Laplace-Verteilung

Die Laplace-Verteilung (benannt n​ach Pierre-Simon Laplace, e​inem französischen Mathematiker u​nd Astronomen) i​st eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da s​ie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, w​ird sie a​uch als Doppelexponentialverteilung o​der zweiseitige Exponentialverteilung[1] bezeichnet.

Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter

Definition

Eine stetige Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und dem Skalenparameter ${\displaystyle \sigma >0}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}e^{\displaystyle -{\frac {\left|x-\mu \right|}{\sigma }}}}$

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over 2}e^{\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}},&x\leq \mu \\\displaystyle 1-{1 \over 2}e^{\displaystyle -{\frac {x-\mu }{\sigma }}}&x>\mu \end{cases}}}$

Mittels d​er Signum-Funktion lässt s​ie sich geschlossen darstellen als

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn} \left(x-\mu \right)\left(1-\exp \left(-{\frac {\left|x-\mu \right|}{\sigma }}\right)\right)}$.

Eigenschaften

Symmetrie

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden ${\displaystyle x=\mu }$ und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt ${\displaystyle (\mu ,1/2)}$.

Erwartungswert, Median, Modalwert

Der Parameter ${\displaystyle \mu }$ ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

Varianz

Die Varianz wird durch den Parameter ${\displaystyle \sigma }$ bestimmt.

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=2\sigma ^{2}}$

Schiefe

Die Schiefe d​er Laplace-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$.

Kurtosis

Die Wölbung e​iner Laplace-Verteilung i​st identisch 6 (entspricht e​inem Exzess v​on 3).

${\displaystyle \operatorname {Kurt} (X)=6}$

Kumulanten

Alle Kumulante ${\displaystyle \kappa _{k}}$ mit ungeradem Grad ${\displaystyle k>2}$ sind gleich Null. Für gerade ${\displaystyle k}$ gilt

${\displaystyle \kappa _{k}=2(k-1)!\sigma ^{k}}$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ lautet

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}}$, für ${\displaystyle |t|<1/\sigma .}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument ${\displaystyle t}$ durch ${\displaystyle is}$ ersetzt, man erhält:

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {e^{i\mu s}}{1+\sigma ^{2}s^{2}}}}$.

Entropie

Die Entropie d​er Laplace-Verteilung (ausgedrückt i​n nats) beträgt

${\displaystyle 1+\ln(2\sigma )}$.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet s​ich die Inversionsmethode an.

Die n​ach dem Simulationslemma z​u bildende Pseudoinverse d​er Verteilungsfunktion lautet hierbei

${\displaystyle F^{-1}(y)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over \lambda }\ln(2y)&y<{1 \over 2}\\\displaystyle -{1 \over \lambda }\ln(2(1-y)),&y\geq {1 \over 2}\end{cases}}}$.

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ${\displaystyle u_{i}}$ lässt sich daher eine Folge

${\displaystyle x_{i}:=F^{-1}(u_{i})}$

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Normalverteilung

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist ${\displaystyle Z=\det {\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}=X_{1}\,X_{4}-X_{2}\,X_{3}}$ standardlaplaceverteilt (${\displaystyle \mu =0}$).

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X:=Y_{\lambda }-Z_{\lambda }}$, die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{\lambda }}$ und ${\displaystyle Z_{\lambda }}$ mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[2]

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist ${\displaystyle X}$ Rademacher-Verteilt, und ist ${\displaystyle Y}$ Exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$, so ist ${\displaystyle X\cdot Y}$Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$.

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung

Die s​o definierte stetige Laplaceverteilung h​at nichts m​it der stetigen Gleichverteilung z​u tun. Sie w​ird mit i​hr trotzdem g​erne verwechselt, w​eil die diskrete Gleichverteilung n​ach Laplace benannt i​st (Laplacewürfel)

Quellen

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.
2. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930