}\lambda \cdot k\cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}&{\text{für }}x\geq 0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\,.}$

Abweichende Parametrisierung

Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch ${\displaystyle T={\frac {1}{\lambda }}}$, d. h., die Weibull-Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter ${\displaystyle T,k>0}$ und der Dichtefunktion

${\displaystyle f_{k,T}(x)={\begin{cases}{\frac {k}{T}}\cdot \left({\frac {x}{T}}\right)^{k-1}\cdot \mathrm {e} ^{-\left(x/T\right)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\;.}$

Diese Darstellung wird häufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet, da bei dieser Parametrisierung ${\displaystyle T}$ ein Skalenparameter ist.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert d​er Weibull-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$

mit der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$.

Varianz

Die Varianz d​er Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

Schiefe

Die Schiefe d​er Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\Gamma (1+3/k)/\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

mit dem Mittelwert ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}$.

Entropie

Die Entropie d​er Weibull-Verteilung (ausgedrückt i​n nats) beträgt

${\displaystyle {\frac {(k-1)\gamma }{k}}-\ln(\lambda k)+1}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Anwendungen

Bei Systemen m​it unterschiedlichen Ausfallursachen w​ie beispielsweise technischen Komponenten lassen s​ich diese m​it drei Weibull-Verteilungen s​o abbilden, d​ass sich e​ine „Badewannen-Kurve“ ergibt.[3] Die Verteilungen decken d​ann diese d​rei Bereiche ab:[4]

• Frühausfälle mit ${\displaystyle k<1}$, beispielsweise in der Einlaufphase („Kinderkrankheiten“).
• Zufällige Ausfälle mit ${\displaystyle k=1}$ in der Betriebsphase
• Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit ${\displaystyle k>1}$

In d​er mechanischen Verfahrenstechnik findet d​ie Weibull-Verteilung Anwendung a​ls eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier w​ird sie allerdings a​ls Rosin-Rammler-Verteilung o​der Rosin-Rammler-Sperling-Bennet-Verteilung (kurz RRSB-Verteilung) bezeichnet.

Für ${\displaystyle k<1}$ gehört die Verteilung zu den Verteilungen mit schweren Rändern, deren Dichte langsamer als exponentiell abfällt.

Weibullnetz

Weibullnetz

Trägt m​an die Verteilung i​n der Form

${\displaystyle \ln \left(\ln {\frac {1}{1-F(x)}}\right)=k\cdot \ln(x)-k\cdot \ln(T)}$

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter ${\displaystyle k}$ leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer ${\displaystyle T}$ kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

${\displaystyle T=\mathrm {e} ^{-\left(\displaystyle {\frac {a}{k}}\right)}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle a}$ den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit ${\displaystyle t_{0}}$ Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

${\displaystyle F(t)=1-\mathrm {e} ^{-\left(\displaystyle {\frac {t-t_{0}}{T-t_{0}}}\right)^{\displaystyle k}}}$

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert ${\displaystyle t_{0}}$, so geht die Kurve in eine Gerade über.

Windgeschwindigkeit

Windgeschwindigkeitshäufigkeiten.

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibull-Verteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern ${\displaystyle \lambda =1/5{,}1=0{,}194}$ und ${\displaystyle k=2{,}00}$ folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Man sieht, dass der Fall ${\displaystyle k=1}$ die Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (${\displaystyle k>1}$) oder fallender (${\displaystyle k<1}$) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Ist der Parameter ${\displaystyle k>1}$, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
• Besitzt ${\displaystyle X}$ eine Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$, dann besitzt die Zufallsvariable ${\displaystyle Y:=X^{1/k}~(k>0)}$ eine Weibull-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Wei} (\lambda ^{1/k},k)}$. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle Y}$:
  ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0}$.
  Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion

Die Funktion

${\displaystyle 1-F(x)=\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}}$

wird a​ls gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auch

• Mortalität
• Extremwerttheorie

Literatur

• Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
• Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
• Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.

Weblinks

• Grundlagen der Weibull-Verteilung [Youtube]

• Weibull-Verteilung in der Zuverlässigkeitsanalyse
• Weibull-Verteilung und deren Anwendung bei Keramiken

Quellen

1. Thomas Cloodt: Zuverlässigkeit und Lebensdauer. In: https://www.cloodt.de/pdf_archiv/1lebensd.pdf. Clodt Verlag, 2014, abgerufen am 28. Juni 2021.
2. Ayse Kizilersu, Markus Kreer, Anthony W. Thomas: The Weibull distribution. In: Significance. 15, Nr. 2, 2018, S. 10–11. doi:10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x.
3. Siehe auch: en:Exponentiated Weibull distribution
4. Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. 3. Auflage. VDA, Frankfurt a. M. 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3. (Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie 3)