Binomialverteilung

Die Binomialverteilung i​st eine d​er wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsfunktion
Parameter	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$, ${\displaystyle p\in [0,1]}$
Träger	${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n\}}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion	${\displaystyle \textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$
Erwartungswert	${\displaystyle np}$
Median	i. A. keine geschlossene Formel, siehe unten
Modus	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ oder ${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor }$
Varianz	${\displaystyle np(1-p)}$
Schiefe	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Wölbung	${\displaystyle 3+{\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi \mathrm {e} \,np(1-p){\big )}}$ ${\displaystyle +{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Momenterzeugende Funktion	${\displaystyle \left(1-p+p\mathrm {e} ^{t}\right)^{n}}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle \left(1-p+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)^{n}}$

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für ${\displaystyle n=20}$; ${\displaystyle p=0{,}1}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)

Binomialverteilungen für ${\displaystyle p=0{,}5}$
mit ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ wie im Pascalschen Dreieck

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in einem Galtonbrett mit acht Ebenen (${\displaystyle n=8}$) ins mittlere Fach fällt (${\displaystyle k=4}$), ist ${\displaystyle 70/256}$.

Sie beschreibt d​ie Anzahl d​er Erfolge i​n einer Serie v​on gleichartigen u​nd unabhängigen Versuchen, d​ie jeweils g​enau zwei mögliche Ergebnisse h​aben („Erfolg“ o​der „Misserfolg“). Solche Versuchsserien werden a​uch Bernoulli-Prozesse genannt.

Ist ${\displaystyle p}$ die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Versuche, dann bezeichnet man mit ${\displaystyle B(k\mid p,n)}$ (auch ${\displaystyle B_{n,p}(k)}$, ${\displaystyle B(n,p,k)}$[1] oder ${\displaystyle B(n;p;k)}$[2]) die Wahrscheinlichkeit, genau ${\displaystyle k}$ Erfolge zu erzielen (siehe Abschnitt Definition).

Die Binomialverteilung und der Bernoulli-Versuch können mit Hilfe des Galtonbretts veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die man Kugeln wirft. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht. Je nach Konstruktion sind unterschiedliche Parameter ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$ möglich.

Obwohl d​ie Binomialverteilung bereits l​ange vorher bekannt war, w​urde der Begriff z​um ersten Mal 1911 i​n einem Buch v​on George Udny Yule verwendet.[3]

Beispiele

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Würfel eine Zahl größer als 2 zu würfeln, beträgt ${\displaystyle p={\tfrac {4}{6}}={\tfrac {2}{3}}}$; die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle q}$, dass dies nicht der Fall ist, beträgt ${\displaystyle q=1-p={\tfrac {1}{3}}}$. Angenommen, man würfelt 10-mal (${\displaystyle n=10}$), dann gibt es eine kleine Wahrscheinlichkeit, dass kein einziges Mal eine Zahl größer als 2 gewürfelt wird oder umgekehrt jedes Mal. Die Wahrscheinlichkeit, dass man ${\displaystyle k}$-mal eine solche Zahl würfelt ${\displaystyle (0\leq k\leq 10)}$, wird durch die Binomialverteilung ${\displaystyle B_{n,p}(k)}$ beschrieben.

Häufig wird der durch die Binomialverteilung beschriebene Prozess auch durch ein sogenanntes Urnenmodell illustriert. In einer Urne seien z. B. 6 Kugeln, 2 davon schwarz, die anderen weiß. Man greife nun 10-mal in die Urne, hole eine Kugel heraus, notiere deren Farbe und lege die Kugel wieder zurück. In einer speziellen Deutung dieses Prozesses wird das Ziehen einer weißen Kugel als „positives Ereignis“ mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ verstanden, das Ziehen einer nicht-weißen Kugel als „negatives Resultat“. Die Wahrscheinlichkeiten sind genauso verteilt wie im vorherigen Beispiel des Würfelns.

Definition

Wahrscheinlichkeitsfunktion, (kumulierte) Verteilungsfunktion, Eigenschaften

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung m​it der Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle B(k\mid p,n)={\begin{cases}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{falls}}\quad k\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

heißt die Binomialverteilung zu den Parametern ${\displaystyle n}$ (Anzahl der Versuche) und ${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$ (der Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit).

Hinweis: Bei dieser Formel wird die Konvention ${\displaystyle 0^{0}:=1}$ angewendet (siehe dazu Null hoch null).

Die obige Formel kann so verstanden werden: Wir brauchen bei insgesamt ${\displaystyle n}$ Versuchen genau ${\displaystyle k}$ Erfolge der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p^{k}}$ und haben demzufolge genau ${\displaystyle n-k}$ Fehlschläge der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$. Allerdings kann jeder der ${\displaystyle k}$ Erfolge bei jedem der ${\displaystyle n}$ Versuche auftreten, sodass wir noch mit der Anzahl ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ der ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge multiplizieren müssen. Denn genau so viele Möglichkeiten gibt es, aus allen ${\displaystyle n}$ Versuchen die ${\displaystyle k}$ erfolgreichen auszuwählen.

Die zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-p}$ wird häufig mit ${\displaystyle q}$ abgekürzt.

Wie für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendig, müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte ${\displaystyle k}$ zu 1 summieren. Dies ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz wie folgt:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\left(p+\left(1-p\right)\right)^{n}=1^{n}=1}$

Eine nach ${\displaystyle B(\cdot \mid p,n)}$ verteilte Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ heißt dementsprechend binomialverteilt mit den Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$ sowie der Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$,

wobei ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Weitere gebräuchliche Schreibweisen der kumulierten Binomialverteilung sind ${\displaystyle F(k\mid p,n)}$, ${\displaystyle F(n,p,k)}$[4] und ${\displaystyle F(n;p;k)}$.[5]

Herleitung als Laplace-Wahrscheinlichkeit

Versuchsschema: Eine Urne enthält ${\displaystyle N}$ Bälle, davon sind ${\displaystyle M}$ schwarz und ${\displaystyle N-M}$ weiß. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$, einen schwarzen Ball zu ziehen, ist also ${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$. Es werden nacheinander zufällig ${\displaystyle n}$ Bälle entnommen, ihre Farbe bestimmt und wieder zurückgelegt.

Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten, in denen man ${\displaystyle k}$ schwarze Bälle findet, und daraus die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit („Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl der (gleichwahrscheinlichen) Möglichkeiten“).

Bei jeder der ${\displaystyle n}$ Ziehungen gibt es ${\displaystyle N}$ Möglichkeiten, insgesamt also ${\displaystyle N^{n}}$ Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. Damit genau ${\displaystyle k}$ dieser ${\displaystyle n}$ Bälle schwarz sind, müssen genau ${\displaystyle k}$ der ${\displaystyle n}$ Ziehungen einen schwarzen Ball aufweisen. Für jeden schwarzen Ball gibt es ${\displaystyle M}$ Möglichkeiten, und für jeden weißen Ball ${\displaystyle N-M}$ Möglichkeiten. Die ${\displaystyle k}$ schwarzen Bälle können noch auf ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ mögliche Weisen über die ${\displaystyle n}$ Ziehungen verteilt sein, also gibt es

${\displaystyle {\binom {n}{k}}M^{k}(N-M)^{n-k}}$

Fälle, bei denen genau ${\displaystyle k}$ schwarze Bälle ausgewählt worden sind. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{k}}$, unter ${\displaystyle n}$ Bällen genau ${\displaystyle k}$ schwarze zu finden, ist also:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={\binom {n}{k}}{\frac {M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}}}\\&={\binom {n}{k}}\left({\frac {M}{N}}\right)^{k}\left({\frac {N-M}{N}}\right)^{n-k}\\&={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}}$

Eigenschaften

Symmetrie

• Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle p=0{,}5}$ und ${\displaystyle p=1}$ symmetrisch und ansonsten asymmetrisch.
• Die Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft ${\displaystyle B(k|p,n)=B(n-k|1-p,n).}$

Erwartungswert

Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert ${\displaystyle np}$.

Beweis

Den Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ errechnet man direkt aus der Definition ${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}}$ und dem binomischen Lehrsatz zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }\quad {\text{mit }}\ell$ :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }\qquad {\text{mit }}m:=n-1\\&=np\left(p+\left(1-p\right)\right)^{m}=np1^{m}=np.\end{aligned}}}

Alternativ kann man verwenden, dass eine ${\displaystyle B(\cdot \mid p,n)}$-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ als eine Summe von ${\displaystyle n}$ unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=p}$ geschrieben werden kann. Mit der Linearität des Erwartungswertes folgt dann

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (X_{1}+\dotsb +X_{n})=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=np.}$

Alternativ k​ann man ebenfalls m​it Hilfe d​es binomischen Lehrsatzes folgenden Beweis geben: Differenziert m​an bei d​er Gleichung

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$

beide Seiten nach ${\displaystyle a}$, ergibt sich

${\displaystyle n(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k-1}b^{n-k}}$,

also

${\displaystyle na(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$.

Mit ${\displaystyle a=p}$ und ${\displaystyle b=1-p}$ folgt das gewünschte Ergebnis.

Varianz

Die Binomialverteilung besitzt die Varianz ${\displaystyle npq}$ mit ${\displaystyle q=1-p}$.

Beweis

Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle B(n,p)}$-verteilte Zufallsvariable. Die Varianz bestimmt sich direkt aus dem Verschiebungssatz ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-\left(\operatorname {E} \left(X\right)\right)^{2}}$ zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot P(X=k)-(np)^{2}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}-n^{2}p^{2}}$

${\displaystyle ={\cancel {n^{2}p^{2}}}-np^{2}+np{\cancel {-n^{2}p^{2}}}}$

${\displaystyle =np(1-p)=npq}$

oder alternativ aus der Gleichung von Bienaymé, angewendet auf die Varianz unabhängiger Zufallsvariablen, wenn man berücksichtigt, dass die identischen Einzelprozesse ${\displaystyle X_{i}}$ der Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=p(1-p)=pq}$ genügen, zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X_{1}+\dotsb +X_{n})=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})=n\operatorname {Var} (X_{1})=np\left(1-p\right)=npq.}$

Die zweite Gleichheit gilt, w​eil die Einzelexperimente unabhängig sind, sodass d​ie Einzelvariablen unkorreliert sind.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert u​nd Varianz erhält m​an den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1-p}{np}}}.}$

Schiefe

Die Schiefe ergibt s​ich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}.}$

Wölbung

Die Wölbung lässt s​ich ebenfalls geschlossen darstellen als

${\displaystyle \beta _{2}=3+{\frac {1-6pq}{npq}}.}$

Damit i​st der Exzess

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-6pq}{npq}}.}$

Modus

Der Modus, also der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit, ist für ${\displaystyle p<1}$ gleich ${\displaystyle k=\lfloor np+p\rfloor }$ und für ${\displaystyle p=1}$ gleich ${\displaystyle n}$. Falls ${\displaystyle np+p}$ eine natürliche Zahl ist, ist ${\displaystyle k=np+p-1}$ ebenfalls ein Modus. Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert gleich dem Modus.

Beweis

Sei ohne Einschränkung ${\displaystyle 0<p<1}$. Wir betrachten den Quotienten

${\displaystyle \alpha _{k}:={\frac {B(k+1\mid p,n)}{B(k\mid p,n)}}={\frac {\,{\frac {n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}\,}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}\cdot {\frac {p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{p^{k}(1-p)^{n-k}}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}}$.

Nun gilt ${\displaystyle \alpha _{k}>1}$, falls ${\displaystyle k<np+p-1}$ und ${\displaystyle \alpha _{k}<1}$, falls ${\displaystyle k>np+p-1}$. Also:

${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}<1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)<B(k\mid p,n)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}=1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)=B(k\mid p,n)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}>1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)>B(k\mid p,n)\end{aligned}}}$

Und nur im Fall ${\displaystyle np+p-1\in \mathbb {N} }$ hat der Quotient den Wert 1, d. h. ${\displaystyle B(np+p-1\mid n,p)=B(np+p\mid n,p)}$.

Median

Es i​st nicht möglich, e​ine allgemeine Formel für d​en Median d​er Binomialverteilung anzugeben. Daher s​ind verschiedene Fälle z​u betrachten, d​ie einen geeigneten Median liefern:

• Ist ${\displaystyle np}$ eine natürliche Zahl, dann stimmen Erwartungswert, Median und Modus überein und sind gleich ${\displaystyle np}$.[6][7]
• Ein Median ${\displaystyle m}$ liegt im Intervall ${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$.[8] Hierbei bezeichnen ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ die Abrundungsfunktion und ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ die Aufrundungsfunktion.
• Ein Median ${\displaystyle m}$ kann nicht zu stark vom Erwartungswert abweichen: ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{\ln 2,\max\{p,1-p\}\}}$.[9]
• Der Median ist eindeutig und stimmt mit ${\displaystyle m=}$ round${\displaystyle (np)}$ überein, wenn entweder ${\displaystyle p\leq 1-\ln 2}$ oder ${\displaystyle p\geq \ln 2}$ oder ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{p,1-p\}}$ (außer wenn ${\displaystyle p=1/2}$ und ${\displaystyle n}$ gerade ist).[8][9]
• Ist ${\displaystyle p=1/2}$ und ${\displaystyle n}$ ungerade, so ist jede Zahl ${\displaystyle m}$ im Intervall ${\displaystyle 1/2(n-1)\leq m\leq 1/2(n+1)}$ ein Median der Binomialverteilung mit Parametern ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle n}$. Ist ${\displaystyle p=1/2}$ und ${\displaystyle n}$ gerade, so ist ${\displaystyle m=n/2}$ der eindeutige Median.

Kumulanten

Analog z​ur Bernoulli-Verteilung i​st die kumulantenerzeugende Funktion

${\displaystyle g_{X}(t)=n\ln(pe^{t}+q)}$.

Damit sind die ersten Kumulanten ${\displaystyle \kappa _{1}=np,\kappa _{2}=npq}$ und es gilt die Rekursionsgleichung

${\displaystyle \kappa _{k+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{k}}{dp}}.}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion h​at die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=\left(\left(1-p\right)+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}=\left(q+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}.}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für d​ie wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)=(ps+(1-p))^{n}.}$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion d​er Binomialverteilung lautet

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{X}(s)&=\operatorname {E} \left(e^{sX}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}\mathrm {e} ^{sk}\cdot {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\mathrm {e} ^{s}p)^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\left(p\cdot \mathrm {e} ^{s}+\left(1-p\right)\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Summe binomialverteilter Zufallsgrößen

Für die Summe ${\displaystyle Z=X+Y}$ zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsgrößen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle p}$ erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten durch Anwendung der Vandermondeschen Identität

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n_{1}}{i}}p^{i}(1-p)^{n_{1}-i}\right]\left[{\binom {n_{2}}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{n_{2}-k+i}\right]\\&={\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}\qquad (k=0,1,\dotsc ,n_{1}+n_{2}),\end{aligned}}}$

also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$ und ${\displaystyle p}$. Somit gilt für die Faltung

${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)*\operatorname {Bin} (m,p)=\operatorname {Bin} (n+m,p)}$

Die Binomialverteilung ist also reproduktiv für fixiertes ${\displaystyle p}$ bzw. bildet eine Faltungshalbgruppe.

Wenn die Summe ${\displaystyle Z=X+Y}$ bekannt ist, folgt jede der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ unter dieser Bedingung einer hypergeometrischen Verteilung. Dazu berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=\ell |Z=k)&={\frac {P(X=\ell \cap Z=k)}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell \cap Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell )P(Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{n_{1}-\ell }{\binom {n_{2}}{k-\ell }}p^{k-\ell }(1-p)^{n_{2}-k+\ell }}{{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}{\binom {n_{2}}{k-\ell }}}{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}}\\&=h(\ell ;n_{1}+n_{2};n_{1};k)\end{aligned}}}$

Dies stellt e​ine hypergeometrische Verteilung dar.

Allgemein gilt: Wenn die ${\displaystyle m}$ Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen ${\displaystyle B(n_{i},p)}$ genügen, dann ist auch die Summe ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{m}}$ binomialverteilt, jedoch mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\dotsb +n_{m}}$ und ${\displaystyle p}$. Addiert man binomialverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ mit ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$, dann erhält man eine verallgemeinerte Binomialverteilung.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Ein Spezialfall der Binomialverteilung für ${\displaystyle n=1}$ ist die Bernoulli-Verteilung. Die Summe von unabhängigen und identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt demnach der Binomialverteilung.

Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Binomialverteilung mit ${\displaystyle p_{i}=p_{j}}$ für alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}$. Genauer ist sie für festen Erwartungswert und feste Ordnung diejenige verallgemeinerte Binomialverteilung mit maximaler Entropie.[10]

Übergang zur Normalverteilung

Nach dem Satz von Moivre-Laplace konvergiert die Binomialverteilung im Grenzfall ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen eine Normalverteilung, d. h., die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist. Mit dem Galtonbrett kann man die Annäherung an die Normalverteilung experimentell nachempfinden.

Es gilt ${\displaystyle \mu =np}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=npq.}$ Durch Einsetzen in die Verteilungsfunktion ${\displaystyle \Phi }$ der Standardnormalverteilung folgt

${\displaystyle B(k\mid p,n)\approx \Phi \left({k+0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)-\ \Phi \left({k-0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)\approx {1 \over {\sqrt {npq}}}\cdot \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\cdot \ \exp \left(-{{(k-np)}^{2} \over 2npq}\right).}$

Wie zu sehen, ist das Ergebnis damit nichts anderes als der Funktionswert der Normalverteilung für ${\displaystyle x=k}$, ${\displaystyle \mu =n\cdot p}$ sowie ${\displaystyle \sigma ^{2}=n\cdot p\cdot q}$ (den man sich anschaulich auch als Flächeninhalt des ${\displaystyle k}$-ten Streifens des Histogramms der standardisierten Binomialverteilung mit ${\displaystyle 1/\sigma }$ als dessen Breite sowie ${\displaystyle \Phi ((k-\mu )/\sigma )}$ als dessen Höhe vorstellen kann).[11] Die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung wird bei der Normal-Approximation genutzt, um schnell die Wahrscheinlichkeit vieler Stufen der Binomialverteilung zu bestimmen, zumal dann, wenn für diese keine Tabellenwerte (mehr) vorliegen.

Übergang zur Poisson-Verteilung

Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung, deren Erwartungswert ${\displaystyle np}$ für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ und ${\displaystyle p\rightarrow 0}$ gegen eine Konstante ${\displaystyle \lambda }$ konvergiert, kann man durch die Poisson-Verteilung annähern. Der Wert ${\displaystyle \lambda }$ ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert. Diese Annäherung wird auch als Poisson-Approximation, Poissonscher Grenzwertsatz oder als das Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{aligned}B(k\mid p,n)&={n \choose k}p^{k}\,(1-p)^{n-k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {np}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&={\frac {n(n-1)(n-2)\dotsm (n-k+1)}{n^{k}}}\,{\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\dotsm \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right){\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {(np)}{n}}\right)^{n-k}\\&\to \,{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda },\quad {\text{wenn}}\quad n\to \infty \quad {\text{und}}\quad p\rightarrow 0\end{aligned}}}$

Eine Faustregel besagt, dass diese Näherung brauchbar ist, wenn ${\displaystyle n\geq 50}$ und ${\displaystyle p\leq 0{,}05}$.

Die Poisson-Verteilung ist also die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große ${\displaystyle n}$ und kleine ${\displaystyle p}$, es handelt sich hierbei um Konvergenz in Verteilung.

Beziehung zur geometrischen Verteilung

Die Zahl d​er Misserfolge b​is zum erstmaligen Eintritt e​ines Erfolgs w​ird durch d​ie geometrische Verteilung beschrieben.

Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung hingegen beschreibt d​ie Wahrscheinlichkeitsverteilung d​er Anzahl d​er Versuche, d​ie erforderlich sind, u​m in e​inem Bernoulli-Prozess e​ine vorgegebene Anzahl v​on Erfolgen z​u erzielen.

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung

Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder in die Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht in die Grundgesamtheit zurückgegeben, kommt die hypergeometrische Verteilung zur Anwendung. Die beiden Verteilungen gehen bei großem Umfang ${\displaystyle N}$ der Grundgesamtheit und geringem Umfang ${\displaystyle n}$ der Stichproben ineinander über. Als Faustregel gilt, dass für ${\displaystyle n/N\leq 0{,}05}$ auch bei Nichtzurücklegen der Stichproben die Binomialverteilung statt der mathematisch anspruchsvolleren hypergeometrischen Verteilung verwendet werden kann, da beide in diesem Fall nur unwesentlich voneinander abweichende Ergebnisse liefern.

Beziehung zur Multinomialverteilung

Die Binomialverteilung i​st ein Spezialfall d​er Multinomialverteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist ${\displaystyle Y}$ Binomialverteilt zum Parameter ${\displaystyle p=0{,}5}$ und ${\displaystyle n}$, so lässt sich ${\displaystyle Y}$ als skalierte Summe von ${\displaystyle n}$ Rademacher-verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ darstellen:

${\displaystyle Y=0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$

Dies wird insbesondere beim symmetrischen Random Walk auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ verwendet.

Beziehung zur Panjer-Verteilung

Die Binomialverteilung i​st ein Spezialfall d​er Panjer-Verteilung, welche d​ie Verteilungen Binomialverteilung, Negative Binomialverteilung u​nd Poisson-Verteilung i​n einer Verteilungsklasse vereint.

Beziehung zur Betaverteilung

Für v​iele Anwendungen i​st es nötig, d​ie Verteilungsfunktion

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}B(i\mid p,n)}$

konkret auszurechnen (beispielsweise b​ei statistischen Tests o​der für Konfidenzintervalle).

Hier h​ilft die folgende Beziehung z​ur Betaverteilung:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}=\operatorname {Beta} (1-p;n-k;k+1)}$

Diese lautet für ganzzahlige positive Parameter ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle \operatorname {Beta} (x;a;b)={(a+b-1)! \over (a-1)!\cdot (b-1)!}\int _{0}^{x}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,\mathrm {d} u}$

Um d​ie Gleichung

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}={n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\int _{0}^{1-p}u^{n-k-1}(1-u)^{k}\,\mathrm {d} u}$

zu beweisen, k​ann man folgendermaßen vorgehen:

• Die linke und rechte Seite stimmen für ${\displaystyle p=0}$ überein (beide Seiten sind gleich 1).
• Die Ableitungen nach ${\displaystyle p}$ stimmen für die linke und rechte Seite der Gleichung überein, sie sind nämlich beide gleich ${\displaystyle -{n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k-1}}$.

Beziehung zur Beta-Binomialverteilung

Eine Binomialverteilung, deren Parameter ${\displaystyle p}$ Beta-verteilt ist, nennt man eine Beta-Binomialverteilung. Sie ist eine Mischverteilung.

Beziehung zur Pólya-Verteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung (wähle ${\displaystyle c=0}$).

Beispiele

Symmetrische Binomialverteilung (p = 1/2)

• 
  p = 0,5 und n = 4, 16, 64
• 
  Mittelwert abgezogen
• 
  Skalierung mit Standardabweichung

Dieser Fall tritt auf beim ${\displaystyle n}$-fachen Münzwurf mit einer fairen Münze (Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich der für Zahl, also gleich 1/2). Die erste Abbildung zeigt die Binomialverteilung für ${\displaystyle p=0{,}5}$ und für verschiedene Werte von ${\displaystyle n}$ als Funktion von ${\displaystyle k}$. Diese Binomialverteilungen sind spiegelsymmetrisch um den Wert ${\displaystyle k=n/2}$:

Binomialverteilungen mit p = 0,5 (mit Verschiebung um −n/2 und Skalierung) für n = 4, 6, 8, 12, 16, 23, 32, 46

Die gleichen Daten in halblogarithmischer Auftragung

${\displaystyle B(k\mid 1/2;n)=B(n-k\mid 1/2;n)}$

Dies ist in der zweiten Abbildung veranschaulicht. Die Breite der Verteilung wächst proportional zur Standardabweichung ${\displaystyle \sigma ={\frac {\sqrt {n}}{2}}}$. Der Funktionswert bei ${\displaystyle k=n/2}$, also das Maximum der Kurve, sinkt proportional zu ${\displaystyle \sigma }$.

Dementsprechend kann man Binomialverteilungen mit unterschiedlichem ${\displaystyle n}$ aufeinander skalieren, indem man die Abszisse ${\displaystyle k-n/2}$ durch ${\displaystyle \sigma }$ teilt und die Ordinate mit ${\displaystyle \sigma }$ multipliziert (dritte Abbildung oben).

Die nebenstehende Graphik zeigt noch einmal reskalierte Binomialverteilungen, nun für andere Werte von ${\displaystyle n}$ und in einer Auftragung, die besser verdeutlicht, dass sämtliche Funktionswerte mit steigendem ${\displaystyle n}$ gegen eine gemeinsame Kurve konvergieren. Indem man die Stirling-Formel auf die Binomialkoeffizienten anwendet, erkennt man, dass diese Kurve (im Bild schwarz durchgezogen) eine Gaußsche Glockenkurve ist:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\mathrm {e} }^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$.

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zur Standardnormalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$. Im zentralen Grenzwertsatz wird dieser Befund so verallgemeinert, dass auch Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren.

Die zweite nebenstehende Graphik z​eigt die gleichen Daten i​n einer halblogarithmischen Auftragung. Dies i​st dann z​u empfehlen, w​enn man überprüfen möchte, o​b auch seltene Ereignisse, d​ie um mehrere Standardabweichungen v​om Erwartungswert abweichen, e​iner Binomial- o​der Normalverteilung folgen.

Ziehen von Kugeln

In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, bei allen Entnahmen gleich groß, und zwar 16/80 = 1/5. Der Wert ${\displaystyle B\left(k\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)}$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau ${\displaystyle k}$ der entnommenen Kugeln gelb sind. Als Beispiel rechnen wir ${\displaystyle k=3}$:

${\displaystyle B\left(3\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)={\binom {5}{3}}\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{2}={\frac {5\cdot 4}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{125}}\cdot {\frac {16}{25}}={\frac {64}{1250}}=0{,}0512}$

In ungefähr 5 % d​er Fälle z​ieht man a​lso genau 3 g​elbe Kugeln.

B(k | 0,2; 5)
k	Wahrscheinlichkeit in %
0	0032,768
1	0040,96
2	0020,48
3	0005,12
4	0000,64
5	0000,032
∑	0100
Erw.Wert	0001
Varianz	0000.8

Anzahl der Personen mit Geburtstag am Wochenende

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat, betrage (der Einfachheit halber) 2/7. In einem Raum halten sich 10 Personen auf. Der Wert ${\displaystyle B(k\mid 2/7;10)}$ gibt (im vereinfachten Modell) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau ${\displaystyle k}$ der Anwesenden in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben.

B(k | 2/7; 10)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	0003,46
1	0013,83
2	0024,89
3	0026,55
4	0018,59
5	0008,92
6	0002,97
7	0000,6797
8	0000,1020
9	0000,009063
10	0000,0003625
∑	0100
Erw.Wert	0002,86
Varianz	0002,04

Gemeinsamer Geburtstag im Jahr

253 Personen sind zusammengekommen. Der Wert ${\displaystyle B(k\mid 1/365;253)}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau ${\displaystyle k}$ Anwesende an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag haben (ohne Beachtung des Jahrganges).

B(k | 1/365; 253)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	049,95
1	034,72
2	012,02
3	002,76
4	000,47

Die Wahrscheinlichkeit, dass „irgendjemand“ dieser 253 Personen, d. h. eine oder mehrere Personen, an diesem Tag Geburtstag hat, beträgt somit ${\displaystyle 1-B(0\mid 1/365;253)=50.05\,\%}$.

Bei 252 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-B(0\mid 1/365;252)=49.91\,\%}$. Das heißt, die Schwelle der Anzahl von Personen, ab der die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Personen an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag hat, größer als 50 % wird, beträgt 253 Personen (siehe dazu auch Geburtstagsparadoxon).

Die direkte Berechnung der Binomialverteilung kann aufgrund der großen Fakultäten schwierig sein. Eine Näherung über die Poisson-Verteilung ist hier zulässig (${\displaystyle n>50,p<0{,}05}$). Mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda =np=253/365}$ ergeben sich folgende Werte:[12]

P253/365(k)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	050
1	034,66
2	012,01
3	002,78
4	000,48

Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit

In einer Meinungsumfrage unter ${\displaystyle n}$ Personen geben ${\displaystyle k}$ Personen an, die Partei A zu wählen. Bestimme ein 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Wähler, die Partei A wählen, in der Gesamtwählerschaft.

Eine Lösung d​es Problems ohne Rückgriff a​uf die Normalverteilung findet s​ich im Artikel Konfidenzintervall für d​ie Erfolgswahrscheinlichkeit d​er Binomialverteilung.

Auslastungsmodell

Mittels folgender Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass ${\displaystyle k}$ von ${\displaystyle n}$ Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich ${\displaystyle m}$ Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.

${\displaystyle P(X=k)={n \choose k}\cdot \left({\frac {m}{60}}\right)^{k}\cdot \left(1-{\frac {m}{60}}\right)^{n-k}}$

Statistischer Fehler der Klassenhäufigkeit in Histogrammen

Die Darstellung unabhängiger Messergebnisse i​n einem Histogramm führt z​ur Gruppierung d​er Messwerte i​n Klassen.

Die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle n_{i}}$ Einträge in Klasse ${\displaystyle i}$ ist gegeben durch die Binomialverteilung

${\displaystyle B_{n,p_{i}}(n_{i})}$ mit ${\displaystyle n=\sum n_{i}}$ und ${\displaystyle p_{i}={\frac {n_{i}}{n}}}$.

Erwartungswert und Varianz der ${\displaystyle n_{i}}$ sind dann

${\displaystyle E(n_{i})=np_{i}=n_{i}}$ und ${\displaystyle V(n_{i})=np_{i}(1-p_{i})=n_{i}\left(1-{\frac {n_{i}}{n}}\right)}$.

Damit liegt der statistische Fehler der Anzahl von Einträgen in Klasse ${\displaystyle i}$ bei

${\displaystyle \sigma (n_{i})={\sqrt {n_{i}\left(1-{\frac {n_{i}}{n}}\right)}}}$.

Bei großer Zahl von Klassen wird ${\displaystyle p_{i}}$ klein und ${\displaystyle \sigma (n_{i})\approx {\sqrt {n_{i}}}}$.

So lässt s​ich beispielsweise d​ie statistische Genauigkeit v​on Monte-Carlo-Simulationen bestimmen.

Zufallszahlen

Zufallszahlen z​ur Binomialverteilung werden üblicherweise m​it Hilfe d​er Inversionsmethode erzeugt.

Alternativ kann man auch ausnutzen, dass die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen binomialverteilt ist. Dazu erzeugt man ${\displaystyle n}$ Bernoulli-verteilte Zufallszahlen und summiert sie auf; das Ergebnis ist eine binomialverteilte Zufallszahl.

Bezeichnungen

Der Aufruf d​er Wahrscheinlichkeitsfunktion d​er Binomialverteilung b​ei Taschenrechnern u​nd Mathematischer Software geschieht meistens m​it binom, pdfbin o​der Binomialpdf (Binomial probability density function). Die kumulierte Verteilungsfunktion w​ird mit cdfbin o​der Binomialcdf (Binomial cumulative distribution function) abgekürzt.[13]

Weblinks

• Bernoulli-Versuche und Binomialverteilung
• Rechner für einfache und kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
• Berechnung der Binomialverteilung für einfache und kumulierte Wahrscheinlichkeiten (englisch)
• Umfangreiches Tabellenwerk (PDF; 10 MB)
• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)
• Interaktive Simulation Münzwurf – inkl. Aufgabenstellungen (HTML5 ohne Plugin)
• Interaktive Animation – Universität Konstanz (Java-Plugin benötigt)
• Interaktive Animation (Flash-Plugin benötigt)
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics – Kees Verduin.

Einzelnachweise

1. Peter Kissel: MAC08 Stochastik (Teil 2). Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 12.
2. Bigalke, Köhler: Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs. Cornelsen, Berlin 2000, S. 130.
3. George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Griffin, London 1911, S. 287.
4. Peter Kissel: MAC08 Stochastik. Teil 2. Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 23.
5. Bigalke,/ Köhler: Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs. Cornelsen, Berlin 2000, S. 144 ff.
6. P. Neumann: Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. In: Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden. 19, 1966, S. 29–33.
7. Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331–332.
8. R. Kaas, J.M. Buhrman: Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. In: Statistica Neerlandica. 34, Nr. 1, 1980, S. 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x.
9. K. Hamza: The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. In: Statistics & Probability Letters. 23, 1995, S. 21–25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U.
10. Peter Harremoës: Binomial and Poisson Distributions as Maximum Entropy Distributions. In: IEEE Information Theory Society (Hrsg.): IEEE Transactions on Information Theory. 47, 2001, S. 2039–2041. doi:10.1109/18.930936.
11. M. Brokate, N. Henze, F. Hettlich, A. Meister, G. Schranz-Kirlinger, Th. Sonar: Grundwissen Mathematikstudium: Höhere Analysis, Numerik und Stochastik. Springer-Verlag, 2015, S. 890.
12. Im konkreten Fall muss man für die Binomialverteilung ${\displaystyle \left({\tfrac {364}{365}}\right)^{253}}$ ausrechnen und für die Poisson-Verteilung ${\displaystyle e^{-253/365}}$. Beides ist mit dem Taschenrechner einfach. Bei einer Rechnung mit Papier und Bleistift benötigt man mit der Exponentialreihe 8 oder 9 Glieder für den Wert der Poisson-Verteilung, während man für die Binomialverteilung durch mehrfaches Quadrieren auf die 256. Potenz kommt und dann noch durch die dritte Potenz teilt.
13. Scilab Online Help - Statistics. Abgerufen am 13. Januar 2022.