Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion i​st eine Funktion, d​ie in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​iner Zufallsvariablen zugeordnet wird. In vielen Fällen i​st diese Funktion i​n einer Umgebung d​es Nullpunktes i​n den reellen bzw. komplexen Zahlen definiert u​nd kann d​ann mittels Ableitung z​ur Berechnung d​er Momente d​er Zufallsvariablen verwendet werden, woraus s​ich ihr Name erklärt.

Definition

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ist definiert durch[1]

${\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right)}$,

wobei für ${\displaystyle t}$ reelle bzw. komplexe Zahlen eingesetzt werden können, sofern der Erwartungswert auf der rechten Seite existiert. Dieser Ausdruck ist mindestens für ${\displaystyle t=0}$ definiert. In vielen Fällen, siehe unten, ist diese Funktion in einer Umgebung der 0 definiert, und kann dann wie folgt in eine Potenzreihe entwickelt werden.

${\displaystyle M_{X}(t)=E\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(tX)^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}E(X^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}m_{X}^{n}}$.

Dabei gilt ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ und die ${\displaystyle m_{X}^{n}=E(X^{n})}$ sind die Momente von ${\displaystyle X}$.

Die momenterzeugende Funktion hängt nur von der Verteilung von ${\displaystyle X}$ ab. Wenn die momenterzeugende Funktion einer Verteilung in einer Umgebung von 0 existiert, so sagt man, etwas unpräzise aber allgemein gebräuchlich, die Verteilung habe eine momenterzeugende Funktion. Existiert ${\displaystyle M_{X}(t)}$ nur für ${\displaystyle t=0}$, so sagt man entsprechend, dass die Verteilung keine momenterzeugende Funktion habe.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Falls ${\displaystyle X}$ eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f}$ hat, kann man obigen Erwartungswert mittels dieser Dichte schreiben und erhält für die momenterzeugende Funktion

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}}{2!}}x^{2}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+tm_{X}^{1}+{\frac {t^{2}}{2!}}m_{X}^{2}+\dotsb }$

gegeben, wobei ${\displaystyle m_{X}^{k}}$ das ${\displaystyle k}$-te Moment von ${\displaystyle X}$ ist. Der Ausdruck ${\displaystyle M_{X}\left(-t\right)}$ ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch ${\displaystyle X}$ festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Bemerkungen

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die ${\displaystyle k}$-te Ableitung von ${\displaystyle M_{X}}$ im Punkt 0 (Null) gleich dem ${\displaystyle k}$-ten Moment der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ ist:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}M_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}=E(X^{k})=m_{X}^{k}}$.

Das liest man direkt an der oben angegebenen Potenzreihe ab. Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ existiert ${\displaystyle (\varepsilon >0)}$.

Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left(e^{\mathrm {i} tX}\right)}$. Es gilt ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(\mathrm {i} t)}$, falls die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur momenterzeugenden Funktion existiert die charakteristische Funktion für beliebige Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Des Weiteren besteht noch ein Zusammenhang zur wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion. Diese ist jedoch nur für ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$-wertige Zufallsvariablen definiert und zwar als ${\displaystyle m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})}$. Damit gilt ${\displaystyle m_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ für diskrete Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der kumulantenerzeugenden Funktion

Die kumulantenerzeugende Funktion w​ird als natürlicher Logarithmus d​er momenterzeugenden Funktion definiert. Aus i​hr wird d​er Begriff d​er Kumulante abgeleitet.

Summen unabhängiger Zufallsvariablen

Die momenterzeugende Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist das Produkt ihrer momenterzeugenden Funktionen: Sind ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ unabhängig, dann gilt für ${\displaystyle Y=X_{1}+\dotsb +X_{n}}$

${\displaystyle M_{Y}(t)=E(e^{tY})=E(e^{tX_{1}+\ldots +tX_{n}})=E(e^{tX_{1}}\cdots e^{tX_{n}})=E(e^{tX_{1}})\cdots E(e^{tX_{n}})=M_{X_{1}}(t)\cdots M_{X_{n}}(t)}$,

wobei b​eim vorletzten Gleichheitszeichen verwendet wurde, d​ass der Erwartungswert e​ines Produktes unabhängiger Zufallsvariablen gleich d​em Produkt i​hrer Erwartungswerte ist.

Eindeutigkeitseigenschaft

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle 0}$ endlich, so bestimmt sie die Verteilung von ${\displaystyle X}$ eindeutig.[2] Formal bedeutet das:

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen ${\displaystyle M_{X}}$ und ${\displaystyle M_{Y}}$ derart, dass es ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt mit ${\displaystyle M_{X}(s),M_{Y}(s)<\infty }$ für alle ${\displaystyle s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$. Dann gilt ${\displaystyle P_{X}=P_{Y}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle M_{X}(s)=M_{Y}(s)}$ für alle ${\displaystyle s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ gilt.

Beispiele

Für v​iele Verteilungen k​ann man d​ie momenterzeugende Funktion direkt angeben:

Verteilung	Momenterzeugende Funktion MX(t)
Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \mathrm {B} (p)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=1-p+pe^{t}}$
Betaverteilung ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b,p,q)}$[3]	${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a+k}{a+b+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}$
Binomialverteilung ${\displaystyle \mathrm {B} (p,n)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n}}$
Cauchy-Verteilung	Die Cauchy-Verteilung hat keine momenterzeugende Funktion.[4]
Chi-Quadrat-Verteilung ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ [5]	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}}}$
Erlang-Verteilung ${\displaystyle \mathrm {Erlang} (\lambda ,n)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}}$ für ${\displaystyle t<\lambda }$
Exponentialverteilung ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )}$	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ für ${\displaystyle t<\lambda }$
Gammaverteilung ${\displaystyle \gamma (p,b)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {b}{b-t}}\right)^{p}}$
Geometrische Verteilung mit Parameter ${\displaystyle p}$	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}$
Gleichverteilung über ${\displaystyle [0,a]}$	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{ta}-1}{ta}}}$
Laplace-Verteilung mit Parametern ${\displaystyle \mu ,\sigma }$[6]	${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}}$
Negative Binomialverteilung ${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}}$ für ${\displaystyle t<|\ln(1-p)|}$
Normalverteilung ${\displaystyle \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}}$
Poisson-Verteilung mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp(\lambda (e^{t}-1))}$

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen

Die momenterzeugende Funktion lässt sich auf ${\displaystyle \ell }$-dimensionale reelle Zufallsvektoren ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })}$ wie folgt erweitern:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(t)=M_{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{t_{j}X_{j}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}}$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Wenn d​ie Komponenten d​es Zufallsvektors paarweise voneinander unabhängig sind, d​ann ergibt s​ich die momentgenerierende Funktion a​ls Produkt a​us den momentgenerierenden Funktionen v​on eindimensionalen Zufallsvariablen:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\prod _{j=1}^{\ell }\operatorname {E} \left(e^{t_{j}X_{j}}\right)=\prod _{j=1}^{\ell }M_{X_{j}}(t_{j})}$.

Siehe auch

• Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Literatur

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

Einzelnachweise

1. Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms
2. J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, ISSN 0003-4851, S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 kB).
3. Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.
4. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.
5. A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.
6. Hisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.