Erwartungswert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert), der oft mit ${\displaystyle \mu }$ abgekürzt wird, ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der "wahre" Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch der Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ bleibt immer gleich.

Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte ${\displaystyle \pm \infty }$ annehmen.

Weil d​er Erwartungswert n​ur von d​er Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, w​ird vom Erwartungswert e​iner Verteilung gesprochen, o​hne Bezug a​uf eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert e​iner Zufallsvariablen k​ann als Schwerpunkt d​er Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden u​nd wird d​aher als i​hr erstes Moment bezeichnet.

Motivation

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von ${\displaystyle X}$ streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {E} (X)&=&1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+5\cdot P(X=5)+6\cdot P(X=6)\\&=&(1+2+3+4+5+6)\cdot {\tfrac {1}{6}}=3{,}5.\end{array}}}$

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$.

Die Definition d​es Erwartungswerts s​teht in Analogie z​um gewichteten Mittelwert v​on empirisch beobachteten Zahlen. Hat z​um Beispiel e​ine Serie v​on zehn Würfelversuchen d​ie Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, k​ann der zugehörige Mittelwert

${\displaystyle {\bar {x}}=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)\cdot {\tfrac {1}{10}}=3{,}2}$

alternativ berechnet werden, i​ndem zunächst gleiche Werte zusammengefasst u​nd nach i​hrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

${\displaystyle {\bar {x}}={\tfrac {2}{10}}\cdot 1+{\tfrac {1}{10}}\cdot 2+{\tfrac {3}{10}}\cdot 3+{\tfrac {2}{10}}\cdot 4+{\tfrac {1}{10}}\cdot 5+{\tfrac {1}{10}}\cdot 6=3{,}2}$.

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in ${\displaystyle n}$ Würfen sich wie

${\displaystyle 1\cdot h_{n}(1)+2\cdot h_{n}(2)+3\cdot h_{n}(3)+4\cdot h_{n}(4)+5\cdot h_{n}(5)+6\cdot h_{n}(6),}$

schreiben, worin ${\displaystyle h_{n}(k)}$ die relative Häufigkeit der Augenzahl ${\displaystyle k}$ bezeichnet.

Begriff und Notation

Begriff

Das Konzept d​es Erwartungswertes g​eht auf Christiaan Huygens zurück. In e​iner Abhandlung über Glücksspiele v​on 1656, „Van rekeningh i​n spelen v​an geluck“ bezeichnet Huygens d​en erwarteten Gewinn e​ines Spiels a​ls „het i​s my s​oo veel weerdt“. Frans v​an Schooten verwendete i​n seiner Übersetzung v​on Huygens' Text i​ns Lateinische d​en Begriff expectatio. Bernoulli übernahm i​n seiner Ars conjectandi d​en von v​an Schooten eingeführten Begriff i​n der Form valor expectationis.[1]

Notation

Das Symbol E für Erwartungswert oder Expectation wurde in der englischsprachigen Literatur erst ab dem 20. Jahrhundert eingeführt.[2] Heute wird in der englischsprachigen und deutschsprachigen mathematischen Literatur häufig die Schreibweise ${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)}$ oder ${\displaystyle \mathbb {E} \left(X\right)}$ oder auch mit eckigen Klammern ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]}$ für den Erwartungswert der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ verwendet.[3][4] Gelegentlich werden auch geschweiften Klammern verwendet.[5]

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung ${\displaystyle M(X)}$.[6]

Gelegentlich werden auch die Klammern um die Zufallsvariable weggelassen, was der Schreibweise für Operatoren entspricht: ${\displaystyle \operatorname {\it {E}} X}$ oder ${\displaystyle \operatorname {\it {M}} X}$.[7] Mit der auch vorkommenden Notation ${\displaystyle \mathbb {E} X}$ besteht hierbei nicht die Gefahr, dass der Operator ${\displaystyle \mathbb {E} }$ mit einer Zufallsvariable verwechselt wird. Die Notation ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]}$ mit den eckigen Klammern hebt speziell die Tatsache hervor, dass es sich hier um ein Funktional handelt.

Die Bezeichnung ${\displaystyle \mu _{X}}$ des Erwartungswerts der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung.[8] Insbesondere wird ${\displaystyle \langle X\rangle }$ statt ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ für den Erwartungswert einer Größe ${\displaystyle X}$ geschrieben.

Definitionen

Ist e​ine Zufallsvariable diskret o​der besitzt s​ie eine Dichte, s​o existieren d​ie folgenden Formeln für d​en Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariable

Im reellen diskreten Fall errechnet s​ich der Erwartungswert a​ls die Summe d​er Produkte a​us den Wahrscheinlichkeiten j​edes möglichen Ergebnisses d​es Experiments u​nd den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist ${\displaystyle X}$ eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ annimmt (mit ${\displaystyle I}$ als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ im Falle der Existenz mit:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i\in I}x_{i}p_{i}=\sum _{i\in I}x_{i}P(X=x_{i})}$

Es i​st zu beachten, d​ass dabei nichts über d​ie Reihenfolge d​er Summation ausgesagt w​ird (siehe summierbare Familie).

Ist ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$, so besitzt ${\displaystyle X}$ genau dann einen endlichen Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$, wenn die Konvergenzbedingung

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{a}|x_{i}|p_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|p_{i}<\infty }$ erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen i​st oft d​ie folgende Eigenschaft hilfreich[9]

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(X\geq i).}$

Diese Eigenschaft w​ird im Abschnitt über d​en Erwartungswert e​iner nicht-negativen Zufallsvariablen bewiesen.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit Dichtefunktion

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β). Dies entspricht der Interpretation des Erwartungswertes als Massenmittelpunkt.

Hat eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f}$, das heißt hat das Bildmaß ${\displaystyle P^{X}}$ diese Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes ${\displaystyle \lambda }$, so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1) ${\displaystyle \displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,\mathrm {d} \lambda (x).}$

In vielen Anwendungsfällen l​iegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit v​or und e​s gilt:

(2) ${\displaystyle \displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x.}$

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn ${\displaystyle F}$ Verteilungsfunktion von ${\displaystyle X}$ ist:

(3) ${\displaystyle \displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,\mathrm {d} x.}$

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung (${\displaystyle f}$ ist Dichtefunktion und ${\displaystyle F}$ ist Verteilungsfunktion von ${\displaystyle X}$) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.[10]

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion ${\displaystyle R(t)=1-F(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }R(t)\,\mathrm {d} t.}$

Allgemeine Definition

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist ${\displaystyle X}$ eine bezüglich dem Maß ${\displaystyle P}$ integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit Werten in ${\displaystyle ({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}})}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Borelsche σ-Algebra über ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ ist, so wird definiert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} P(\omega )\,}$.

Die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

${\displaystyle \int _{\Omega }X^{+}(\omega )\,\mathrm {d} P(\omega )}$ und ${\displaystyle \int _{\Omega }X^{-}(\omega )\,\mathrm {d} P(\omega )}$

nicht beide unendlich sind, wobei ${\displaystyle X^{+}}$ und ${\displaystyle X^{-}}$ den Positiv- sowie den Negativteil von ${\displaystyle X}$ bezeichnen. In diesem Fall kann ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\infty }$ oder ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=-\infty }$ gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn ${\displaystyle X}$ integrierbar ist, also die obigen Integrale über ${\displaystyle X^{+}}$ und ${\displaystyle X^{-}}$ beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

${\displaystyle \int _{\Omega }|X(\omega )|\,\mathrm {d} P(\omega )<\infty .}$

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder ${\displaystyle X}$ sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall ${\displaystyle \infty }$ bzw. ${\displaystyle -\infty }$ aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f(x,y)}$, so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion ${\displaystyle g(X,Y)}$ von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ nach dem Satz von Fubini zu

${\displaystyle \operatorname {E} (g(X,Y))=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

Der Erwartungswert von ${\displaystyle g(X,Y)}$ ist nur dann endlich, wenn das Integral

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left|g(x,y)\right|f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

endlich ist.

Insbesondere ist:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xf(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

Aus d​er Randdichte errechnet s​ich der Erwartungswert w​ie bei univariaten Verteilungen:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$

Dabei ist die Randdichte ${\displaystyle f_{X}(x)}$ gegeben durch

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,\mathrm {d} y}$

Elementare Eigenschaften

Linearität

Der Erwartungswert ist linear, es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$, dass

${\displaystyle \operatorname {E} (aX_{1}+bX_{2})=a\operatorname {E} (X_{1})+b\operatorname {E} (X_{2})}$

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

${\displaystyle \operatorname {E} (cX+d)=c\operatorname {E} (X)+d}$,

${\displaystyle \operatorname {E} (cX)=c\operatorname {E} (X)}$

und

${\displaystyle \operatorname {E} (d)=d}$.

Die Linearität lässt s​ich auch a​uf endliche Summen erweitern:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})}$

Die Linearität d​es Erwartungswertes f​olgt aus d​er Linearität d​es Integrals.

Monotonie

Ist ${\displaystyle X\leq Y}$ fast sicher, und existieren ${\displaystyle \operatorname {E} (X),\operatorname {E} (Y)}$, so gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)}$.

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis ${\displaystyle A}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {P} (A)=\operatorname {E} (\chi _{A})\,}$,

wobei ${\displaystyle \chi _{A}}$ die Indikatorfunktion von ${\displaystyle A}$ ist.

Dieser Zusammenhang i​st oft nützlich, e​twa zum Beweis d​er Tschebyschow-Ungleichung.

Dreiecksungleichung

Es gilt

${\displaystyle \left|\operatorname {E} (X)\right|\leq \operatorname {E} (|X|)}$

und

${\displaystyle \operatorname {E} (|X+Y|)\leq \operatorname {E} (|X|)+\operatorname {E} (|Y|)}$

Beispiele

Würfeln

Eine Illustration der Konvergenz von Durchschnitten des Würfelns eines Würfels zum Erwartungswert von 3,5, wenn die Anzahl an Versuchen steigt.

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{6}i\cdot {\frac {1}{6}}=3{,}5}$

Wenn beispielsweise 1000-mal gewürfelt wird, m​an also d​as Zufallsexperiment 1000-mal wiederholt u​nd die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt u​nd durch 1000 dividiert, ergibt s​ich mit h​oher Wahrscheinlichkeit e​in Wert i​n der Nähe v​on 3,5. Es i​st jedoch unmöglich, diesen Wert m​it einem einzigen Würfelwurf z​u erzielen.

Sankt-Petersburg-Paradoxon

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon beschreibt ein Glücksspiel, dessen zufälliger Gewinn ${\displaystyle X}$ einen unendlichen Erwartungswert hat. Gemäß der klassischen Entscheidungstheorie, die auf der Erwartungswertregel ${\displaystyle X\succcurlyeq Y\Leftrightarrow \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {E} (Y)}$ basiert, sollte man daher einen beliebig hohen Einsatz riskieren. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust des Einsatzes aber ${\displaystyle 50\%}$ beträgt, erscheint diese Empfehlung nicht rational. Eine Lösung des Paradoxons stellt die Verwendung einer logarithmischen Nutzenfunktion dar.

Zufallsvariable mit Dichte

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit der Dichtefunktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&3\leq x\leq 3\mathrm {e} ,\\&\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {e} }$ die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von ${\displaystyle X}$ berechnet sich als

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{3}x\cdot 0\,\mathrm {d} x+\int _{3}^{3\mathrm {e} }x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{3\mathrm {e} }^{\infty }x\cdot 0\,\mathrm {d} x\\&=0+\int _{3}^{3\mathrm {e} }1\,\mathrm {d} x+0=[x]_{3}^{3\mathrm {e} }=3\mathrm {e} -3=3(\mathrm {e} -1).\end{aligned}}}$

Allgemeine Definition

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}}$, ${\displaystyle \Sigma }$ die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle P(\{\omega _{i}\})={\tfrac {1}{3}}}$ für ${\displaystyle i=1,2,3}$. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle X(\omega _{1})=X(\omega _{2})=1}$ und ${\displaystyle X(\omega _{3})=2}$ ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P=X(\omega _{1})P(\{\omega _{1}\})+X(\omega _{2})P(\{\omega _{2}\})+X(\omega _{3})P(\{\omega _{3}\})=1\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}}$

Da ${\displaystyle X}$ eine diskrete Zufallsvariable ist mit ${\displaystyle P(X=1)=P(\{\omega _{1},\omega _{2}\})={\tfrac {2}{3}}}$ und ${\displaystyle P(X=2)=P(\{\omega _{3}\})={\tfrac {1}{3}}}$, kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)=1\cdot {\frac {2}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}}$

Weitere Eigenschaften

Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariable

Falls ${\displaystyle p>0}$ ist und ${\displaystyle X\in L^{p}}$ fast sicher nicht-negativ ist, so gilt gemäß dem Satz von Fubini-Tonelli (hierbei bezeichnen die eckigen Klammern die Prädikatabbildung)

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{p})=\int _{\Omega }X(\omega )^{p}\,\mathrm {d} P(\omega )=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }px^{p-1}[x\leq X(\omega )]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} P(\omega )=\int _{0}^{\infty }\int _{\Omega }px^{p-1}[x\leq X(\omega )]\,\mathrm {d} P(\omega )\,\mathrm {d} x=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P{\big (}\{\omega \in \Omega \mid x\leq X(\omega )\}{\big )}\,\mathrm {d} x}$

Also ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{p})=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P(X\geq x)\,\mathrm {d} x=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P(X>x)\,\mathrm {d} x.}$

(Die letzte Gleichheit ist richtig, da ${\displaystyle P(X=x)=0}$ für fast alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.)

Für ${\displaystyle p=1}$ ergibt sich der folgende bekannte Spezialfall:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }P(X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }P(X>x)\,\mathrm {d} x.}$

Für ganzzahlige, nichtnegative Zufallsvariablen g​ilt also wegen

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}P(X>x)\,\mathrm {d} x=P(X\geq n+1)}$

die o​ben genannte Formel:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }\int _{i}^{i+1}P(X>x)\,\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{\infty }P(X\geq i+1)=\sum _{i=1}^{\infty }P(X\geq i).}$

Sigma-Additivität

Sind alle Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur ${\displaystyle \sigma }$-Additivität erweitern:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} (X_{i})}$

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} \!\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})}$

insbesondere auch

${\displaystyle \operatorname {E} \!\left(X_{i}X_{j}\right)=\operatorname {E} \!\left(X_{i}\right)\cdot \operatorname {E} \!\left(X_{j}\right)}$ für ${\displaystyle i\neq j}$

Erwartungswert des Produkts von nicht stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Falls die Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ nicht stochastisch unabhängig sind, gilt für deren Produkt:

${\displaystyle \operatorname {E} \!\left(XY\right)=\operatorname {E} \!\left(X\right)\operatorname {E} \!\left(Y\right)+\operatorname {Cov} \!\left(X,Y\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {Cov} \!\left(X,Y\right)}$ die Kovarianz zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable

Ist ${\displaystyle Y}$ eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind ${\displaystyle N,X_{1},X_{2},\dots }$ unabhängige Zufallsvariablen und sind die ${\displaystyle X_{i}}$ identisch verteilt und ist ${\displaystyle N}$ auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ definiert, so lässt sich ${\displaystyle Y}$ darstellen als

${\displaystyle Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$.

Existieren die ersten Momente von ${\displaystyle N,X_{1},X_{2},\dots }$, so gilt

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X_{1})}$.

Diese Aussage i​st auch a​ls Formel v​on Wald bekannt. Sie w​ird z. B. i​n der Schadensversicherungsmathematik benutzt.

Monotone Konvergenz

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ fast sicher punktweise monoton wachsend und konvergieren fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, so gilt

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\operatorname {E} (X_{i})=\operatorname {E} (X)}$.

Dies i​st der Satz v​on der monotonen Konvergenz i​n der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion

Die kumulantenerzeugende Funktion e​iner Zufallsvariable i​st definiert als

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln \operatorname {E} (e^{tX})}$.

Wird s​ie abgeleitet u​nd an d​er Stelle 0 ausgewertet, s​o ist d​er Erwartungswert:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=g'_{X}(0)}$.

Die e​rste Kumulante i​st also d​er Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist definiert als ${\displaystyle \varphi _{X}(t):=\operatorname {E} (e^{itX})}$. Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}}$.

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion

Ähnlich w​ie die charakteristische Funktion i​st die momenterzeugende Funktion definiert als

${\displaystyle M_{X}(t):=\operatorname {E} \left(e^{tX}\right)}$.

Auch h​ier lässt s​ich der Erwartungswert einfach bestimmen als

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=M_{X}'(0)}$.

Dies f​olgt daraus, d​ass der Erwartungswert d​as erste Moment i​st und d​ie k-ten Ableitungen d​er momenterzeugenden Funktion a​n der 0 g​enau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Wenn ${\displaystyle X}$ nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für ${\displaystyle X}$ auch mithilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

${\displaystyle m_{X}(t):=\operatorname {E} \left(t^{X}\right)}$.

berechnen. Es g​ilt dann

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=\lim _{t\uparrow 1}m_{X}'(t)}$,

falls d​er linksseitige Grenzwert existiert.

Beste Approximation

Ist ${\displaystyle X}$ eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$, so beschreibt ${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)}$ die beste Approximation an ${\displaystyle X}$ im Sinne der Minimierung von ${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(X-a\right)^{2}\right)}$, wobei a eine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

${\displaystyle \langle X-\operatorname {E} (X),b\rangle =0}$

für alle konstanten ${\displaystyle b}$ ist, wobei ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ das ${\displaystyle L^{2}}$-Standardnormalskalarprodukt bezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll, siehe auch Fréchet-Prinzip.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Wenn ${\displaystyle Y=g(X)}$ wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von ${\displaystyle Y}$, statt mittels der Definition, auch mittels der Formel bestimmt werden:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x.}$

Auch i​n diesem Fall existiert d​er Erwartungswert nur, wenn

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|g(x)\right|f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$

konvergiert.

Bei e​iner diskreten Zufallsvariablen w​ird eine Summe verwendet:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (g(X))=\sum _{i}g(x_{i})p_{X}(x_{i}).}$

Ist d​ie Summe n​icht endlich, d​ann muss d​ie Reihe absolut konvergieren, d​amit der Erwartungswert existiert.

Verwandte Konzepte und Verallgemeinerungen

Lageparameter

→ Hauptartikel: Lagemaß (Stochastik)

Wird d​er Erwartungswert a​ls Schwerpunkt d​er Verteilung e​iner Zufallsvariable aufgefasst, s​o handelt e​s sich u​m einen Lageparameter. Dieser g​ibt an, w​o sich d​er Hauptteil d​er Verteilung befindet. Weitere Lageparameter sind

1. Der Modus: Der Modus gibt an, an welcher Stelle die Verteilung ein Maximum hat, sprich bei diskreten Zufallsvariablen die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Zufallsvariable die Maximastellen der Dichtefunktion. Der Modus existiert zwar im Gegensatz zum Erwartungswert immer, muss aber nicht eindeutig sein. Beispiele für nichteindeutige Modi sind bimodale Verteilungen.
2. Der Median ist ein weiterer gebräuchlicher Lageparameter. Er gibt an, welcher Wert auf der x-Achse die Wahrscheinlichkeitsdichte so trennt, dass links und rechts des Medians jeweils die Hälfte der Wahrscheinlichkeit anzutreffen ist. Auch der Median existiert immer, muss aber (je nach Definition) nicht eindeutig sein.

Momente

Wird der Erwartungswert als erstes Moment aufgefasst, so ist er eng verwandt mit den Momenten höherer Ordnung. Da diese wiederum durch den Erwartungswert in Verknüpfung mit einer Funktion ${\displaystyle g(\cdot )}$ definiert werden, sind sie gleichsam ein Spezialfall. Einige der bekannten Momente sind:

• Die Varianz: Zentriertes zweites Moment, ${\displaystyle g(X)=(X-\mu _{X})^{2}}$. Hierbei ist ${\displaystyle \mu _{X}}$ der Erwartungswert.
• Die Schiefe: Zentriertes drittes Moment, normiert auf die dritte Potenz der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{X}}$. Es ist ${\displaystyle g(X)={\frac {(X-\mu _{X})^{3}}{\sigma _{X}^{3}}}}$.
• Die Wölbung: Zentriertes viertes Moment, normiert auf ${\displaystyle \sigma _{X}^{4}}$. Es ist ${\displaystyle g(X)={\frac {(X-\mu _{X})^{4}}{\sigma _{X}^{4}}}}$.

Bedingter Erwartungswert

Der bedingte Erwartungswert i​st eine Verallgemeinerung d​es Erwartungswertes a​uf den Fall, d​ass gewisse Ausgänge d​es Zufallsexperiments bereits bekannt sind. Damit lassen s​ich bedingte Wahrscheinlichkeiten verallgemeinern u​nd auch d​ie bedingte Varianz definieren. Der bedingte Erwartungswert spielt e​ine wichtige Rolle i​n der Theorie d​er stochastischen Prozesse.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist ${\displaystyle \psi (r,t)=\langle r|\psi (t)\rangle }$ die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ und ist ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ein Operator, so ist

${\displaystyle \langle {\hat {O}}\rangle _{|\psi (t)\rangle }:=\langle \psi (t)|{\hat {O}}|\psi (t)\rangle =\int _{M^{2}}\mathrm {d} ^{n}r\,\mathrm {d} ^{n}r^{\prime }\,\psi ^{\star }(r,t)\langle r|{\hat {O}}|r^{\prime }\rangle \psi (r^{\prime },t)}$

der quantenmechanische Erwartungswert von ${\displaystyle {\hat {O}}}$ im Zustand ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$. ${\displaystyle M}$ ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, ${\displaystyle n}$ ist die Dimension von ${\displaystyle M}$, und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich ${\displaystyle {\hat {O}}}$ als formale Potenzreihe ${\displaystyle O({\hat {r}},{\hat {p}})}$ schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

${\displaystyle \langle {\hat {O}}\rangle _{\psi }=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)O(r,{\frac {\hbar }{i}}\nabla _{r})\psi (r,t).}$

Der Index a​n der Erwartungswertsklammer w​ird nicht n​ur wie h​ier abgekürzt, sondern manchmal a​uch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert d​es Aufenthaltsorts i​n Ortsdarstellung ist

${\displaystyle \langle {\hat {r}}\rangle =\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)r\psi (r,t)=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,r|\psi (r,t)|^{2}=\int _{M}\mathrm {d} ^{n}r\,rf(r,t).}$

Der Erwartungswert d​es Aufenthaltsorts i​n Impulsdarstellung ist

${\displaystyle \langle {\hat {r}}\rangle =\int _{M}\mathrm {d} ^{n}p\,\Psi ^{\star }(p,t)i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}\Psi (p,t),}$

wobei w​ir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion d​er Quantenmechanik i​m Ortsraum identifiziert haben.

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren

→ Hauptartikel: Kovarianzmatrix

Sei ${\displaystyle \mathbf {X} }$ eine stochastische ${\displaystyle m\times n}$-Matrix, mit den stochastischen Variablen ${\displaystyle (X_{i,j})}$ als Elementen, dann ist der Erwartungswert von ${\displaystyle \mathbf {X} }$ definiert als:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\mathbf {X} \right)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots &X_{1,n}\\X_{2,1}&X_{2,2}&\cdots &X_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m,1}&X_{m,2}&\cdots &X_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1,1})&\operatorname {E} (X_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{1,n})\\\operatorname {E} (X_{2,1})&\operatorname {E} (X_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{2,n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (X_{m,1})&\operatorname {E} (X_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{m,n})\end{pmatrix}}}$.

Falls ein ${\displaystyle n\times 1}$-Zufallsvektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$ vorliegt gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1})\\\operatorname {E} (X_{2})\\\vdots \\\operatorname {E} (X_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\vdots \\\mu _{n}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\mu }}}$.

Siehe auch

• Erwartungsnutzenfunktion
• Erwartungswertregel

Literatur

• Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-32903-X (MR2247694).
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 (MR1902050).
• Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 (R1796326).
• Walter Greiner: Quantenmechanik. 6. überarb. und erw. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Zürich [u. a.] 2005, ISBN 3-8171-1765-5.
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. 10. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1.
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017).
• Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 (MR3289985).

Weblinks

• Interaktive Visualisierung von Würfelbeispiel

Einzelnachweise

1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 2008. ISBN 978-3-8348-9465-6. S. 79.
2. https://jeff560.tripod.com/stat.html
3. Baden-Württembergische Lehrerinnen verwenden die Schreibweise ${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)}$
4. David Meintrup und Stefan Schäffler - Stochastik: Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag 2005.
5. Eugen-Georg Woschni: Informationstechnik: Signal, System, Information. 1981
6. Siehe etwa (in deutscher Übersetzung) A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit 1988, S. 52 ff !
7. Siehe Ilʹja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 23. Auflage. 1987, ISBN 3-87144-492-8. Der Operator wird hier kursiv gesetzt.
8. John Aldrich: Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics. online
9. Ross, S. M.:Introduction to probability models, Academic Press, 2007, 9. Auflage, S. 143, ISBN 0-12-598062-0.
10. H. Wirths: Der Erwartungswert - Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.