Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung i​st eine Wahrscheinlichkeitsverteilung u​nd somit d​em mathematischen Teilgebiet d​er Stochastik zuzuordnen. Sie i​st eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung a​uf den natürlichen Zahlen, d​ie vor a​llem in d​er Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich z​ur Poisson-Verteilung besitzt s​ie zwei Parameter, i​st dadurch wesentlich flexibler a​ls diese.

Definition

Eine diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle \lambda }$ (Ereignisrate) und ${\displaystyle \theta }$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P(X_{n}=k)={\frac {\theta (\theta +k\lambda )^{k-1}\;\mathrm {e} ^{-\theta -k\lambda }}{k!}}}$

besitzt. Setzt man ${\displaystyle \lambda =0}$, so ergibt sich die gewöhnliche Poisson-Verteilung zum Erwartungswert ${\displaystyle \theta }$.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für ${\displaystyle \lambda >0}$ sogar größer). Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion).
• Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der Panjer-Verteilung kennt.
• Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n})={\frac {\theta }{1-\lambda }}}$.

Varianz

Für d​ie Varianz erhält man

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n})={\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}}$.

Standardabweichung

Aus d​er Varianz erhält m​an wie üblich d​ie Standardabweichung

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}}}$.

Variationskoeffizient

Für d​en Variationskoeffizienten ergibt sich:

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1}{\theta (1-\lambda )}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt s​ich darstellen als

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2\lambda }{\sqrt {\theta (1-\lambda )}}}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=e^{is}e^{\lambda (u-1)}}$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für d​ie wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=ze^{\lambda (u-1)}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}}$ mit ${\displaystyle u=e^{s}e^{\lambda (u-1)}}$.