Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation (genauer d​ie kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: [fuʁie]) i​st eine mathematische Methode a​us dem Bereich d​er Fourier-Analyse, m​it der aperiodische Signale i​n ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden. Die Funktion, d​ie dieses Spektrum beschreibt, n​ennt man a​uch Fourier-Transformierte o​der Spektralfunktion. Es handelt s​ich dabei u​m eine Integraltransformation, d​ie nach d​em Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier benannt ist. Fourier führte i​m Jahr 1822 d​ie Fourier-Reihe ein, d​ie jedoch n​ur für periodische Signale definiert i​st und z​u einem diskreten Frequenzspektrum führt.

Es g​ibt einige Anwendungsfälle, i​n denen d​ie Fourier-Transformation mittels e​ines Computers berechnet werden soll. Dafür w​urde die Diskrete Fourier-Transformation beziehungsweise d​ie Schnelle Fourier-Transformation eingeführt.

Definition

Sei ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine integrierbare Funktion, wobei ${\displaystyle L^{1}}$ den Lebesgue-Raum bezeichnet. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\mathcal {F}}f}$ von ${\displaystyle f}$ ist definiert durch

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{\ n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x}$

und d​ie zugehörige inverse Transformation lautet:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{\ n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.}$

Dabei gilt: ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ sind ${\displaystyle n}$-dimensionale Volumenelemente, ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit und ${\displaystyle y\cdot x}$ das Standardskalarprodukt der Vektoren ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle x}$.

Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor ${\displaystyle 1/(2\pi )^{n/2}}$ in der Transformation wegzulassen, sodass stattdessen die Rücktransformation den Vorfaktor ${\displaystyle 1/(2\pi )^{n}}$ erhält. Die Transformation lautet dann:

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;,}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.}$

Hier taucht ein Vorfaktor auf, so dass die Anwendung des Satzes von Plancherel nicht direkt möglich ist, weil die Fouriertransformation dann keine unitäre Abbildung mehr auf ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist und so die Signalleistung ändert. Dies kann jedoch (wie bei allen Orthogonaltransformationen) einfach durch eine Substitution (Reskalierung der Abszisse) ausgeglichen werden und stellt damit kein grundlegendes Problem dar. Genau dies wird in der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie vorgeschlagen, indem von der natürlichen Frequenz auf die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi x}$ (die den Faktor beinhaltet) übergegangen wird:

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega \cdot x}\,\mathrm {d} x\;}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega \cdot y}\,\mathrm {d} y\;.}$

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen ${\displaystyle f}$ kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

Anwendungsfälle

Kompressionsverfahren für die digitale Kommunikation

Die Kompression v​on digitalen Daten a​uf Basis d​er Fourier-Transformation i​st eine zentrale Technologie für Kommunikation, Datenaustausch u​nd Streaming v​on Medien i​m (mobilen) Internet.[1]

Beispielsweise w​ird zur Kompression v​on Audio-Daten (etwa u​m eine MP3 Datei z​u erzeugen) d​as Audio-Signal i​n den Frequenz-Raum transformiert. Die Transformation erfolgt über d​as Verfahren d​er (modifizierten) diskreten Kosinustransformation, welches d​er schnellen Fourier-Transformation ähnelt. Im Frequenzraum werden d​ann alle Frequenzen, d​ie Menschen n​icht hören können o​der die n​ur wenig z​um subjektiven Empfinden d​es Klangs beitragen, entfernt. Das Ergebnis w​ird im letzten Schritt a​us dem Frequenz-Raum rücktransformiert – daraus erhält man, a​uf Grund d​es verringerten Frequenzumfangs, e​ine deutlich kleinere (komprimierte) Audio-Datei.[2]

In vergleichbaren Verfahren können Bilder (JPEG Kompression) o​der Filme (MPEG-4) komprimiert werden.

Signalanalyse

In d​er Signalanalyse werden mittels Fourier-Transformation Frequenzanalysen v​on Signalen durchgeführt. Hierzu w​ird das Verfahren d​er diskreten Fourier-Transformation bzw. d​er schnellen Fourier-Transformation genutzt. Ein Beispiel für d​ie Vielzahl v​on technischen Anwendungen i​st die Nutzung d​er Signalanalyse b​ei der Erstellung v​on Bildern mittels Magnetresonanztomographie.[3]

Beispiel Signalanalyse in der Akustik

Der reine Kammerton ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist bestimmend für die Klangfarbe jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der Grundton des Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, die Obertöne, haben höhere Frequenzen.

An d​er Fourier-Transformierten d​es Tonsignals k​ann man direkt d​ie verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen d​er Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft k​ann man beispielsweise für d​ie automatische Erkennung v​on Tonhöhen u​nd Musikinstrumenten i​n einem Tonsignal ausnutzen.

Beispiele

Bildliche Darstellung einer Funktion und Ihrer Fourier-Transformierten

Zur Veranschaulichung s​ei ein Puls-Signal m​it zwei überlagerten Frequenzen gegeben. Die Funktion, d​ie dieses Signal darstellt, besteht beispielhaft a​us der Summe zweier Cosinus-Funktionen, multipliziert m​it einer Gauß-Kurve z​ur Darstellung d​es An- u​nd Abklingens:

${\displaystyle f(t)=(10\cdot \cos(2\pi (5\cdot t))+(5\cdot \cos(2\pi (40\cdot t))))\cdot \mathrm {e} ^{-\pi t^{2}}}$

Interpretiert m​an die Einheit d​er Zeitachse t a​ls Sekunden, d​ann haben d​ie beiden Frequenzen e​inen Wert v​on 5 Hz bzw. 40 Hz b​ei einer Amplitude v​on 10 bzw. 5.

Durch d​ie Fourier-Transformation transformiert m​an die Funktion i​n den Frequenz-Raum – d. h. d​ie X-Achse i​m Diagramm d​er Fourier-Transformierten stellt e​ine Frequenz dar. Die Fourier-Transformierte d​er Beispiel-Funktion z​eigt die beiden Frequenz-Anteile a​ls Spitze b​eim jeweiligen Frequenzwert (5 bzw. 40). Der Wert d​er Fourier-Transformierten a​n der Stelle d​er jeweiligen Frequenz i​st ein Maß für d​ie Amplitude d​er überlagerten Frequenzen i​n der Beispiel-Funktion. Hier dargestellt i​st der absolute Betrag d​er Fourier-Transformierten b​ei normierter X-Achse (zur Vereinfachung i​st nur d​er positive Teil d​er Transformierten gezeigt):

• 
  Funktion des Puls-Signals f(t)
• 
  Positiver Teil des absoluten Betrags der Fourier-Transformierten

Dies illustriert d​ie Anwendung d​er Fourier-Transformation z​ur Analyse d​er Frequenzanteile v​on Signalen – hieraus leitet s​ich auch d​as Synonym Spektralfunktion für d​ie Fourier-Transformierte ab.

Beispielhafte Herleitung einer Fourier-Transformierten

Es s​oll das Frequenzspektrum e​iner gedämpften Schwingung m​it ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese k​ann durch folgende Funktion beschrieben werden:

${\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot \cos(\omega _{\rm {s}}t)\Theta (t)}$

oder i​n komplexer Schreibweise:

${\displaystyle f(t)=x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t})\Theta (t)\;.}$

Hier ist ${\displaystyle x_{0}}$ die Amplitude und ${\displaystyle \omega _{\rm {s}}}$ die Kreisfrequenz der Schwingung, ${\displaystyle \tau }$ die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor ${\displaystyle 1/e}$ abfällt, und ${\displaystyle \Theta (t)}$ die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\omega )=({\mathcal {F}}f)(\omega )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\Theta (t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{\infty }\left(\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}+\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left[-{\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}-{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\mathrm {e} ^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}+{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\right)\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1/\tau +\mathrm {i} \omega }{(1/\tau +\mathrm {i} \omega )^{2}+\omega _{\rm {s}}^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Eigenschaften

Linearität

Die Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}(a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot {\mathcal {F}}(f)+b\cdot {\mathcal {F}}(g)}$.

Stetigkeit

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ in den Raum der Funktionen ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$, die im Unendlichen verschwinden. Mit ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für ${\displaystyle |x|\to \infty }$ verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}f\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}}$.

Differentiationsregeln

Sei ${\displaystyle f\in S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Schwartz-Funktion und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ein Multiindex. Dann gilt

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in S(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle D^{\alpha }({\mathcal {F}}f)=(-{\rm {i}})^{|\alpha |}{\mathcal {F}}(x^{\alpha }f)}$.
• ${\displaystyle ({\mathcal {F}}(D^{\alpha }f))(\xi )={\rm {i}}^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }({\mathcal {F}}f)(\xi )}$.

Fixpunkt

Die Dichtefunktion

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|x\|^{2}}}$

mit ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ der (${\displaystyle n}$-dimensionalen) Gauß’schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(x)=\varphi (x)}$.

Insbesondere ist also ${\displaystyle \varphi }$ eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert ${\displaystyle 1}$. Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}x\cdot \xi }\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x}$ bestimmt werden.

Spiegelsymmetrie

Für ${\displaystyle f\in S(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\mathcal {F}}^{2}f)(x)=({\mathcal {F}}({\mathcal {F}}f))(x)=f(-x)}$.

Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ als Operatorgleichung

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}}}$

schreiben, wobei

${\displaystyle {\mathcal {P}}:f\mapsto (x\mapsto f(-x))}$

den Paritätsoperator bezeichnet.

Rücktransformationsformel

Sei ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine integrierbare Funktion derart, dass auch ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt. Dann gilt die Rücktransformation

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(f))(x)=f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tx}{\mathcal {F}}(f)(t)\,\mathrm {d} t.}$

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum ${\displaystyle S(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Faltungstheorem

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ gilt also

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}\,{\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)}$.

Die Umkehrung d​es Faltungssatzes besagt[4]

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)*{\mathcal {F}}(g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(f\cdot g)}$.

Fourier-Transformation von L²-Funktionen

Definition

Für eine Funktion ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$.

Die Konvergenz ist im Sinne von ${\displaystyle L^{2}}$ zu verstehen und ${\displaystyle B_{r}(0)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq r\}}$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius ${\displaystyle r}$. Für Funktionen ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-Ungleichung

Seien ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$. Für ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ und es gilt

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}(f)\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{(2\pi )^{n\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}\right)}}}\|f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$.

Die Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$, der durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von ${\displaystyle L^{q}}$ zu verstehen.

Differentiationsregel

Falls die Funktion ${\displaystyle f}$ schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also ${\displaystyle f\in W^{k,2}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine k-mal schwach differenzierbare L²-Funktion und ${\displaystyle \alpha }$ ein Multiindex mit ${\displaystyle |\alpha |\leq k}$. Dann gilt

${\displaystyle {\mathcal {F}}(D^{\alpha }f)(\xi )=\mathrm {i} ^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }{\mathcal {F}}(f)(\xi )}$.

Unitäre Abbildung

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes ein unitärer Operator, das heißt, es gilt

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}(f),g\rangle _{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}(f)}}(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f}}(x){\mathcal {F}}^{-1}(g)(x)\mathrm {d} x=\langle f,{\mathcal {F}}^{-1}(g)\rangle _{L^{2}}.}$

Damit liegt das Spektrum der Fourier-Transformation auf der Einheitskreislinie. Im eindimensionalen Fall (${\displaystyle n=1}$) bilden ferner die Hermite-Funktionen ${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ im Raum ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$ ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten ${\displaystyle \left(-\mathrm {i} \right)^{n}}$.[5]

Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen

→ Hauptartikel: Temperierte Distribution

Sei ${\displaystyle u\in S'(\mathbb {R} ^{n})}$ eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)}$ ist für alle ${\displaystyle \phi \in S(\mathbb {R} ^{n})}$ definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\phi ):=u({\mathcal {F}}(\phi ))}$.

Stattet man den Raum ${\displaystyle S'(\mathbb {R} ^{n})}$ mit der Schwach-*-Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf ${\displaystyle S'(\mathbb {R} ^{n})}$. Ihre Umkehrabbildung lautet

${\displaystyle u(\phi )(-x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(u))(\phi )(x)}$.

Fourier-Transformation von Maßen

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert:

${\displaystyle {\check {\mu }}(x)=\int \mathrm {e} ^{\mathrm {i} xy}\mu (\mathrm {d} y)}$

heißt inverse Fourier-Transformierte d​es Maßes. Die charakteristische Funktion i​st dann d​ie inverse Fourier-Transformierte e​iner Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle Differentialgleichungen

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)&=&\Delta _{x}u(x,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\u(x,t)&=&g(x,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Delta _{x}}$ den Laplace-Operator, der nur auf die ${\displaystyle x}$-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der ${\displaystyle x}$-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}{\mathcal {F}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)(\xi ,t)&=&-|\xi |^{2}{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&=&{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.}$

Hierbei handelt e​s sich n​un um e​ine gewöhnliche Differentialgleichung, d​ie die Lösung

${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)=\mathrm {e} ^{-t|\xi |^{2}}{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)}$

hat. Daraus folgt ${\displaystyle \textstyle u(x,t)={\mathcal {F}}^{-1}\left(\exp(-t|\xi |^{2}){\mathcal {F}}(g)\right)(x,t)}$ und aufgrund des Faltungstheorems gilt

${\displaystyle u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}}$

mit ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(\xi ,t)=\exp(-t|\xi |^{2}).}$ Daraus folgt

${\displaystyle F(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\cdot y-t|y|^{2}}\mathrm {d} y={\frac {1}{(2t)^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}\,.}$

Das i​st die Fundamentallösung d​er Wärmegleichung. Die Lösung d​es hier betrachteten Anfangswertproblems h​at daher d​ie Darstellung

${\displaystyle u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{-{\frac {|x-\xi |^{2}}{4t}}}g(\xi )\mathrm {d} \xi \,.}$

Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare

In diesem Kapitel f​olgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
${\displaystyle g(t)}$	${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$	${\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t}$
${\displaystyle g(t-a)}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} a\omega }G(\omega )}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi af}G(f)}$	Zeitverschiebung
${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} at}g(t)}$	${\displaystyle G(\omega -a)}$	${\displaystyle G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)}$	Frequenzverschiebung
${\displaystyle g(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)}$	Frequenzskalierung
${\displaystyle g^{(n)}(t)}$	${\displaystyle (\mathrm {i} \omega )^{n}G(\omega )}$	${\displaystyle (\mathrm {i} 2\pi f)^{n}G(f)}$	Hier ist ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion. ${\displaystyle g^{(n)}}$ bezeichnet die ${\displaystyle n}$-te Ableitung von g.

Quadratisch integrierbare Funktionen

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
${\displaystyle g(t)}$	${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$	${\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t}$
${\displaystyle \exp \left(-{\frac {at^{2}}{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\omega ^{2}}{2a}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}\exp \left(-{\frac {2\pi }{a}}\cdot \pi f^{2}\right)}$	Die Gaußsche Funktion ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss ${\displaystyle \mathrm {Re} (a)>0}$ sein.
${\displaystyle \operatorname {rect} (at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)}$	Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion (${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$).
${\displaystyle \operatorname {si} (at)\equiv {\frac {\sin(at)}{at}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\pi }{a}}f\right)}$	Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
${\displaystyle \exp \left(-a|t|\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {a}{\omega ^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle a>0.}$ Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{a}}\exp \left(-a|\omega |\right)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\exp \left(-2\pi a|f|\right)}$

Distributionen

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
${\displaystyle g(t)}$	${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}$	${\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} at}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)}$	${\displaystyle \delta \left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)}$
${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})+\delta (f+{\frac {a}{2\pi }})}{2}}}$
${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2\mathrm {i} }}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})-\delta (f+{\frac {a}{2\pi }})}{2\mathrm {i} }}}$
${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle \mathrm {i} ^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)}$	Hier ist ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle \delta ^{(n)}}$ die ${\displaystyle n}$-te Ableitung der Delta-Distribution.
${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-\mathrm {i} \omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \pi {\frac {(-\mathrm {i} 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(f)}$
${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {i} \ \omega }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {i} \pi f}}}$
${\displaystyle \Theta (t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {i} \pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {i} \pi f}}+\delta (f)\right)}$	${\displaystyle \Theta (t)}$ ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$	Das Signal heißt Dirac-Kamm.

Siehe auch

• Diskrete Fourier-Transformation
• Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale
• Schnelle Fourier-Transformation
• Inverse schnelle Fourier-Transformation

Literatur

• Rolf Brigola: Fourier-Analysis und Distributionen. edition swk, Hamburg 2013, ISBN 978-3-8495-2892-8.
• S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (Annals of mathematics studies 19, ISSN 0066-2313).
• Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Bearbeitet von Mathias Kluwe. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (Studium).
• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Second Edition. Springer-Verlag, ISBN 3-540-52345-6.
• Burkhard Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2.
• M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics).
• P. I. Lizorkin: Fourier Transform. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Athanasios Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. Reissued. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series).
• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung. 11. Auflage. Springer Verlag. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-2311-3.
• Herbert Sager: Fourier-Transformation. 1. Auflage. vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Princeton Lectures in Analysis. Band 1: Fourier Analysis. An Introduction. Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 6. Auflage, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Jörg Lange, Tatjana Lange: Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich. Springer Vieweg, 2019, ISBN 978-3-658-24849-9.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fourier Transform. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Martin Donner: Fouriers Beitrag zur Geschichte der Neuen Medien. In: Humboldt-Universität zu Berlin. 2006, abgerufen am 30. Juli 2021.
2. Dirk Schulze: Digitale Audiokodierung mit MP3, Varianten und Anwendungsgebiete. In: Technische Universität Dresden. 2008, abgerufen am 30. Juli 2021.
3. Johannes Klotz: Grundlagen der Fourier-Transformation und deren Anwendung in der Magnetresonanztomographie (MRT). Universität Innsbruck, 30. April 2019, abgerufen am 30. Juli 2021.
4. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten, z. B. wie in Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger. Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books.
5. Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Auflage. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, § 12, Abschn. 4.2, S. 300–301.