Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung i​st eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, d​ie in d​er Bayesschen Statistik u​nd in d​er Inferenztheorie e​ine wichtige Rolle spielt, d​a es s​ich u​m eine Mischverteilung handelt.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle Gg(\alpha ,\beta ,\delta )}$ ist bei ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{B(\alpha ,\delta )}}{\frac {x^{\delta -1}}{(\beta +x)^{\alpha +\delta }}}}$

wobei ${\displaystyle B(\alpha ,\beta )}$ die Eulersche Betafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\delta \beta }{\alpha -1}}}$, für ${\displaystyle \alpha >1}$

und d​ie Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\beta ^{2}\delta (\delta +\alpha -1)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}=\operatorname {E} (X)^{2}{\frac {1+{\frac {\alpha -1}{\delta }}}{\alpha -2}}}$, für ${\displaystyle \alpha >2}$

Modus

Der Modus ist

${\displaystyle \operatorname {Mod} (X)={\frac {\beta \ (\delta -1)}{\alpha +1}}}$, für ${\displaystyle \delta >1}$

Sonderfall δ=1

Falls δ=1, d​ann ist d​ie Dichtefunktion

${\displaystyle f(x|\delta =1)={\frac {\alpha }{\beta +x}}\left({\frac {\beta }{\beta +x}}\right)^{\alpha }}$

Da ${\displaystyle G(1,\lambda )=Exp(\lambda )}$ wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem ${\displaystyle G(\alpha ,\beta )}$ Parameter ${\displaystyle \lambda }$.

Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle Gg(\alpha ,\beta =1,\delta )}$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\displaystyle {\mathcal {InvB}}(a=\delta ,b=\alpha )}$

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ der Gammaverteilung ${\displaystyle G(d,\epsilon )}$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle G(a,b)}$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle G(a,b,d)}$ verteilt.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Ist der Parameter ${\displaystyle \lambda }$ der Exponentialverteilung ${\displaystyle Exp(\lambda )}$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle G(a,b)}$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle G(a,b,1)}$ verteilt.

Literatur

• Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch

• Exponentialverteilung