Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) i​st eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sie t​ritt in d​er Physik i​n der genäherten Beschreibung v​on Resonanzen auf, u​nd wird d​ort Resonanzkurve o​der Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher g​ibt es a​uch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung u​nd Cauchy-Lorentz-Verteilung.

Definition

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: ${\displaystyle \gamma }$ im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und ${\displaystyle x_{0}}$ entspricht t.

Die Cauchy-Verteilung i​st eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, d​ie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty }$

mit ${\displaystyle s>0}$ und Lageparameter ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ besitzt.

Die Verteilungsfunktion d​er Cauchy-Verteilung ist

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)}$.

Mit dem Zentrum ${\displaystyle t=0}$ und dem Breitenparameter ${\displaystyle s=1}$ ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad) mit

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$

als Wahrscheinlichkeitsdichte und

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan(x)}$

als Verteilungsfunktion.

Ist ${\displaystyle X}$ Cauchy-verteilt mit den Parametern ${\displaystyle s}$ und ${\displaystyle t}$, dann ist ${\displaystyle {\frac {X-t}{s}}}$ standard-Cauchy-verteilt.

Eigenschaften

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente

Die Cauchy-Verteilung i​st eine Verteilung, d​ie weder Erwartungswert n​och Varianz o​der Standardabweichung besitzt, d​a die entsprechenden Integrale n​icht endlich sind. Dementsprechend besitzt s​ie auch k​eine endlichen Momente u​nd keine momenterzeugende Funktion.

Median, Modus, Quartilabstand

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei ${\displaystyle t}$, den Modus ebenfalls bei ${\displaystyle t}$, und den Quartilsabstand ${\displaystyle 2s}$.

Symmetrie

Die Cauchy-Verteilung ist symmetrisch zum Parameter ${\displaystyle t}$.

Entropie

Die Entropie beträgt ${\displaystyle \log(4\,\pi \,s)}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist ${\displaystyle y\mapsto \exp(ity-s|y|)}$.

Reproduktivität

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert ${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})/n}$ aus ${\displaystyle n}$ standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber Faltung

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{a}}$ mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{b}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{b}}$ ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite ${\displaystyle \Gamma _{c}=\Gamma _{a}+\Gamma _{b}}$ und einem Maximum bei ${\displaystyle t_{c}=t_{a}+t_{b}}$. Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine Faltungshalbgruppe.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zu stetigen Gleichverteilung

Ist ${\displaystyle U}$ auf dem Intervall ${\displaystyle (-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ stetig gleichverteilt, dann ist ${\displaystyle X=\tan(U)}$ standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zur Normalverteilung

Der Quotient a​us zwei unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen i​st standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zu studentschen t-Verteilung

Die Standard-Cauchy-Verteilung i​st der Spezialfall d​er studentschen t-Verteilung m​it einem Freiheitsgrad.

Beziehung zur Lévy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Verteilung mit dem Exponentenparameter ${\displaystyle \alpha =1}$.

Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der Heavy-tailed-Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ lautet hierbei ${\displaystyle F^{-1}(y)=-\cot(\pi y)}$ (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ${\displaystyle u_{i}}$ lässt sich daher durch ${\displaystyle x_{i}:=-\cot(\pi u_{i})}$, oder wegen der Symmetrie auch durch ${\displaystyle x_{i}:=\cot(\pi u_{i})}$, eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur

• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons, 1968, ISBN 0-471-25708-7.
• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0-471-25709-5.

Weblinks

• Universität Konstanz – Interaktive Animation
• Eric W. Weisstein: Cauchy Distribution. In: MathWorld (englisch).

Siehe auch

• Versiera der Agnesi