Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge ${\displaystyle \{a,b\}}$ definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf ${\displaystyle \{0,1\}}$ definiert ist.

Definition

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle \{a,b\}}$ mit ${\displaystyle a<b}$ heißt zweipunktverteilt, wenn

${\displaystyle P(X=a)=1-p{\text{ und }}P(X=b)=p}$ ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

${\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}}$

Eigenschaften

Sei im Folgenden ${\displaystyle q=1-p}$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

${\displaystyle E(X)=(1-p)\cdot a+p\cdot b=q\cdot a+p\cdot b}$.

Varianz und weitere Streumaße

Für die Varianz gilt

${\displaystyle V(X)=E\left((X-E(X))^{2}\right)=p\cdot q\cdot (b-a)^{2}}$.

Demnach ist die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}}$

und der Variationskoeffizient

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {(b-a){\sqrt {pq}}}{qa+pb}}}$.

Symmetrie

Ist ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

Schiefe

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$.

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

${\displaystyle \gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}}$

und damit ist die Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}}$.

Höhere Momente

Die ${\displaystyle k}$-ten Momente ergeben sich als

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=qa^{k}+pb^{k}}$.

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

Modus

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

${\displaystyle x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}}$

Median

Der Median der Zweipunktverteilung ist

${\displaystyle {\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} _{0}}$, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

${\displaystyle m_{X}(t)=qt^{a}+pt^{b}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gegeben als

${\displaystyle M_{X}(t)=qe^{at}+pe^{bt}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gegeben als

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=qe^{iat}+pe^{ibt}}$.

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern

Sind Erwartungswert ${\displaystyle m}$, Standardabweichung ${\displaystyle s}$ und Schiefe ${\displaystyle t}$ vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

${\displaystyle p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,}$

${\displaystyle q=1-p,}$

${\displaystyle a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},}$

${\displaystyle b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.}$

Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen

Die Zweipunktverteilung ist für ${\displaystyle p\in (0,1)}$ nicht reproduktiv. Das heißt, wenn ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ zweipunktverteilt sind, dann ist ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit ${\displaystyle p=1}$ (bzw. ${\displaystyle q=1}$). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf ${\displaystyle b}$ (bzw. auf ${\displaystyle a}$), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Eine Zweipunktverteilung auf ${\displaystyle \{0,1\}}$ ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit ${\displaystyle a=-1,b=1,p=q={\frac {1}{2}}}$.

Literatur

• Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.