Stetige Gleichverteilung

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung, kontinuierliche Gleichverteilung, oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Dichtefunktion der Gleichverteilung für ${\displaystyle a=4,b=8}$ (blau), ${\displaystyle a=1,b=18}$ (grün) und ${\displaystyle a=1,b=11}$ (rot)

Die Möglichkeit, d​ie stetige Gleichverteilung a​uf dem Intervall v​on 0 b​is 1 z​u simulieren, bildet d​ie Basis z​ur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels d​er Inversionsmethode o​der der Verwerfungsmethode.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, wenn Dichtefunktion ${\displaystyle f(x)}$ und Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ gegeben sind als

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}={\frac {1}{\sqrt {12\sigma ^{2}}}}\cdot {\text{rect}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {12\sigma ^{2}}}}\right)}$
${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&a<x<b\\1&x\geq b\end{cases}}}$

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig ${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {SG}}(a,b)}$ verwendet. In einigen Formeln sieht man auch ${\displaystyle {\text{Gleich}}(a,b)}$ oder ${\displaystyle {\text{uniform}}(a,b)}$ als Bezeichnung für die Verteilung. Die stetige Gleichverteilung ist durch ihre ersten beiden zentralen Momente komplett beschrieben, d. h. alle höheren Momente sind aus Erwartungswert und Varianz berechenbar.

Eigenschaften

Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf ${\displaystyle [a,b]}$ gleichverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ in einem Teilintervall ${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$ liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:

${\displaystyle P(c\leq X\leq d)=F(d)-F(c)={\frac {d-c}{b-a}}}$.

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}x\cdot 1\,dx={\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}-a^{2}}{b-a}}={\frac {a+b}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Median} (X)=F^{-1}({\tfrac {1}{2}})={\frac {a+b}{2}}}$.

Varianz

Die Varianz d​er stetigen Gleichverteilung ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2})-\left({\operatorname {E} (X)}\right)^{2}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}{x^{2}\cdot 1\,dx}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{12}}\left({4b^{2}+4ab+4a^{2}-3a^{2}-6ab-3b^{2}}\right)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.\end{aligned}}}$

Standardabweichung und weitere Streumaße

Aus d​er Varianz erhält m​an die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}={\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0{,}289(b-a)}$.

Die mittlere absolute Abweichung beträgt ${\displaystyle (b-a)/4}$, und der Interquartilsabstand ${\displaystyle (b-a)/2}$ ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

Variationskoeffizient

Für d​en Variationskoeffizienten ergibt sich:

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{a+b}}}$.

Symmetrie

Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt s​ich darstellen als

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$.

Wölbung und Exzess

Die Wölbung ${\displaystyle \beta _{2}}$ und der Exzess ${\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3}$ lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

${\displaystyle \beta _{2}={\tfrac {9}{5}}=1{,}8}$ bzw.

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\tfrac {6}{5}}=-1{,}2}$.

Momente

${\displaystyle k}$-tes Moment	${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}\left(\mu -{\sqrt {3\sigma ^{2}}}\right)^{i}\left(\mu +{\sqrt {3\sigma ^{2}}}\right)^{k-i}}$
${\displaystyle k}$-tes zentrales Moment	${\displaystyle \mu _{k}={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{k}}{2^{k}(k+1)}}&{\text{ k gerade}}\\0&{\text{ k ungerade}}\end{cases}}={\begin{cases}{\frac {{\sqrt {3}}^{k}\sigma ^{k}}{(k+1)}}&{\text{ k gerade}}\\0&{\text{ k ungerade}}\end{cases}}}$

Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)

Die Summe zweier unabhängiger u​nd stetig gleichverteilter Zufallsvariablen i​st dreiecksverteilt, f​alls die Breite d​er beiden Träger identisch ist. Unterscheiden s​ich die Trägerbreiten, s​o ergibt s​ich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, die andere auf dem Intervall ${\displaystyle [c,d]}$. Sei ${\displaystyle \alpha =\min\{d-c,b-a\}}$ und ${\displaystyle \beta =\max\{d-c,b-a\}}$. Dann hat ihre Summe die folgende Trapezverteilung:

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\longmapsto {\begin{cases}0&x\not \in [a+c,b+d]\\{\frac {x}{\alpha \beta }}-{\frac {a+c}{\alpha \beta }}&x\in [a+c,a+c+\alpha ]\\{\frac {1}{\beta }}&x\in [a+c+\alpha ,a+c+\beta ]\\{\frac {b+d}{\alpha \beta }}-{\frac {x}{\alpha \beta }}&x\in [a+c+\beta ,b+d]\end{cases}}}$

Die Summe v​on unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen a​uf dem Intervall [0;1] i​st eine Irwin-Hall-Verteilung, s​ie nähert s​ich der Normalverteilung a​n (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) z​ur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: m​an summiert 12 (unabhängige) a​uf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen u​nd subtrahiert 6 (das liefert d​ie richtigen Momente, d​a die Varianz e​iner U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 i​st und s​ie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \phi _{X}(t)={\frac {1}{(b-a)it}}\left(e^{itb}-e^{ita}\right)=\exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right){\frac {\sin \left({\frac {b-a}{2}}t\right)}{{\frac {b-a}{2}}t}}}$,

wobei ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er stetigen Gleichverteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s}}&s\neq 0\\1&s=0.\end{cases}}}$

und speziell für ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle m_{X}(s)={\frac {1}{s}}(e^{s}-1).}$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Dreiecksverteilung

Die Summe v​on zwei unabhängigen u​nd stetig gleichverteilten Zufallsvariablen h​at eine Dreiecksverteilung.

Beziehung zur Betaverteilung

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ unabhängige auf ${\displaystyle [0,1]}$ stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\dotsc ,X_{(n)}}$ eine Betaverteilung. Genauer gilt

${\displaystyle X_{(k)}\sim B(k,n-k+1)}$

für ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n}$.

Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn ${\displaystyle X}$ eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise ${\displaystyle Y=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(X)}$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ auf beliebige messbare Teilmengen ${\displaystyle \Omega }$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Lebesgue-Maß ${\displaystyle 0<\lambda ^{n}(\Omega )<\infty }$ verallgemeinern. Man setzt dann

${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Omega }(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,dx={\frac {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}}}$

für messbare ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$.

Diskreter Fall

Die Gleichverteilung i​st auch a​uf endlichen Mengen definiert, d​ann heißt s​ie diskrete Gleichverteilung.

Beispiel für das Intervall [0, 1]

Häufig wird ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=1}$ angenommen, also ${\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0,1)}$ betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion ${\displaystyle f}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort ${\displaystyle F(x)=x}$. Der Erwartungswert beträgt dementsprechend ${\displaystyle E(X)={\tfrac {1}{2}}}$, die Varianz ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\tfrac {1}{12}}}$ und die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\tfrac {1}{12}}}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}\approx 0{,}29}$, wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige Intervalle ${\displaystyle [a,a+1]}$ der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Ist ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {U}}(0,1)}$-verteilte Zufallsvariable, dann ist

${\displaystyle Y=(b-a)X+a}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$-verteilt.

Siehe auch

• Diskrete Gleichverteilung

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 155–156, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.