Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung i​st eine Wahrscheinlichkeitsverteilung i​n der Stochastik, d​ie univariat i​st und z​u den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie i​st als allgemeiner Ansatz für d​ie Schadenzahlverteilung i​n der Versicherungsmathematik z​u finden u​nd wird a​uch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert d​ie Poisson-Verteilung u​nd sollte n​icht mit d​er zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte ${\displaystyle \pi (\lambda )}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }$

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit ${\displaystyle q_{\lambda }(k)\,}$ bezeichnen, gilt folglich

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }$.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
• In der Praxis werden als Dichten ${\displaystyle \pi (\lambda )}$ nur Dichten von Gamma-Verteilungen, logarithmische Normalverteilungen und von Inversen Gauß-Verteilungen benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die Negative Binomialverteilung, was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.

Im Folgenden sei ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,}$ der Erwartungswert der Dichte ${\displaystyle \pi (\lambda )\,}$, und ${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,}$ die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }}$.

Varianz

Für d​ie Varianz erhält man

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}$.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert u​nd Varianz erhält m​an die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}}}$.

Variationskoeffizient

Für d​en Variationskoeffizienten ergibt sich:

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}{\mu _{\pi }^{2}}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt s​ich darstellen als

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-{\frac {3}{2}}}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1)\,}$.

Dabei ist ${\displaystyle M_{\pi }}$ die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für d​ie wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1)\,}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er gemischten Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,}$.

Literatur

• Jan Grandell: Mixed Poisson Processes. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
• Tom Britton: Stochastic Epidemic Models with Inference. Springer, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8