Dirac-Verteilung

Die Dirac-Verteilung, manchmal a​uch Punktverteilung, deterministische Verteilung, Einheitsmasse[1] o​der degenerierte Verteilung genannt, i​st eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung i​n der Stochastik. Sie zählt z​u den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihr Name f​olgt daher, d​ass sie a​us dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie i​st meist n​ur von theoretischer Bedeutung u​nd spielt e​ine wichtige Rolle i​n der Klassifikation d​er unendlich teilbaren Verteilungen.

Definition

Die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle \delta _{0}}$

Eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ heißt Dirac-verteilt zum Punkt ${\displaystyle b}$, in Symbolen ${\displaystyle X\sim \delta _{b}}$, wenn sie die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<b\\1&{\text{ falls }}b\leq t\end{cases}}}$

besitzt. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ ist also genau das Diracmaß im Punkt ${\displaystyle b}$, das heißt für alle messbaren Mengen ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle P(X\in A)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}b\in A,\\0&{\text{ sonst.}}\end{cases}}}$

Die Zufallsvariable nimmt insbesondere fast sicher den Wert ${\displaystyle b}$ an, worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.

Eigenschaften

Lagemaße

Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt ${\displaystyle b}$

Streumaße

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich ${\displaystyle 0}$

Symmetrie

Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um ${\displaystyle b}$.

Höhere Momente

Die Momente s​ind gegeben durch

${\displaystyle m_{k}=b^{k}}$

Entropie

Die Entropie d​er Dirac-Verteilung i​st 0.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=bt}$.

Damit ist ${\displaystyle \kappa _{1}=b}$ und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ibt}\,}$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(t)=e^{bt}\,}$

Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche Teilbarkeit

Die Klasse d​er Dirac-Verteilungen i​st reproduktiv, d​a die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, d​a für d​ie Faltung

${\displaystyle \delta _{x}*\delta _{y}=\delta _{x+y}}$

gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit ${\displaystyle \alpha =1}$. Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da ${\displaystyle \delta _{b/n}^{*n}=\delta _{b}}$ gilt.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise sind die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man ${\displaystyle p=0}$ wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.