Holomorphe Funktion

In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von altgriechisch ὅλος holos „ganz, vollständig“ und μορφή morphē „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich ${\displaystyle U}$ heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist. Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.

Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ in sein Abbild übergeführt. Obwohl sich das Gitter unter der Abbildung verdreht, bleiben die rechten Winkel zwischen den abgebildeten Linienpaaren erhalten. Eine wesentliche Eigenschaft der Holomorphie ist ihre Winkeltreue.

Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs ${\displaystyle U}$ können für holomorphe Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$, wobei ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift ${\displaystyle z\mapsto f(z)}$ in der Nähe jedes Wertes ${\displaystyle w}$ ihres Definitionsbereichs ${\displaystyle U}$ sehr gut durch die lineare Funktion ${\displaystyle z\mapsto f(w)+f'(w)(z-w)}$ angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol ${\displaystyle f'(w)}$ bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle w}$. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem Entwicklungspunkt, benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen.

Hintergrund d​er Begriffsstärke d​er Holomorphie ist, d​ass die Differenzierbarkeit i​m Komplexen a​uf einer offenen „Fläche“ s​tatt nur e​inem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen b​eim Grenzübergang z​um Differentialquotienten unendlich v​iele Richtungen (alle Kombinationen a​us Nord, Ost, West u​nd Süd) betrachtet werden – e​ine höhere Anforderung a​ls nur d​ie beiden Richtungen „positiv“ u​nd „negativ“ a​uf dem reellen Zahlenstrahl. Im Laufe d​es 19. u​nd 20. Jahrhunderts w​urde darauf aufbauend i​m Rahmen d​er Funktionentheorie e​in eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe w​ie Ableitung, Differenzenquotient u​nd Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften z​um Tragen. Dies betrifft d​as Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken i​n der Integrationstheorie o​der auch d​as Konvergenzverhalten v​on Funktionenfolgen.

In vielen Teilgebieten d​er Mathematik bedient m​an sich d​er starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, u​m Probleme z​u lösen. Beispiele s​ind die analytische Zahlentheorie, i​n der über holomorphe Funktionen a​uf Zahlen rückgeschlossen wird, s​owie die komplexe Geometrie o​der auch d​ie theoretische Physik. Besonders i​m Rahmen d​er Theorie d​er Modulformen nehmen holomorphe Funktionen e​ine wichtige Position ein, w​obei tiefe Verbindungen z​ur Darstellungstheorie u​nd zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich z​wei Millennium-Probleme d​er Mathematik, d​ie Vermutung v​on Birch u​nd Swinnerton-Dyer u​nd die Riemannsche Vermutung, drehen s​ich um d​as Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen.

Einführung

Komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung ${\displaystyle x^{2}+1=0}$. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl ${\displaystyle i}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle i^{2}=-1}$ hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.

Die komplexen Zahlen spannen eine Ebene auf. Dabei existiert die „reelle Richtung“ (Achsenbeschriftung: Re) und die „imaginäre Richtung“ (Achsenbeschriftung: Im).

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl ${\displaystyle z}$ ist von der Form ${\displaystyle z=x+iy}$ mit reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$. Geht man ${\displaystyle x}$ Schritte in „reelle Richtung“ und ${\displaystyle y}$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl ${\displaystyle x+iy}$ mit dem Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird ${\displaystyle x}$ als Realteil und ${\displaystyle y}$ als Imaginärteil von ${\displaystyle z}$ bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel ${\displaystyle i^{2}=-1}$ vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel ${\displaystyle (-3+2i)+(4+10i)=1+12i}$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}$

Dabei entsteht der Term ${\displaystyle -bd}$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt ${\displaystyle bidi}$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

${\displaystyle {\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.}$

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , genau wie die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, einen Körper bilden.

Komplexe Funktionen

→ Hauptartikel: Komplexe Funktion

Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus ${\displaystyle M}$ genau ein Element in ${\displaystyle N}$ zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$.

Schaubild der reellen Vorschrift ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

Reelle Funktionen induzieren Tabellendaten der Form ${\displaystyle (x,f(x))}$, wobei die Eingabewerte ${\displaystyle x}$ den Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle f(x)}$ in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte ${\displaystyle 0<x<1}$ aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen ${\displaystyle (x,f(x))}$ zu Punkten ${\displaystyle (x,y)}$ in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.

Für komplexe Funktionen i​st die Situation anders. Hier i​st bereits d​er Eingangsbereich e​ine Fläche. Von d​aher müsste e​in Schaubild n​ach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, w​as nicht verständlich darstellbar ist.[1] Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient s​ich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl w​ird je n​ach „Himmelsrichtung“ e​ine Farbe zugeordnet, w​obei der Ursprung, a​lso die Null, d​en Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich w​ird mit d​er Helligkeit d​es Farbtons d​ie Größe i​m Sinne d​es Abstands z​um Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ n​ahe bei Null, u​nd „hell“ n​ahe bei „Unendlich“.

• 
  Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung ${\displaystyle z\mapsto z}$. In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind.
• 
  Schaubild der komplexen Quadratfunktion. Im Zentrum ist ihr Wert 0. Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der reellen Achse, rote Werte an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ.
• 
  Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion. Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer, das Schaubild also heller, und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also dunkler. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion.

Die Darstellung komplexer Funktionen d​urch Kolorierung i​st besonders z​ur Hervorhebung v​on Null- o​der Polstellen, s​owie anderer Singularitäten e​iner Funktion, üblich.[2] Die Software Wolfram Mathematica bietet s​eit Version 12 e​in entsprechendes Werkzeug an.[3]

Im Englischen trägt e​ine solche Art d​er Visualisierung d​ie Bezeichnung domain coloring. Diese w​urde von Frank Farris geprägt.[4] Es g​ab viele frühere Verwendungen v​on Farbe z​ur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise d​ie Zuordnung v​on Argumenten (Phasen) z​u Farbtönen.[5] Larry Crone verwendete d​ie Methode i​n den späten 1980er Jahren.[6] Die Technik d​er Verwendung kontinuierlicher Farbe z​ur Abbildung v​on Punkten d​es Definitionsbereiches i​n die Zielmenge w​urde 1999 v​on George Abdo u​nd Paul Godfrey verwendet, u​nd farbige Raster wurden i​n Grafiken v​on Doug Arnold benutzt, d​ie er a​uf 1997 datiert.[7] Menschen, d​ie farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme z​u interpretieren, w​enn sie m​it Standard-Farbkarten erstellt werden.[8] Dieses Problem k​ann möglicherweise d​urch die Erstellung alternativer Versionen u​nter Verwendung v​on Farbkarten behoben werden, d​ie in d​en Farbraum passen, d​er für Menschen m​it Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel k​ann eine Farbkarte, d​ie auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen m​it vollständiger Deuteranopie besser lesbar s​ein als d​as herkömmliche Schaubild, d​as auf Blau/Grün/Rot basiert.[9]

Von reeller zu komplexer Differenzierbarkeit

→ Hauptartikel: Differentialrechnung

Im Reellen kann man sich im Differenzenquotienten nur von zwei Seiten nähern: Eine Zahl ungleich ${\displaystyle x_{0}}$ liegt entweder links oder rechts von ${\displaystyle x_{0}}$ auf der Zahlengeraden. In dieser Graphik wird die Annäherung von rechts illustriert.

Da m​it komplexen Zahlen i​m Wesentlichen g​enau wie m​it reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt s​ich die Frage, inwieweit s​ich die reelle Analysis, m​it Begriffen w​ie Funktionen, Ableitung o​der auch Integral, a​uf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.

Im Reellen ist eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ in einem Punkt ${\displaystyle a}$ differenzierbar, wenn sie dort linearisiert werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um ${\displaystyle a}$ herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion ${\displaystyle x\mapsto m(x-a)+c}$ verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte ${\displaystyle h}$ die Approximation ${\displaystyle f(a+h)\approx mh+c}$, wobei man mit ${\displaystyle h=0}$ auch ${\displaystyle c=f(a)}$ erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich“ und „Approximation“ präzise zu fassen, bedient man sich des Konzepts des Grenzwertes. Demnach ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a}$ genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)}$

existiert, der auch als Ableitung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle a}$ bezeichnet wird. Da bei der Berechnung dieses Quotienten nur die Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division verwendet werden, stellt sich die Frage nach einem Analogon im Komplexen. Da die komplexen Zahlen diese Rechnungen auch zulassen, kann die Bedingung

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=:f'(c)\,\,\,}$ existiert

eins zu eins übernommen werden. Der entscheidende Unterschied ist hier aber, dass bei der Berechnung des komplexen Differenzenquotienten das kleiner werdende ${\displaystyle h}$ eine komplexe Zahl sein kann. Es kann sich also aus jeder Richtung in der komplexen Ebene genähert werden. Im Gegensatz dazu sind im Reellen nur endlich viele, nämlich zwei, Richtungen möglich, von links (${\displaystyle h<0}$) und von rechts (${\displaystyle h>0}$).

Für das Verständnis der komplexen Differenzierbarkeit ist essentiell, den Definitionsbereich der komplexen Funktion auch geometrisch wahrzunehmen. Eingabewerte in die Funktion sind somit nicht bloß komplexe Zahlen, sondern auch Punkte einer Ebene. Auf dieser Ebene ist ein Abstandsbegriff definiert, also können Punkte „nah“ und „weit weg“ zu anderen Punkten liegen. Erst diese Vorstellung erlaubt die Formulierung des für die Differenzierbarkeit essentiellen Lokalitätsbegriffs: Eine in einem Punkt ${\displaystyle c}$ komplex differenzierbare Funktion sieht an Punkten sehr nahe zu ${\displaystyle c}$ einer linearen Funktion „sehr ähnlich“. Genau diese Aussage wird durch den Differentialquotienten analytisch präzisiert. Nach Umformung des Differentialquotienten erhält man

${\displaystyle f(c+h)\approx f'(c)h+f(c),}$

wobei der Fehler in dieser Annäherung „viel kleiner“ ist als der „kleine“ Wert ${\displaystyle h}$.

Zum Holomorphiebegriff

Ist eine komplexe Funktion ${\displaystyle f}$ in ihrem Definitionsbereich holomorph, bedeutet dies, dass sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist. Wegen der ohnehin restriktiveren Bedingung der komplexen (statt nur reellen) Differenzierbarkeit, gepaart mit deren Gültigkeit für alle Punkte auf einer Fläche statt nur eines Intervalls (einer Linie), ist die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft.

Analytische Motivation

Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei. In Kurzform: ${\displaystyle \textstyle z\mapsto {\frac {1}{3}}(2z+1)^{2}}$. Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn Änderungsraten bei Naturgesetzen oder Bilanzen in der Wirtschaft erstellt werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt. Phänomene wie die Holomorphie besagen nun, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen deutlich verständlicheren Funktionen sehr stark ähneln. Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine holomorphe Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie ${\displaystyle z+2}$, ${\displaystyle z^{3}-4z^{2}+3z-1}$ und ganz allgemein

${\displaystyle a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Eine holomorphe Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Holomorphie ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte ${\displaystyle z^{n}}$-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also holomorphe Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$, also

${\displaystyle f(z):=3+z+4z^{2}+z^{3}+5z^{4}+9z^{5}+2z^{6}+6z^{7}+\cdots ,}$

so gilt

${\displaystyle f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .}$

Für Werte ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{10}}}$ wird dann ${\displaystyle f(z)}$ „erst recht“ endlich sein. Dabei bezeichnet ${\displaystyle |z|}$ die Euklidische Länge der Zahl ${\displaystyle z}$ in der Ebene, was dem Abstand zum Punkt 0 entspricht. Diesem Gedanken folgend kann man zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Kreisscheiben konvergieren. Dennoch kann es sein, dass im Falle der Potenzreihen nicht immer Holomorphie auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vorliegt. Ein Beispiel ist die Funktion ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{1-z}}}$, die an der Stelle ${\displaystyle z=1}$ nicht komplex differenzierbar (ja nicht mal definiert) ist. Jedoch liegt Holomorphie im Bereich aller ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$ vor, und es gilt mit der geometrischen Reihe

${\displaystyle 1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}.}$

Demnach i​st Holomorphie s​tets zunächst n​ur eine lokale Eigenschaft.

Es folgen einige Beispiele für holomorphe Funktionen.

Sinus und Kosinus bilden die Länge eines Kreisbogens auf die Länge zweier gradliniger Lote ab. Zu beachten ist, dass die Kreisbogenlänge x eigentlich der krummen „Strecke“ zwischen den Punkten A und D entspricht, denn wegen der Wahl Radius = r = 1 beträgt der volle Kreisumfang ${\displaystyle 2\pi }$ Längeneinheiten, was auch im dimensionslosen Maß genau 360 Grad entspricht. In der Graphik wurde die gebräuchliche, aber hier irreführende, Konvention des Winkels x verwendet.

• Eine in der Schule behandelte Funktion, die sich im Allgemeinen nicht durch nur endlichfache Anwendung der vier Grundrechenarten berechnen lässt, ist der Sinus, also die Vorschrift ${\displaystyle z\mapsto \sin(z)}$. Hier wird die Vorschrift im Reellen zunächst nicht über eine Zahlenrechnung, sondern geometrisch erklärt. Zur Länge eines Kreisbogens soll die zugehörige gerade Strecke gefunden werden, die den Endpunkt des Bogens mit der Grundachse verbindet, analog beim Kosinus (siehe Bild). Alle betrachteten Strecken haben Längen, im Verhältnis zur Einheit dimensionslos, also entspricht dies einer Abbildung von Zahlen auf Zahlen. Krumme Kreislinien („komplizierte Strecken“) werden auf ungleich lange gerade Linien („einfache Strecken“) abgebildet, was vermuten lässt, dass sich diese Umrechnung nicht in einfacher Weise mit den vier Grundrechenarten darstellen lässt. Es zeigt sich jedoch, dass der Sinus eine holomorphe Funktion ist, weshalb eine Annäherung durch einfache Terme möglich ist. Es gilt zum Beispiel für sehr kleine Werte von ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sin(z)\approx z-{\frac {z^{3}}{6}}.}$

Dies entspricht einem „Studium“ der Sinusfunktion in oben erklärtem Sinne, da die komplizierte Sinusfunktion durch eine einfache Abbildung ${\displaystyle \textstyle z\mapsto z-{\frac {z^{3}}{6}}}$ angenähert wurde. Dabei war der Entwicklungspunkt 0, in der Tat ist wegen ${\displaystyle \sin(0)=0}$ die Annäherung hier perfekt, doch auch für umliegende Werte ist sie brauchbar. Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle \sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots }$ und ${\displaystyle \textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots }$. Für eine exakte Berechnung erhält man für den Sinus

${\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{5}}{120}}-{\frac {z^{7}}{5040}}+{\frac {z^{9}}{362880}}-{\frac {z^{11}}{39916800}}+{\frac {z^{13}}{6227020800}}-{\frac {z^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

wobei ${\displaystyle$ !} die Fakultät bezeichnet und ${\displaystyle \Sigma }$ das Summenzeichen. Die Formel erweitert sich auf alle komplexen Zahlen und setzt den Sinus dort als Funktion fort, wobei dort keine geometrische Interpretation über Dreiecke mehr zur Verfügung steht.

• Für das lokale Verständnis holomorpher Funktionen werden Polynome herangezogen, jedoch ist die Frage entscheidend, wie man auf die Koeffizienten dieser Polynome schließt, also auf die Zahlen vor den Termen ${\displaystyle z^{n}}$. Dafür werden die komplexen Ableitungen der Funktionen am Entwicklungspunkt benötigt. Genau gesagt gilt eine Formel, die in der Mathematik Taylorreihe genannt wird:

${\displaystyle f(z)=f(c)+f'(c)(z-c)+{\frac {f''(c)}{2}}(z-c)^{2}+{\frac {f'''(c)}{6}}(z-c)^{3}+\cdots }$

Hier ist ${\displaystyle z}$ eine Zahl, die nahe am Entwicklungspunkt ${\displaystyle c}$ liegen sollte. Dies lässt sich zum Beispiel an der Wurzelfunktion ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ demonstrieren, etwa um den Punkt ${\displaystyle c=25}$. Diese ist dort holomorph, man hat die Ableitungen ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {z}})'={\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}}$ und ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {z}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {z}}^{3}}}}$. Also gilt mit der Taylor-Formel die Approximation

${\displaystyle {\sqrt {z}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(z-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(z-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(z-25)-{\frac {1}{1000}}(z-25)^{2}}$

für komplexe Zahlen ${\displaystyle z}$, die nahe an ${\displaystyle 25}$ liegen. Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(z-25)-{\tfrac {1}{1000}}(z-25)^{2}}$ auf der rechten Seite kann, wie oben, durch Anwendung nur der vier Grundrechenarten schnell berechnet werden. Er stimmt nach Einsetzen von ${\displaystyle z=25}$ exakt mit dem Funktionswert ${\displaystyle 5}$ überein, doch auch in der näheren Umgebung von ${\displaystyle 25}$ ist die Annäherung noch sehr genau. Man hat etwa

${\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099}$

und es gilt für den exakten Wert ${\displaystyle {\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots }$. Da Holomorphie eine Eigenschaft komplexer Funktionen ist, gilt die Annäherung auch für nicht-reelle Zahlen in der Nähe von 25. Für ${\displaystyle 25+0{,}4i}$ erhält man zum Beispiel ${\displaystyle 5{,}00016+0{,}04i}$ als Näherung für ${\displaystyle {\sqrt {25+0{,}4i}}}$, und es gilt rückwirkend ${\displaystyle (5{,}00016+0{,}04i)^{2}=25{,}0000000256+0{,}4000128i}$.

Bedeutung

Die Stärke d​es Holomorphiebegriffs stützt s​ich auf folgende Säulen.

• Einfache Handhabung der Taylorpolynome: Durch die Eigenschaft einer holomorphen Funktion, durch Polynome, also Summen von Termen ${\displaystyle z^{n}}$, lokal beliebig gut angenähert werden zu können, ist das Betreiben von Analysis für diesen Funktionstyp besonders einfach. So können etwa sowohl Ableitungen als auch Stammfunktionen der einzelnen Ausdrücke ${\displaystyle z^{n}}$ schnell bestimmt werden. Weiß man, dass ${\displaystyle nz^{n-1}}$ die Ableitung von ${\displaystyle z^{n}}$ ist, so kann man aus ${\displaystyle 1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}}$ bereits ${\displaystyle 1+2z+3z^{2}+4z^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1-z)^{2}}}}$ folgern.

Dies ermöglicht es, komplizierte Ableitungen oder Stammfunktionen erneut durch Polynome anzunähern und lokal zu beschreiben.

• Jede Ableitung ist holomorph: Ist eine Funktion holomorph, so auch wieder ihre komplexe Ableitungsfunktion. Wie in einer Kettenreaktion kann gefolgert werden, dass jede holomorphe Funktion bereits unendlich oft komplex differenzierbar ist. Zu dieser Aussage gibt es im Reellen überhaupt keine Entsprechung. So gibt es etwa reelle Funktionen, die zweimal, aber nicht dreimal differenzierbar sind.
• Gleichmäßige Approximation: Die lokale Approximation durch die Polynome erfolgt nicht „willkürlich“, sondern gleichmäßig. Zum Beispiel soll eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ auf einer Kreisfläche inklusive Rand bis auf einen Fehler von ${\displaystyle 0{,}001}$ durch Polynome ${\displaystyle p}$ angenähert werden. Es soll also ${\displaystyle |f(z)-p(z)|<0{,}001}$ gelten. Nach Abbruch einer gewissen Schranke im Grad des Polynoms gilt dann für jeden Wert ${\displaystyle z}$ aus der Kreisfläche ${\displaystyle |f(z)-p(z)|<0{,}001}$. Die Annäherung vollzieht sich also nicht unkontrolliert, sondern breitet sich mit „gleicher Geschwindigkeit“ auf Flächen aus. Die untere Bildserie illustriert diese Gleichmäßigkeit bei der Approximation des Sinus um den Nullpunkt anhand seiner Taylorpolynome ${\displaystyle \textstyle p_{k}(z):=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}.}$ Bereits im Fall ${\displaystyle p_{0}(z)}$ ist um die Null (schwarzer Punkt im Zentrum) eine lokale Ähnlichkeit zu sehen. Erkennbar ist dies an der Farbverteilung und Intensität, die um das Zentrum herum ${\displaystyle \sin(z)}$ (ganz linkes Bild) sehr ähnelt, etwa „gelb in Nord-Ost“.

• 
  Komplexer Graph der Sinusfunktion
• 
  ${\displaystyle p_{0}(z)=z}$
• 
  ${\displaystyle p_{1}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}}$
• 
  ${\displaystyle p_{2}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}+{\tfrac {z^{5}}{120}}}$
• 
  ${\displaystyle p_{3}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{4}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{5}(z)}$
• 
  ${\displaystyle p_{6}(z)}$

Zu beachten ist, dass der ausgesuchte Fehler immer größer als 0 sein muss und die Approximation in der Nähe des Entwicklungspunktes grundsätzlich besser ist. Diese Eigenschaft der gleichmäßigen Konvergenz ist in der Mathematik enorm nützlich. Sie erlaubt es zum Beispiel, dass es bei der Ausführung nichttrivialer Prozesse, wie Ableiten, Integrieren oder unendliches Summieren holomorpher Funktionen, die Reihenfolge vertauscht werden darf. Im Falle unendlich vieler Terme ist dies mathematisch nicht trivial. Beispielsweise erhält man unter Kenntnis der Stammfunktionen ${\displaystyle {\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}}$ von ${\displaystyle z^{n}}$ für die Logarithmusfunktion ${\displaystyle \textstyle -\log(1-z)=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z}$:

${\displaystyle \int \!\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \right)\,\mathrm {d} z=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z{\overset {(*)}{\implies }}z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots =-\log(1-z).}$

Aus der geometrischen Reihe kann also die Taylorreihe der Logarithmusfunktion in der Nähe von 1 bestimmt werden. In der Umformung ${\displaystyle (*)}$ wurde der Prozess „die Summe wird integriert“ durch „die integrierten Terme werden summiert“, ersetzt. Dies entspricht der Vertauschung ${\displaystyle \textstyle \int (1+z+z^{2}+\cdots )=\int 1+\int z+\int z^{2}+\cdots }$, was wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Taylorreihe aber erlaubt ist.

In wegzusammenhängenden Definitionsbereichen reicht es aus, eine holomorphe Funktion in abzählbar unendlich vielen Punkten um ein „Ballungszentrum“ zu kennen, um die Funktion an allen Orten zu bestimmen

• Wenige Daten reichen aus: Die Regel, dass zwei Punkte eine „Gerade“, also eine lineare Funktion ${\displaystyle z\mapsto az+b}$ eindeutig bestimmen, gilt auch im Komplexen. Weiter sind es drei Punkte für quadratische Funktionen, vier Punkte für kubische Funktionen, und so weiter. Da holomorphe Funktionen lokal wie „unendlich lange Polynome“ aussehen, besagt dies heuristisch, dass auch hier „verhältnismäßig wenige“ Funktionswerte ausreichen sollten, die Funktion eindeutig zu charakterisieren. Stimmen zwei holomorphe Funktionen auf einer Menge von Zahlen ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\dots ,z_{n},\dots }$ überein, die sich einer Zahl ${\displaystyle z_{\infty }}$ beliebig stark annähern, und gilt auch Gleichheit in ${\displaystyle z_{\infty }}$, dann sind diese schon lokal identisch. Sie sehen also um den Punkt ${\displaystyle z_{\infty }}$ herum absolut gleich aus. Die Bedingung der Übereinstimmung in unendlich vielen Zahlen wirkt zunächst schwach, es ist jedoch zu beachten, dass es möglich ist, diese Stellen wie ${\displaystyle 1,2,3,4,\dots }$ aufzulisten. Im Gegensatz dazu kann der Definitionsbereich einer holomorphen Funktion niemals aufgelistet werden, da es sich dabei um zu viele Zahlen handelt. Dazu müssen zwei verschiedene Unendlichkeitsstufen unterschieden werden, nämlich Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit. Besonders in Definitionsbereichen, in denen es möglich ist, jeden Punkt durch einen Weg „zu Fuß zu erreichen“, ohne dabei die Fläche zu verlassen, entpuppt sich Holomorphie als sehr stark. Hier genügt die Kenntnis der Funktion in einem lokalen „Ballungsraum“ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dotsc \to z_{\infty }}$, um die Funktion im gesamten Bereich eindeutig zu charakterisieren. Würde eine Funktion etwa jedem Punkt des deutschen Festlandes – hier kann man zu Fuß jeden Ort von jedem Startpunkt aus erreichen, ohne Deutschland zu verlassen – einen komplexen Wert zuordnen, und wäre diese überall holomorph, so reichte die Kenntnis im Ballungsraum Hamburg aus, um ihr Verhalten in München oder Passau zu rekonstruieren, obwohl diese Orte weit weg liegen.

Berechnung reeller Integrale

Bedeutsam s​ind holomorphe Funktionen a​uch in Anwendungen für reelle Integrale. Es lassen s​ich einige wichtige Integrale berechnen, ohne e​ine Stammfunktion angeben z​u müssen. Dazu zählt z​um Beispiel

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}}$,

und es ist zu beachten, dass zu ${\displaystyle t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}}$ keine geschlossene elementare Stammfunktion angegeben werden kann. Integrale wie das obige spielen eine Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, hier im Kontext mit der Gaußschen Normalverteilung.

Geschlossene Formeln für unendliche Reihen

In der Analysis, die sich mit Grenzwerten von Funktionen oder Zahlenfolgen beschäftigt, treten auch Reihen auf. Diese sind spezielle Folgen, und werden durch unendliche Summen ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ ausgedrückt. Wenn die Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ schnell genug klein werden, hat die betroffene Reihe einen Grenzwert. Ein Beispiel ist

${\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\cdots =1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+0{,}0001+\cdots =1{,}11111\ldots ={\frac {10}{9}}.}$

Mit holomorphen Funktionen können i​n manchen Fällen Grenzwerte w​eit komplizierterer Reihen bestimmt werden. Beispiele sind

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (siehe auch Basler Problem),

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\cdots ={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\left({\frac {1}{\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}+{\frac {1/8}{\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}+{\frac {1/27}{\mathrm {e} ^{6\pi }-1}}+\cdots \right)}$ (siehe auch Apéry-Konstante),[10]

aber auch Identitäten wie zum Beispiel die für alle ${\displaystyle x>0}$ gültige Transformation[11]

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}=1+2\mathrm {e} ^{-\pi x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi x}+\cdots ={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(1+2\mathrm {e} ^{-\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi /x}+\cdots \right)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}/x}.}$

Es bezeichnen dabei ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl und ${\displaystyle \pi }$ die Kreiszahl. Die letzte Identität geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacobi zurück und hat weitreichende Konsequenzen in der Zahlentheorie. So kann mit ihr etwa gezeigt werden, dass sich jede positive ganze Zahl als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lässt,[12] zum Beispiel ist ${\displaystyle 78=8^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}}$, siehe auch Satz von Jacobi.

In der Zahlentheorie

→ Hauptartikel: Analytische Zahlentheorie

Holomorphe Funktionen treten in der Zahlentheorie besonders dann in Erscheinung, wenn eine Folge von Zahlen studiert werden soll. Eine Folge ist wie eine Tabelle, wobei den Zahlen ${\displaystyle 0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots }$ jeweils Zahlen ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n},\dots }$ zugeordnet werden. Berühmte Beispiele für Folgen sind die Folge der Quadratzahlen ${\displaystyle 0,1,4,9,16,25,\dots }$, die Folge der Primzahlen ${\displaystyle 2,3,5,7,\dots }$ oder auch die Fibonacci-Folge ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,\dots }$ Möchte man eine Zahlenfolge ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$ mit analytischen Mitteln, also holomorphen Funktionen, untersuchen, kann es helfen, die zugehörige Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots +a_{n}z^{n}+\cdots }$

zu betrachten. Wie oben gesehen, handelt es sich dabei um eine um 0 holomorphe Funktion, zumindest dann, wenn die ${\displaystyle a_{n}}$ nicht zu schnell anwachsen. Es kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle f}$ durch die ${\displaystyle a_{n}}$ eindeutig festgelegt ist, und umgekehrt. Das bedeutet, dass die erzeugte Funktion ${\displaystyle f}$ gewissermaßen charakteristisch für die Zahlenfolge ${\displaystyle a_{n}}$ ist, sie also Eigenschaften der Folge „kodieren“ sollte. Im Allgemeinen ist es jedoch schwer oder nahezu unmöglich, daraus exakte Informationen zu erhalten. Allerdings kann in einigen Fällen das Wachstumsverhalten der ${\displaystyle a_{n}}$ für größer werdende ${\displaystyle n}$ ermittelt werden.

Historisches Beispiel ist die Analyse der Partitionsfunktion ${\displaystyle p}$. Diese ordnet einer natürlichen Zahl die Anzahl der Möglichkeiten zu, diese als Summe kleinerer natürlicher Zahlen zu schreiben. Wegen

${\displaystyle {\begin{aligned}4&=4\\&=3+1\\&=2+2\\&=2+1+1\\&=1+1+1+1\end{aligned}}}$

gilt ${\displaystyle p(4)=5}$. Die Folge der Partitionen wächst schnell an. So gilt bereits ${\displaystyle p(100)=190\ 569\ 292}$ und

${\displaystyle p(1000)=24\ 061\ 467\ 864\ 032\ 622\ 473\ 692\ 149\ 727\ 991.}$

Lange Zeit galt ein „geschlossenes Verständnis“ dieser Folge als unerreichbar. Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan studierten intensiv die von den Partitionen (formal setzt man ${\displaystyle p(0)=1}$) erzeugte holomorphe Funktion

${\displaystyle P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+{\color {red}{7}}z^{\color {blue}{5}}+11z^{6}+15z^{7}+22z^{8}+\cdots }$

• 
  Die Zahl 5 (blau markiert in obiger Reihe) hat genau 7 Partitionen (rot markiert in obiger Reihe)
• 
  Allgemeinere schematische Übersicht der ersten Partitionen. Man vergleiche mit den ersten Koeffizienten der Potenzreihe ${\displaystyle P.}$
• 
  Komplexes Schaubild der Funktion ${\displaystyle P}$. Am Rand zeichnen sich Bereiche starken Wachstums ab. Diese können genutzt werden, auf die Natur der Koeffizienten ${\displaystyle p(n)}$ der Potenzreihe rückzuschließen

Für jede komplexe Zahl ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|<1}$ ist diese Reihe im Grenzwert endlich (siehe oberes Bild). Es ist keine holomorphe Fortsetzung in den Bereich ${\displaystyle |z|>1}$ möglich, dieser Bereich ist in Grau gehalten. Hardy und Ramanujan konnten das Verhalten der Funktion nahe an der Kreislinie mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, wo also Konvergenz endet, detailliert beschreiben, und rekonstruierten aus ihren Analysen die asymptotische Schätzformel

${\displaystyle p(n)\approx {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},}$

die prozentual immer genauer wird, wenn ${\displaystyle n}$ anwächst. Es bezeichnet dabei ${\displaystyle e^{x}}$ die natürliche Exponentialfunktion, ${\displaystyle \pi =3{,}14159\dots }$ die Kreiszahl und ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ die Quadratwurzel von 3.

In der Algebra

Im Komplexen ist durch die dunkle Tönung ein starkes Abfallen des Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(z)}}}$ für ${\displaystyle z\to \infty }$ in sämtliche Richtungen zu sehen. Dennoch ist die Funktion unbeschränkt, da an manchen Stellen, an den weißen Punkten zu erkennen, durch 0 geteilt wird. Ohne diese Stellen wäre die Funktion global beschränkt, also konstant.

Viele Anwendungen machen sich die starken Eigenschaften holomorpher Funktionen zu Nutze. So kann zum Beispiel anhand logischer Argumente, die sich auf die grundlegenden Eigenschaften der Holomorphie gründen, bewiesen werden, dass jede in allen komplexen Zahlen holomorphe Funktion, die global beschränkt ist, bereits konstant sein muss. Interessanterweise ist die analoge Aussage im Reellen falsch. So ist zum Beispiel die Funktion ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}+1}}}$ in ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ differenzierbar und außerdem beschränkt (da der Nenner niemals kleiner und der Zähler niemals größer als 1 wird), aber ganz offensichtlich keine konstante Funktion ${\displaystyle x\mapsto c}$. Für reelle Eingaben beschränkte Funktionen wie der Sinus, die überall komplex differenzierbar sind, müssen folglich durch Eingabe beliebiger komplexer Werte über alle Grenzen hinauswachsen. Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle \sin(2+10i)=10014{,}30435528\ldots +4583{,}12202096\dots i.}$

Mit Hilfe dieser Aussage k​ann man logisch begründen, d​ass jede Gleichung d​er Form

${\displaystyle a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0}$

mit ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, eine komplexe Lösung besitzt. Das Argument kann exemplarisch am Beispiel

${\displaystyle z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0}$

nachvollzogen werden. Die Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}$ ist, da sie ein Polynom ist, holomorph für alle komplexen Zahlen. Wegen der Quotientenregel ist auch ihr Kehrwert ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}}$ komplex differenzierbar an Punkten ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle f(z)\not =0}$, da sonst durch 0 geteilt wird. Geht man davon aus, dass die Gleichung ${\displaystyle z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0}$ nicht lösbar ist, so ist

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}}}$

ebenfalls auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorph. Da ${\displaystyle f(z)}$ als Polynom aber in jeder Richtung für wachsende ${\displaystyle z}$ langfristig beliebig anwächst, kann man folgern, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(z)}}}$ beschränkt ist. Damit ist es als global holomorphe Funktion konstant. Das ist offenbar falsch, somit ist ein Widerspruch gefunden, und die Gleichung muss über den komplexen Zahlen lösbar sein.[13]

Dieses Resultat w​ird auch a​ls der Fundamentalsatz d​er Algebra bezeichnet.

In der theoretischen Physik

Auch in der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen auf. Ein Anwendungsgebiet betrifft die sogenannte Stringtheorie. Der Ausgangsgedanke dieser Theorie entspringt der „klassischen“ Quantenfeldtheorie (QFT). In der QFT sind die grundlegenden Objekte Teilchen. Während sie sich durch den Raum ausbreiten und miteinander interagieren, beschreiben sie einen Graphen, der als Feynman-Diagramm bezeichnet wird. Diese Diagramme dienen also der Veranschaulichung von Wechselwirkungen zwischen Teilchen, die unsere bekannte Welt aufbauen. In der Stringtheorie sind die grundlegenden Objekte 1-dimensional (Linien bzw. Strings) und nicht 0-dimensional (Punkte bzw. Teilchen). Sie können sich durch den Raum ausbreiten und interagieren, genau wie Punktpartikel, aber anstatt einen Graphen aufzufächern, fächern sie eine Oberfläche auf.[14] Diese Oberflächen können mit Hilfe der Theorie der Riemannschen Flächen beschrieben werden. Das sind zweidimensionale Strukturen im Raum, die lokal wie eine flache Ebene aussehen, deren Koordinaten sich also durch komplexe Zahlen ${\displaystyle x+iy}$ beschreiben lassen. Auf diesen Ebenen können holomorphe Funktionen definiert werden. Diese helfen dabei, alle möglichen Flächen eines Typs zu charakterisieren, wobei nur „geschlossene Flächen mit Henkeln“ interessant sind.

• 
  Eine Sphäre: Geschlecht 0, also ohne Löcher bzw. „Henkel“
• 
  Ein Torus: Geschlecht 1
• 
  Geschlecht 2
• 
  Geschlecht 3
• 
  Aus rein topologischer Sicht sieht jeder Torus gleich aus. Sogar eine stetige Umformung in eine Tasse ist möglich.
• 
  Veranschaulichung der Interaktion zweier Strings auf einem Torus

Obwohl e​twa verschiedene Tori (Donuts), Flächen v​om Geschlecht 1, a​us Sicht d​er Topologie („Theorie d​er Formen“) n​icht zu unterscheiden sind, können s​ie als Riemannsche Flächen aufgefasst i​n eine s​ehr große Schar verschiedener Klassen unterteilt werden. In diesem Sinne „ungleiche“ Riemannsche Flächen können allgemein d​urch sogenannte Moduli unterschieden werden. Anschaulich s​ind Moduli Parameter, i​n etwa Zahlen, d​ie ohne Doppelungen a​lle Riemannschen Flächen e​ines Geschlechts b​is auf „holomorphe Äquivalenz“ auflisten. Alle Riemannschen Flächen m​it ihren zugehörigen Moduli z​u konstruieren, i​st ein schwieriges mathematisches Problem. Untersuchungen d​er Stringwechselwirkungen liefern jedoch deutliche Hinweise darauf, d​ass die sogenannten world-sheets (dt.: „Weltblätter“) d​er wechselwirkenden Strings g​enau diese Konstruktion wiedergeben.[15] Bei world-sheets handelt e​s sich u​m Einbettungen v​on Strings i​n die Raumzeit.

Historisches zum Begriff

→ Hauptartikel: Funktionentheorie

Die Redeweise „holomorph in (einer offenen Menge) ${\displaystyle U}$“ für „komplex differenzierbar in allen Punkten in ${\displaystyle U}$“ hat sich in der deutschen Literatur erst in den letzten Jahrzehnten etabliert. Etwa noch bei Marvin Knopp war der Begriff „regulär“ bzw. „analytisch“ üblich. Letzterer wird jedoch in manchen Lehrbüchern bis heute konsequent verwendet, etwa bei Eberhard Freitag. Das Wort „holomorph“ wurde im Jahr 1875 von den Mathematikern Charles Briot und Jean-Claude Bouquet im Rahmen ihres Werkes „Théorie des fonctions elliptiques“ eingeführt.[16] Dabei handelt es sich um das erste Lehrbuch zur Funktionentheorie.[17] Allerdings tauchte „holomorph“ erst in der zweiten Auflage auf; in der ersten Auflage verwendeten sie noch die auf Cauchy zurückgehende Bezeichnung „synectisch“.[16]

Notation

Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bezeichnen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen. Zudem bedeutet ${\displaystyle \mathbb {E}$ :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}} die offene Einheitskreisscheibe.
• ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ist eine offene Menge, speziell ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ist ein Gebiet und ${\displaystyle U_{r}(c):=\{z\in \mathbb {C} \mid |z-c|<r\}}$ die offene Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ mit Radius ${\displaystyle r>0}$.
• Das Symbol ${\displaystyle \partial M}$ bezeichnet den Rand der (offenen) Menge ${\displaystyle M}$. Das Symbol ${\displaystyle \textstyle \oint }$ bezeichnet ein geschlossenes Integral, also ein Integral gebildet über eine geschlossene Kurve.

Komplexe Differenzierbarkeit

ℂ als topologischer Raum

Die Euklidische Norm induziert auf den komplexen Zahlen eine Topologie. Analog wie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ gilt für die Norm ${\displaystyle |x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Eine Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ heißt offen, wenn jeder Punkt ${\displaystyle z_{0}\in U}$ innerer Punkt ist. Für jedes ${\displaystyle z_{0}\in U}$ gibt es also ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, sodass die Kreisscheibe ${\displaystyle U_{\varepsilon }(z)}$ ganz in ${\displaystyle U}$ liegt. Es gilt also

${\displaystyle U_{\varepsilon }(z):=\{w\in \mathbb {C} \mid |w-z|<\varepsilon \}\subset U.}$

Für d​ie Definition d​er komplexen Differenzierbarkeit i​st der Begriff d​er offenen Menge essentiell. Er stellt sicher, d​ass für j​eden Punkt d​es Definitionsbereichs d​as Verhalten d​er Funktion i​n einer Umgebung dieses Punktes studiert werden kann.

Definition

Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ heißt komplex differenzierbar im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$

existiert. Man bezeichnet ihn dann als ${\displaystyle f'(z_{0})}$.[18] Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Limes ${\displaystyle \textstyle \lim _{h\to 0}}$ eine Annäherung aus beliebiger Richtung in der komplexen Ebene darstellt. Äquivalent ist also, dass für jede komplexe Nullfolge ${\displaystyle h_{n}}$, mit ${\displaystyle h_{n}\not =0}$ für alle ${\displaystyle n}$, der Wert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(z_{0}+h_{n})-f(z_{0})}{h_{n}}}}$

existiert und das Ergebnis unabhängig von der gewählten Folge ${\displaystyle h_{n}}$ ist.

Zu bemerken ist, dass der Differentialquotient von allen Richtungen gebildet werden kann, da ${\displaystyle U}$ offen ist und somit um jeden Punkt aus ${\displaystyle U}$ eine umliegende Kreisscheibe auch noch in ${\displaystyle U}$ enthalten ist. Ist ${\displaystyle h}$ hinreichend klein, liegt also ${\displaystyle z+h}$ in ${\displaystyle U}$, egal welches komplexe Argument ${\displaystyle h}$ besitzt.

Vergleich zur reellen Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

→ Hauptartikel: Differentialrechnung und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Jede komplexwertige Funktion ${\displaystyle f}$ lässt sich in der Form ${\displaystyle f(z)=\operatorname {Re} (f(z))+i\operatorname {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)}$ schreiben. Dabei sind ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ reellwertige Abbildungen. Man sagt, dass ${\displaystyle f}$ genau dann reell differenzierbar in einem Punkt ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}}$ ist, wenn

${\displaystyle u(x,y)=u(x_{0},y_{0})+a\Delta x+b\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),}$

${\displaystyle v(x,y)=v(x_{0},y_{0})+c\Delta x+d\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),}$

wobei die ${\displaystyle o}$-Fehlerterme, siehe Landau-Symbol, für kleiner werdende ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ gegen 0 gehen. Es gilt also[19]

${\displaystyle {\frac {o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}\rightarrow 0}$ für ${\displaystyle (\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\rightarrow 0.}$

Dabei handelt es sich bei ${\displaystyle a,b,c,d}$ um reelle Zahlen, die sich über die partiellen Ableitungen der Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ bestimmen lassen. Präziser gesagt, bilden sie die sog. Jacobi-Matrix von ${\displaystyle f}$ als Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in sich selbst aufgefasst, via

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Die reelle Differenzierbarkeit impliziert unter anderem, dass Differentialquotienten existieren, wenn separat die reellen Variablendifferenzen ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$ in ${\displaystyle f(x_{0}+iy_{0}+i\Delta y)}$ bzw. ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x+iy_{0})}$ betrachtet werden. Die Richtungsableitungen können sich indes, je nach Gewichtung von ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$, unterscheiden.

Bei der komplexen Differenzierbarkeit liegt insbesondere reelle Differenzierbarkeit vor, allerdings kommt hinzu, dass die Richtungsableitungen alle identisch sein müssen. Es werden also die Komponenten ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta y}$ zu Gunsten einer zusammenfassenden Komponente ${\displaystyle \Delta z}$ „vergessen“. Es gilt im Falle komplexer Differenzierbarkeit an einer Stelle ${\displaystyle z_{0}}$ also

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+\omega \Delta z+o(\Delta z),}$ mit ${\displaystyle \Delta z:=z-z_{0}}$.

Die Körperstruktur von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ erlaubt es, diesen Sachverhalt nach gewohntem Rechenverfahren in die Gleichung

${\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\omega +{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}}$, wobei ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}=0}$,

umzuwandeln. Spaltet man dies nun rückwirkend in den reellen Fall auf, so ergibt sich mit ${\displaystyle \Delta z=\Delta x+i\Delta y}$ und ${\displaystyle \omega =\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega )}$ die Gleichheit:

${\displaystyle \omega \Delta z=(\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega ))(\Delta x+i\Delta y)=(\operatorname {Re} (\omega )\Delta x-\operatorname {Im} (\omega )\Delta y)+i(\operatorname {Im} (\omega )\Delta x+\operatorname {Re} (\omega )\Delta y)}$.

Es f​olgt für d​ie Jacobi-Matrix zwingend d​ie Gleichheit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (\omega )&-\operatorname {Im} (\omega )\\\operatorname {Im} (\omega )&\operatorname {Re} (\omega )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.}$

Dies impliziert

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

was den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ ist also genau dann komplex differenzierbar an einer Stelle ${\displaystyle z_{0}\in U}$, wenn sie dort reell stetig differenzierbar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.[20] Es ergibt sich daraus, dass die Funktion ${\displaystyle f=u+iv}$ genau dann holomorph auf ${\displaystyle U}$ ist, wenn sowohl Realteil ${\displaystyle u}$ als auch Imaginärteil ${\displaystyle v}$ überall in ${\displaystyle U}$ stetig partiell differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

Holomorphie

Bourbaki-Mitgründer Henri Cartan prägte die ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-Notation für Holomorphie

Die komplexe Differenzierbarkeit in einem einzelnen Punkt bietet noch nicht viel Struktur. Wichtig für die Funktionentheorie ist der Fall, wenn eine Funktion in ihrer Gänze komplex differenzierbar ist. Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt holomorph in ${\displaystyle U}$, falls sie in jedem Punkt ${\displaystyle z\in U}$ komplex differenzierbar ist.[21] Ist zudem sogar ${\displaystyle U=\mathbb {C} }$ , so nennt man ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion.[22]

In der Fachliteratur werden die Begriffe holomorph und analytisch häufig synonym verwendet. Dies hat den keinesfalls trivialen Hintergrund, dass eine in ${\displaystyle U}$ holomorphe Funktion eine in ${\displaystyle U}$ analytische Funktion ist, und umgekehrt.[23]

Die Menge der auf einer offenen Menge ${\displaystyle U}$ holomorphen Funktionen wird in der Literatur häufig mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ bezeichnet. Diese Schreibweise wird etwa seit 1952 von der französischen Schule um Henri Cartan vor allem in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher verwendet. Aussagen, es handele sich bei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ um eine Ehrung des japanischen Mathematikers Oka Kiyoshi, oder eine Reflexion der französischen Aussprache des Wortes holomorph, sind unbestätigt. Vielmehr sei die Notation laut Reinhold Remmert „rein zufällig“, und es heißt in einem Brief von Cartan an Remmert vom 22. März aus dem Jahr 1982:

„Je m’étais simplement inspiré d’une notation utilisée p​ar van d​er Waerden d​ans son classique traité ‘Moderne Algebra’“

„Ich h​abe mich einfach v​on einer Notation inspirieren lassen, d​ie van d​er Waerden i​n seiner klassischen Abhandlung ‚Moderne Algebra‘ verwendet.“

– Henri Cartan[16]

Ableitungsregeln

Sind ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} }$ an einer Stelle ${\displaystyle z\in U}$ komplex differenzierbar, so auch ${\displaystyle f+g}$, ${\displaystyle f-g}$ und ${\displaystyle f\cdot g}$. Das gilt auch für ${\displaystyle {\tfrac {f}{g}}}$, wenn ${\displaystyle z}$ keine Nullstelle von ${\displaystyle g}$ ist. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.[24]

Winkel- und Orientierungstreue

→ Hauptartikel: Konforme Abbildung

Eine komplexe Abbildung ist winkeltreu, wenn sie zwei sich in einem Punkt schneidende Geradenstücke auf wiederum zwei Geradenstücke abbildet, die sich im gleichen Winkel schneiden.[25] So sind etwa Drehungen winkeltreue Abbildungen. Es kann gezeigt werden, dass nicht-lokalkonstante holomorphe Funktionen in, bis auf eine diskrete Teilmenge, allen Punkten ihres Definitionsbereichs winkeltreu sind. Es sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen sogar holomorphe Funktionen charakterisiert. Verlangt man zusätzlich noch Orientierungstreue, d. h., dass für ${\displaystyle f=u+iv}$ die Funktionaldeterminante

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

in, bis auf eine diskrete Menge, allen Punkten positiv ist, so ist ${\displaystyle f}$ bereits holomorph.[26]

Die Winkeltreue holomorpher Funktionen i​n einem Punkt lässt s​ich zudem anhand i​hrer Jacobi-Matrix a​n der entsprechenden Stelle erklären. Dazu m​uss bekannt sein, d​ass die Abbildung

${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2}}$

${\displaystyle \Phi (a+ib):={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

nach Einschränkung ihrer Zielmenge auf ihr Bild einen Isomorphismus zwischen Körpern induziert. Wegen Eulers Formel gilt zudem für ${\displaystyle r>0}$ und ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ die Relation

${\displaystyle \Phi (r\mathrm {e} ^{i\theta })=r{\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}.}$

Eine komplexe Zahl kann demzufolge als lineare Abbildung gedeutet werden, nämlich als eine Drehstreckung, wie die rechte Form als Verkettung von Skalierung und Rotationsmatrix verdeutlicht.[27] Die Cauchy-Riemann-Gleichungen verlangen nichts anderes, als dass die Jacobi-Matrix von dieser Struktur sein soll, wobei dann ${\displaystyle Df(x,y)=\Phi (f'(z))}$ mit ${\displaystyle z=x+iy}$ gilt. Darin liegt die Verbindung zu konformen Abbildungen: Winkeltreue bedeutet schlicht, dass die Jacobi-Matrix eine nichtverschwindende Drehstreckung ist.[28]

In Punkten, in denen die Ableitung einer holomorphen Funktion verschwindet, liegt keine Winkeltreue vor, wie man am Beispiel der Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$ sieht. Im Nullpunkt werden die Winkel ver-${\displaystyle n}$-facht.[29]

Integrationstheorie

Komplexe Kurvenintegrale

→ Hauptartikel: Kurvenintegral

Die Integrationstheorie im Komplexen unterscheidet sich in einigen Punkten von der im Reellen. Wichtigstes Merkmal ist das Problem, dass es auf einer Ebene unendlich viele Möglichkeiten gibt, sich von einem Punkt ${\displaystyle a}$ zu einem Punkt ${\displaystyle b}$ zu „bewegen“. Im Reellen gibt es (sieht man von nichtigen Rückwärtsbewegungen ab) stets nur eine Möglichkeit entlang des Zahlenstrahls. Die hohe Anzahl an Integrationswegen zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwingt dazu, den Integralbegriff zum sog. Kurvenintegral auszuweiten. Das bedeutet, dass ein Integral zunächst nicht nur von Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Wahl der Kurve abhängt.

• 
  Es gibt wegen des eindimensionalen Zahlenstrahls im Reellen nur eine Möglichkeit, sich von a nach b zu bewegen
• 
  Bei Kurven in flächenförmigen Definitionsbereichen gibt es viele Möglichkeiten, von a nach b zu gelangen.
• 
  Im Fall a = b spricht man von einer geschlossenen Kurve. Das Integral wird hier auch mit ${\displaystyle \textstyle \oint }$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ stetig und ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}$ eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Kurve, so definiert man[30]

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z:=\int _{0}^{1}\!f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.}$

Das hintere Integral kann nun analog wie im Reellen berechnet werden, etwa durch Aufspalten in die ebenfalls stetigen Komponenten ${\displaystyle \operatorname {Re} (f)+i\operatorname {Im} (f)}$. Hinter dem Differential ${\displaystyle \gamma '(t)\mathrm {d} t}$ verbirgt sich die Umformung ${\displaystyle \mathrm {d} \gamma (t)}$, die bereits andeutet, dass der Integrationsweg in kleine Intervalle ${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{n}})-\gamma (0),\gamma ({\tfrac {2}{n}})-\gamma ({\tfrac {1}{n}}),\ldots ,\gamma (1)-\gamma ({\tfrac {n-1}{n}})}$ mit ${\displaystyle n\to \infty }$ unterteilt wird, was den anschaulichen Bogen zur klassischen Integralrechnung schließt.

Integralrechnung

→ Hauptartikel: Integralrechnung

Der Wert e​ines Integrals

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z}$

wird bei Endpunkten ${\displaystyle \gamma (0)=a}$ und ${\displaystyle \gamma (1)=b}$ im Allgemeinen nicht nur von ${\displaystyle f}$, sondern auch von der Wahl der Kurve ${\displaystyle \gamma }$ abhängen. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion ${\displaystyle f}$ nicht über eine komplexe Stammfunktion ${\displaystyle F}$ verfügt. Liegt andererseits eine solche vor, gilt[31]

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=F(\gamma (1))-F(\gamma (0))=F(b)-F(a),}$

In Sterngebieten gibt es einen „Sternmittelpunkt“ ${\displaystyle x_{0}}$, der mit allen anderen Punkten über eine im Gebiet verlaufende Strecke verbunden werden kann. Insbesondere ist das Integral ${\displaystyle \textstyle x\mapsto \int _{x_{0}}^{x}}$ in solchen Gebieten erklärt.

und die letzte Gleichheit zeigt, dass der Wert des Integrals jetzt nicht mehr von ${\displaystyle \gamma }$ abhängt. Analog zum Reellen zeigt es sich, dass der Begriff der Stammfunktion erneut als Umkehrung zum Ableiten gefasst werden kann. Da jedoch der Ausgangspunkt ein Gebiet ${\displaystyle D}$ ist, also eine „Fläche“, muss die Stammfunktion ${\displaystyle F}$ in ganz ${\displaystyle D}$ komplex differenzierbar, also holomorph, sein. Damit ist ${\displaystyle F}$ bereits unendlich oft komplex differenzierbar und es zeigt sich, dass notwendigerweise auch ihre Ableitung ${\displaystyle f}$ eine in ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion gewesen sein muss. Es zeigt sich wieder die Stärke des Holomorphiebegriffes. Aufgrund der „richtungsunabhängigen“ Existenz des Differenzenquotienten ergibt die Berechnung eines Kurvenintegrals ungeachtet der Richtungswahl immer denselben Wert. Man kann dann schreiben

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}\!f(z)\,\mathrm {d} z}$.

Zwar muss zur Existenz einer Stammfunktion die Funktion ${\displaystyle f}$ notwendigerweise holomorph sein, jedoch ist Holomorphie nicht hinreichend für die Existenz einer Stammfunktion. Wählt man zum Beispiel ${\displaystyle D=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}}$, so kann zu ${\displaystyle f}$ keine Stammfunktion gefunden werden.[32] Hintergrund ist, dass es eine „Lücke“ in ${\displaystyle D}$ gibt, in der ${\displaystyle f}$ nicht holomorph ist und daher situationsbedingt Schwierigkeiten bereiten kann. In der Tat besitzt die Logarithmusfunktion kein global holomorphes Pendant in den komplexen Zahlen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an ${\displaystyle D}$ ist jedoch auch die Rückrichtung korrekt. Ganz allgemein dann, wenn ${\displaystyle D}$ ein Elementargebiet ist, besitzt jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Stammfunktion. In etwa ist jedes Sterngebiet ein Elementargebiet, d. h., es gibt einen zentralen Punkt ${\displaystyle z_{0}\in D}$, von dem aus jeder Punkt ${\displaystyle z\in D}$ durch eine gerade Linie erreicht werden kann, ohne dabei ${\displaystyle D}$ zu verlassen. Beispiel für ein Sterngebiet ist das Innere eines Kreises mit irgendeinem seiner Punkte als Zentrum. Eine Stammfunktion kann dann über

${\displaystyle F(z):=\int _{z_{0}}^{z}\!f(w)\,\mathrm {d} w}$

bestimmt werden, wobei hier als Integrationskurve die gerade Verbindungslinie zwischen ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle z}$ gewählt wird.

Es gelten a​uch im Komplexen d​ie aus d​er reellen Analysis bekannten Rechenregeln, w​ie die partielle Integration u​nd die Integration d​urch Substitution.[33]

Cauchyscher Integralsatz

→ Hauptartikel: Cauchyscher Integralsatz

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ einfach zusammenhängend, also ein Elementargebiet, und ${\displaystyle \gamma }$ ein Zyklus in ${\displaystyle D}$, so gilt der Cauchysche Integralsatz

${\displaystyle \int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn ${\displaystyle D}$ ein Sterngebiet und ${\displaystyle \gamma }$ ein geschlossener Weg ist.

Satz von Morera

→ Hauptartikel: Satz von Morera

Nicht jede auf einer offenen Menge holomorphe Funktion besitzt eine Stammfunktion. Allerdings kann gezeigt werden, dass jede holomorphe Funktion eine lokale Stammfunktion besitzt. Dies ist gleichzeitig ein hinreichendes Kriterium für globale Holomorphie. Es stellt zudem eine Umkehrung des Integralsatzes von Cauchy dar, wenn auch in abgeschwächter Form.[34] Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ offen und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ stetig und gilt für jeden Dreiecksweg ${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }$, dessen Dreiecksfläche ${\displaystyle \Delta }$ ganz in ${\displaystyle D}$ enthalten ist,

${\displaystyle \oint _{\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0,}$

so ist ${\displaystyle f}$ holomorph.[35]

Elementare Folgerungen

Mit Hilfe der Integrationstheorie holomorpher Funktionen kann etwas über die Struktur holomorpher Funktionen auf Elementargebieten ausgesagt werden. Ist ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ auf dem Elementargebiet ${\displaystyle D}$ etwa holomorph und nullstellenfrei, existiert eine holomorphe Funktion ${\displaystyle g\colon D\to \mathbb {C} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle f=e^{g}}$. Ein solches ${\displaystyle g}$ wird auch als analytischer Zweig des Logarithmus von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.[36]

Eine unmittelbare Folgerung ist die Aussage, dass ${\displaystyle f}$ ebenso eine ${\displaystyle n}$-te Wurzel, mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, auf ${\displaystyle D}$ besitzt, es gibt also ein holomorphes ${\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f=h^{n}}$.[37]

Cauchysche Integralformel

→ Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Augustin-Louis Cauchy

Im Jahr 1831 f​and Augustin-Louis Cauchy i​n seinem Exil i​n Turin[38] e​ine Integralformel, d​ie erlaubt, e​ine holomorphe Funktion m​it Hilfe d​er „Randwerte i​hres Definitionsbereichs“ z​u rekonstruieren. Sie i​st von großer Bedeutung i​n der Theorie holomorpher Funktionen.

Formulierung

Sei ${\displaystyle U}$ offen, ${\displaystyle U_{r}(a)}$ die offene Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle r}$ um den Punkt ${\displaystyle a\in U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Liegt dann der Abschluss von ${\displaystyle U_{r}(a)}$ noch ganz in ${\displaystyle U}$, so gilt für alle ${\displaystyle z\in D}$ die Cauchysche Integralformel[39]

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w.}$

Dabei wird die Integrationskurve in mathematisch positivem Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, einfach durchlaufen. Die (stärkere) Version für höhere Ableitungen, mit einem ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, lautet[40]

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,\mathrm {d} w.}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$. Der Wert der Funktion (und jeder ihrer Ableitungen) eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

Konsequenzen

Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in ${\displaystyle z_{0}}$ holomorphe Funktion ist in ${\displaystyle z_{0}}$ analytisch.[41] Umgekehrt stellt jede in ${\displaystyle z_{0}}$ analytische Funktion eine in ${\displaystyle z_{0}}$ holomorphe Funktion dar.[42]

Eine weitere Folgerung i​st die Mittelwertsgleichung

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(a+re^{i\varphi })\,\mathrm {d} \varphi ,}$

die u​nter oberen Voraussetzungen gilt. Aus dieser f​olgt über d​ie Standardabschätzung für Kurvenintegrale

${\displaystyle |f(a)|\leq \sup _{|z-a|=r}|f(z)|}$,

ein Vorläufer d​es Maximumprinzips d​er Funktionentheorie.[43] Sie spielt z​udem eine wichtige Rolle b​ei den Beweisen tieferer funktionentheoretischer Sätze, w​ie zum Beispiel d​es Satzes v​on Liouville o​der des Residuensatzes.

Varianten

Die Cauchysche Integralformel lässt sich mannigfach umformulieren. Ist etwa ${\displaystyle f}$ holomorph in einer Umgebung von ${\displaystyle {\overline {U_{r}(0)}}}$, so gilt bereits für alle ${\displaystyle z\in U_{r}(0)}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w}}{\frac {r^{2}-|z|^{2}}{|w-z|^{2}}}\,\mathrm {d} w,}$

wobei d​ie Kreiskurve i​n mathematisch positiver Richtung d​en Ursprung einfach umläuft. Diese Version w​ird auch a​ls Schwarzsche Integralformel bezeichnet.[44] Des Weiteren g​ilt die Formel

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(0)}\!{\frac {\operatorname {Re} (f(w))}{w}}{\frac {w+z}{w-z}}\,\mathrm {d} w+i\operatorname {Im} (f(0))}$

unter denselben Voraussetzungen w​ie oben. Erneut i​st zu beachten, d​ass als Mittelpunkt d​er Kreisscheibe d​er Ursprung gewählt wurde.[45]

Potenzreihen im Kontext holomorpher Funktionen

Holomorphie und Analytizität

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt.[41] Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist ${\displaystyle c\in U}$ mit offenem ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{r}(c)}$ die größte Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ holomorph, so ist ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ in eine Taylorreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ entwickelbar, die in ${\displaystyle U_{r}(c)}$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch[41]

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w}$, wobei ${\displaystyle 0<d<r.}$

Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen ${\displaystyle z\mapsto (z-c)^{-k-1}}$ benötigt werden (siehe auch geometrische Reihe), sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall ${\displaystyle k=0}$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.[46]

Da j​ede holomorphe Funktion analytisch i​st und umgekehrt, lassen s​ich Eigenschaften v​on Potenzreihen direkt a​uf holomorphe Funktionen übertragen. Dies stellt gleichzeitig d​en Weierstraßschen Zugang z​ur Funktionentheorie dar, d​er die Darstellbarkeit v​on Funktionen a​ls Potenzreihen z​um Ausgangspunkt hat.[47]

Da Potenzreihen beliebig o​ft komplex differenzierbar s​ind (und z​war durch gliedweise Differentiation), erhält m​an insbesondere, d​ass holomorphe Funktionen beliebig o​ft differenzierbar[48] u​nd alle i​hre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt m​an deutliche Unterschiede z​ur reellen Differentialrechnung.

Cauchysche Ungleichung

Ist ${\displaystyle \textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${\displaystyle R}$, und definiert man für ein ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle 0<r<R}$ die Konstante ${\displaystyle \textstyle M(r):=\max _{|z-c|=r}|f(z)|}$, so gilt für die Koeffizienten die Abschätzung

${\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M(r)}{r^{n}}}.}$

Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel.[49] Diese Aussage lässt sich zu einem Abschätzungsprinzip für Ableitungen auf kompakten Mengen erweitern. Ist ${\displaystyle U}$ offen und ${\displaystyle K\subset D}$ ein Kompaktum, dann gibt es zu jeder kompakten Umgebung ${\displaystyle K\subsetneq L\subset U}$ (es existiert um jedes ${\displaystyle z\in \partial K}$ eine Umgebung, die ganz in ${\displaystyle L}$ liegt) und zu jedem ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ eine Konstante ${\displaystyle M_{k,L}>0}$, sodass

${\displaystyle ||f^{(k)}||_{K}\leq M_{k,L}||f||_{L},}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$.

Hierbei ist ${\displaystyle ||.||}$ die Supremumsnorm. Es ist zu beachten, dass nicht ${\displaystyle K=L}$ gewählt werden darf, wie das Beispiel ${\displaystyle K=L={\overline {\mathbb {E} }}}$ sowie ${\displaystyle f_{n}(z):=z^{n}}$ zeigt.[49]

Die Cauchysche Ungleichung zeigt, d​ass das Wachstum d​er Taylor-Koeffizienten n​icht beliebig starke Züge annehmen kann. So existiert e​twa keine l​okal um 0 holomorphe Funktion m​it der Eigenschaft

${\displaystyle f^{(n)}(0)=n!^{2}}$.

Im Gegensatz dazu existiert zu jeder reellen Folge ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2},\dots }$ eine unendlich oft differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f^{(n)}(0)=r_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.[48]

Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer außerhalb ihres Entwicklungspunktes irgendwo konvergenten Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ ist definiert als die Zahl ${\displaystyle R>0}$, sodass ${\displaystyle f(z)}$ für alle ${\displaystyle |z-c|<R}$ konvergiert und für alle ${\displaystyle |z-c|>R}$ divergiert.[50] Über das Konvergenzverhalten auf dem Rand der Kreisscheibe kann die Zahl ${\displaystyle R}$ keine Aussage treffen, es kann sehr unterschiedlich sein. Es gilt die Formel von Cauchy-Hadamard[50]

${\displaystyle R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.}$

Nach dem Quotientenkriterium hat man im Falle ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ für fast alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:[51]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq R\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|.}$

Dabei darf der Wert ${\displaystyle +\infty }$ ebenfalls durch die Limiten angenommen werden. In den Fällen ${\displaystyle R=\infty }$ bzw. ${\displaystyle \infty \leq R}$ ist die betroffene Funktion ganz.

Restgliedabschätzung

Im Falle holomorpher Funktionen kann der Satz von Taylor „effektiv“ gemacht werden. Ist ${\displaystyle f}$ innerhalb einer offenen Menge, die die Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {U_{R}(0)}}}$ enthält, holomorph, so gilt für alle ${\displaystyle |z|<R}$[52]

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}+{\frac {z^{N}}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{R}(0)}{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w.}$

Damit folgt für ${\displaystyle |z|<R}$ die Restgliedabschätzung

${\displaystyle \left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\leq {\frac {|z|^{N}}{2\pi }}\oint _{\partial U_{R}(0)}\left|{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w\right|\leq \left({\frac {|z|}{R}}\right)^{N}R\max _{|w|=R}\left|{\frac {f(w)}{w-z}}\right|}$.

Ist insbesondere ${\displaystyle z}$ hinreichend klein, etwa ${\displaystyle |z|<{\tfrac {R}{2}}}$, so kann dies vereinfacht durch[52]

${\displaystyle \sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\ll _{R,N}z^{N}\max _{|w|=R}|f(w)|}$

ausgedrückt werden, wobei die implizite Konstante von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle N}$, aber nicht von ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle f}$ abhängt.

Grenzen der Darstellbarkeit

Obwohl zugehörige Potenzreihen „weiträumig“ konvergieren, stellen sie nicht überall die Logarithmusfunktion dar, da es um die Singularität um 0 keinen geschlossenen einheitlichen Zweig gibt. Bei Umrundung des Ursprungs entsteht stets ein zusätzliches ${\displaystyle 2\pi i}$.

Die Lokalität besagt, d​ass es n​icht sein muss, d​ass die Potenzreihe d​ie Funktion i​n ihrem gesamten Definitionsbereich darstellt. Zum Beispiel ist

${\displaystyle f(z):={\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

mit Entwicklungspunkt 0, aber die Reihe konvergiert nur für Werte ${\displaystyle |z|<1}$. In der Tat besitzt die Funktion zur Linken eine Singularität in ${\displaystyle z=1}$ und ist sonst holomorph in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ , weshalb der Konvergenzradius der Reihe genau ${\displaystyle R=1}$ ist. Obwohl also ${\displaystyle f(2)=-1}$ definiert ist, wird die Reihe die Funktion an der Stelle ${\displaystyle z=2}$ nicht mehr darstellen. Es ist bei dieser Eigenschaft von Potenzreihen auch stets auf die genaue Funktionsvorschrift zu achten. Nur weil die Reihe für solche Werte ${\displaystyle z}$ konvergiert, die nahe genug am Entwicklungspunkt liegen, heißt das nicht, dass dort die Funktion noch nach der ursprünglichen (holomorphen) Vorschrift definiert ist. Zum Beispiel stellt für ${\displaystyle f\colon U_{1}(0)\cup U_{1}(3)\to \mathbb {C} }$ mit

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}e^{z},&\quad z\in U_{1}(0)\\0,&\quad z\in U_{1}(3)\end{cases}}}$

die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

die holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ nur im Bereich ${\displaystyle U_{1}(0)}$ dar, nicht aber in ${\displaystyle z=3}$, obwohl sie dort konvergiert. Ein weiteres Beispiel ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle f(z):=\mathrm {Log} (z)}$.[53][54] Zwar konvergiert die zugehörige Potenzreihe um ${\displaystyle z_{0}=-5+i}$ mit Radius ${\displaystyle R={\sqrt {26}}}$, doch stellt sie die Funktion zum Beispiel an ${\displaystyle -5-i}$ nicht mehr dar, obwohl ${\displaystyle |-5+i-(-5-i)|=2<{\sqrt {26}}}$. Hintergrund ist die Festlegung auf den Hauptwert des Logarithmus, der entlang der negativen reellen Achse unstetig verläuft.

Singuläre Punkte

Es w​ird eine Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

mit Konvergenzradius ${\displaystyle 0<R<\infty }$ betrachtet. Ein Randpunkt ${\displaystyle w\in \partial U_{R}(c)}$ heißt singulärer Punkt, wenn es keine Umgebung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle w}$ zusammen mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon W\to \mathbb {C} }$ gibt, sodass ${\displaystyle f|_{U_{R}(c)\cap W}={\widehat {f}}|_{U_{R}(c)\cap W}}$. Die Menge der singulären Punkte auf ${\displaystyle \partial U_{R}(c)}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ist stets abgeschlossen. Ist jeder Punkt in ${\displaystyle \partial U_{R}(c)}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ein singulärer Punkt, so entspricht ${\displaystyle U_{R}(c)}$ dem Holomorphiegebiet von ${\displaystyle f}$.[55] Es kann außerdem gezeigt werden, dass die Menge der singulären Punkte auf dem Rand der Konvergenzkreisscheibe niemals leer ist; es gibt also stets mindestens einen singulären Punkt.[56] Zu beachten ist, dass die Potenzreihe in jedem Punkt am Rand ihres Konvergenzbereichs durchaus konvergieren kann. Lediglich eine holomorphe Fortsetzung ist nicht um jeden Punkt des Randes möglich.

Der Lückensatz

Der Lückensatz liefert e​in hinreichendes Kriterium dafür, d​ass die offene Konvergenzkreisscheibe e​iner Potenzreihe d​as Holomorphiegebiet d​er dargestellten holomorphen Funktion ist. Die Potenzreihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }z^{\lambda _{\nu }}}$, wobei ${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots ,}$

habe den Konvergenzradius ${\displaystyle 0<R<\infty }$. Es gebe eine feste Zahl ${\displaystyle \delta >0}$, sodass die Lückenbedingung

${\displaystyle \lambda _{\nu +1}-\lambda _{\nu }\geq \delta \lambda _{\nu }}$

für alle ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} _{0}}$ erfüllt ist. Dann ist ${\displaystyle U_{R}(0)}$ das Holomorphiegebiet von ${\displaystyle f}$.[57] Dieser Satz wurde erstmals von Jacques Hadamard im Jahr 1892 gezeigt, wobei der Beweis durch Louis Mordell 1927 stark vereinfacht wurde. Mittlerweile gibt es umfangreiche Literatur und Verallgemeinerungen zum Lückensatz.[57] Bemerkenswerterweise besitzt jede Potenzreihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

mit Konvergenzradius ${\displaystyle R=1}$ die „Fähigkeit“, zu einer holomorphen Funktion mit Holomorphiegebiet ${\displaystyle \mathbb {E} }$ abgewandelt zu werden. Nach einem von Pierre Fatou vermuteten und von Adolf Hurwitz bewiesenen Satz gibt es stets eine Folge ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,1\}}$, sodass

${\displaystyle z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}z^{n}}$

das Holomorphiegebiet ${\displaystyle \mathbb {E} }$ besitzt.[58]

Laurent- und Fourier-Reihen

Satz von der Laurententwicklung

→ Hauptartikel: Laurent-Reihe

Die Laurent-Reihe verallgemeinert d​en Begriff d​er Potenzreihe dahingehend, d​ass auch negative Exponenten zugelassen werden. Es k​ann mit d​em Cauchyschen Integralsatz für Sterngebiete gezeigt werden, d​ass sich holomorphe Funktionen a​uf Ringgebieten i​n Laurent-Reihen entwickeln lassen.[59] Jede a​uf einem Ringgebiet

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z|<R\leq \infty \}}$

holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ gestattet eine Zerlegung

${\displaystyle f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)}$,

Die Eigenschaft der komplexen Exponentialfunktion, Streifen in Ringgebiete periodisch abzubilden, bildet gepaart mit der Theorie der Laurent-Reihen das Fundament für Fourier-Reihen periodischer holomorpher Funktionen

wobei ${\displaystyle g\colon U_{R}(0)\to \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \textstyle h\colon U_{\frac {1}{r}}(0)\to \mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen sind. Mit der Forderung ${\displaystyle h(0)=0}$ wird diese Zerlegung eindeutig.[60] Insbesondere lassen sich holomorphe Funktionen auf Ringgebieten mit Radien ${\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }$ und Zentrum ${\displaystyle c}$ in Laurent-Reihen entwickeln:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$

Die Reihe konvergiert d​abei absolut u​nd lokal gleichmäßig. Eine Berechnung d​er Koeffizienten i​st über d​ie Formel

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{\rho }(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w,\qquad r<\rho <R,}$

möglich.[61]

Komplexe Fourier-Reihen

Ein besonderer Fall tritt auf, wenn eine holomorphe Funktion gleichzeitig eine periodische Funktion ist. Dabei reicht es aus, die Periode 1 zu betrachten. Ist ${\displaystyle f}$ auf dem offenen Streifen

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid a<\mathrm {Im} (z)<b\},}$

holomorph und 1-periodisch, gilt also stets ${\displaystyle f(z+1)=f(z)}$, so besitzt ${\displaystyle f}$ eine Fourier-Entwicklung

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}.}$

Dies ist auf ganz ${\displaystyle D}$ absolut und lokal gleichmäßig konvergent. Eine Berechnung der Koeffizienten ist für jedes ${\displaystyle a<y<b}$ durch

${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi in(x+iy)}\mathrm {d} x}$

möglich.[62] Entscheidend für die Herleitung der Existenz einer Fourier-Reihe auf horizontalen Streifen ist das Abbildungsverhalten der komplexen Exponentialfunktion ${\displaystyle z\mapsto e^{2\pi iz}}$ sowie die Existenz der Laurent-Reihe.[63] Die Entwicklung in Fourier-Reihen spielt eine große Rolle in der Theorie der Modulformen.

Beispiele

Beispiele für holomorphe Funktionen sind Polynome, da diese aus einfachen algebraischen Operationen (Addition und Multiplikation) gewonnen werden. Zum Beispiel ist für die Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ der Differentialquotient

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{2}-z^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2zh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2z+h)=2z=f'(z).}$

Es s​ind diesem Prinzip folgend a​lle Polynome holomorphe Funktionen. Es stellt s​ich jedoch d​ie Frage, o​b es darüber hinaus n​och holomorphe Funktionen g​ibt und w​ie diese aussehen. Viele i​m Reellen differenzierbare Funktionen, w​ie (außer a​n der Stelle 0) d​ie Betragsfunktion, s​ind nicht holomorph. Zum Beispiel gilt

${\displaystyle \lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+h|-1}{h}}\not =\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+ih|-1}{ih}},}$

da d​ie rechte Seite, f​alls existent, k​eine reelle Zahl ist, d​ie linke jedoch schon.

Jede Polynomfunktion ${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$ ist eine in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorphe Funktion. Die Polynomfunktionen sind gerade die Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle verschwinden. Als solche sind sie auch die einzigen ganzen Funktionen, die, falls nicht konstant, im unendlich fernen Punkt eine Polstelle und keine wesentliche Singularität besitzen.[64]

Exponentialfunktion

→ Hauptartikel: Komplexe Exponentialfunktion

Die zunächst über den reellen Zahlen definierte natürliche Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Dort kann sie, wie auch im Reellen, über ihre Potenzreihe definiert werden:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots .}$

Sie erfüllt für alle ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ die Funktionalgleichung ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}}$[65] und es gilt ${\displaystyle (e^{z})'=e^{z}}$, sie ist also gleich ihrer eigenen Ableitung.[66]

Erst über d​en komplexen Zahlen w​ird die e​nge Beziehung zwischen d​er Exponentialfunktion u​nd den trigonometrischen Funktionen sichtbar. Diese k​ann mittels d​er Potenzreihenentwicklungen u​nd einem Vergleich d​er Koeffizienten hergeleitet werden u​nd zieht wichtige Konsequenzen für d​ie Geometrie d​er komplexen Zahlen u​nd ganz allgemein i​n der Mathematik n​ach sich. Die erstmals v​on Leonhard Euler gefundene Beziehung, a​uch Eulersche Formel genannt, lautet

${\displaystyle e^{iw}=\cos(w)+i\sin(w),}$

wobei ${\displaystyle w}$ in vielen Anwendungen eine reelle Zahl ist, jedoch auch beliebige komplexe Werte annehmen darf.[65] Daraus folgt insbesondere, dass sie als Funktion ${\displaystyle 2\pi i}$-periodisch ist. Es gilt also für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$.

Logarithmus

→ Hauptartikel: Komplexer Logarithmus

Koloriertes Schaubild des Hauptwerts des komplexen Logarithmus. Deutlich zu erkennen ist die Unstetigkeit an der negativen reellen Achse.

Die komplexe Exponentialfunktion ${\displaystyle z\mapsto \exp(z)}$ ist global betrachtet nicht injektiv, weshalb sie als ganze Funktion nicht umkehrbar ist. Jedoch kann bei Einschränkung auf den Bereich ${\displaystyle -\pi <\mathrm {Im} (z)\leq \pi }$ die Injektivität wieder hergestellt werden. Da dieser Bereich nicht offen ist, so ist etwa ${\displaystyle z=\pi i}$ kein innerer Punkt, ist es zweckmäßig, auf den offenen Streifen

${\displaystyle S:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\mathrm {Im} (z)<\pi \}}$

überzugehen. Es g​ilt dann[67]

${\displaystyle \exp(S)=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}=:\mathbb {C} _{-},}$

das Bild der Einschränkung entspricht also genau der komplexen Ebene mit Ausnahme der nicht positiven reellen Zahlen. Als bijektive holomorphe Funktion zwischen zwei offenen Mengen ist die Umkehrfunktion, die als Hauptzweig des Logarithmus bekannt ist, wieder holomorph. Diese wird als ${\displaystyle \mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S}$ geschrieben, und es gilt ${\displaystyle \exp(\mathrm {Log} (z))=z}$ im gesamten Bereich ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$. Der Begriff Hauptzweig motiviert sich daraus, dass die Wahl des Streifens ${\displaystyle S}$ naheliegend, aber keinesfalls eindeutig ist. Es hätte etwa auch der Streifen ${\displaystyle \pi <\mathrm {Im} (z)<3\pi }$ gewählt werden können – dies liegt in der ${\displaystyle 2\pi i}$-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion begründet. Der komplexe Logarithmus ist wegen der Eulerschen Formel verwandt zum Hauptzweig des Arguments ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ über die Relation[68]

${\displaystyle \mathrm {Log} (z)=\log |z|+i\mathrm {Arg} (z)}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \log(x)}$ den reellen natürlichen Logarithmus. Daraus folgt insbesondere für reelle Zahlen ${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle \lim _{z\to a \atop \operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))=\pm 1}\mathrm {Log} (z)=\log |a|\pm \pi i,}$

und die Signumfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ deutet an, ob sich der Limes von oben oder unten nähert.[69] Es gilt in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$ die Ableitungsformel[70]

${\displaystyle \mathrm {Log} '(z)={\frac {1}{z}}.}$

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Komplexe Sinusfunktion

Als Kompositionen a​us Exponentialfunktionen s​ind Sinus u​nd Kosinus bzw. Sinus hyperbolicus u​nd Kosinus hyperbolicus g​anze Funktionen.[71][72] Exemplarisch gilt

${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

und dies ist eine ganze Funktion. Im Gegensatz dazu sind die Funktionen Tangens und Kotangens bzw. Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus keine ganzen Funktionen, jedoch in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ meromorph, also holomorph bis auf eine diskrete Menge von Polstellen. Zum Beispiel hat der Tangens hyperbolicus im Komplexen die Polstellenmenge ${\displaystyle \{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}}$.

Arkus- und Areafunktionen

Die Arkusfunktionen lassen sich, betrachtet um den Punkt ${\displaystyle z=0}$, holomorph in die Einheitskreisscheibe fortsetzen. Man definiert etwa

${\displaystyle \mathrm {arcsin} (z):=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {1-w^{2}}}},\qquad |z|<1.}$

Der Integrand i​st eine i​n der offenen Einheitskreisscheibe holomorphe Funktion, weshalb d​as Integral erneut e​ine holomorphe Funktion darstellt.

Beliebige Potenzfunktionen

Über d​en komplexen Logarithmus lassen s​ich beliebige Potenzfunktionen a​uch im Komplexen verstehen. Diese stellen i​m Allgemeinen jedoch k​eine ganzen Funktionen dar.

Ist ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ beliebig, so definiert man für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle z^{s}:=e^{s\mathrm {Log} (z)}.}$

Dies stellt als Verkettung holomorpher Funktionen eine auf dem Elementargebiet ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}}$ holomorphe Funktion dar. In manchen Anwendungen ist es jedoch von Vorteil, die Unstetigkeitsgerade als die positive reelle Achse zu wählen. Dann setzt man alternativ

${\displaystyle z^{s}=e^{s(\pi i+\mathrm {Log} (-z))}.}$

Nirgends komplex differenzierbare Funktionen

In keinem ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise

• die Betragsfunktion ${\displaystyle z\mapsto |z|}$,
• die Projektionen auf den Realteil ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Re} (z)}$ beziehungsweise auf den Imaginärteil ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Im} (z)}$,
• die komplexe Konjugation ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$.

Die Funktion ${\displaystyle z\mapsto |z|^{2}}$ ist nur an der Stelle ${\displaystyle z=0}$ komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht in einer ganzen Umgebung von ${\displaystyle 0}$ komplex differenzierbar ist.

Charakterisierungen des Holomorphiebegriffs

Ist ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ offen, so sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ gleichwertig:[73]

1. Die Funktion ist in ganz ${\displaystyle U}$ einmal komplex differenzierbar.
2. Die Funktion ist in ganz ${\displaystyle U}$ beliebig oft komplex differenzierbar.
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell differenzierbar.
4. Die Funktion lässt sich überall in ${\displaystyle U}$ lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktion besitzt lokal eine Stammfunktion, d. h., für jedes ${\displaystyle a\in U}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U(a)\subset U}$, sodass ${\displaystyle f|_{U(a)}}$ eine Stammfunktion besitzt.
7. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe, deren Abschluss in ${\displaystyle U}$ liegt, lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ermitteln.
8. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist reell differenzierbar und es gilt

${\displaystyle \quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)}$ definiert ist.[74]

Nullstellen und Singularitäten

Nullstellen

Im Gegensatz zu beliebigen reell differenzierbaren Funktionen haben holomorphe Funktionen ein sehr kontrolliertes Nullstellenverhalten. Hintergrund ist der sog. Identitätssatz für holomorphe Funktionen, der sicherstellt, dass eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ nicht konstante holomorphe Funktion in dessen Innerem keine Werte häufen kann. Insbesondere gilt: Ist ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ holomorph, so ist jede der Fasern

${\displaystyle f^{-1}(a):=\{z\in D\mid f(z)=a\}}$

lokal endlich in ${\displaystyle D}$, und es folgt, dass ${\displaystyle f}$ nur höchstens abzählbar viele sog. ${\displaystyle a}$-Stellen besitzt.[75] Von besonderem Interesse ist ${\displaystyle a=0}$, also gerade die Nullstellen von ${\displaystyle f}$.

Singularitäten

→ Hauptartikel: Isolierte Singularität

Holomorphie einer Funktion auf einer offenen Menge ist eine starke Eigenschaft und zieht viele Konsequenzen hinsichtlich Integrationstheorie oder Abbildungseigenschaften nach sich. So strahlt die Analytizität in einem Punkt stets auf umliegende Punkte aus. Es kann die Frage gestellt werden, was ausgehend von einem bestimmten Punkt ${\displaystyle a\in U}$ einer offenen Menge über das Verhalten einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ ausgesagt werden kann. Dabei befindet sich ${\displaystyle a}$ im Innern von ${\displaystyle U}$ und liegt damit isoliert in einer lückenlosen Menge von Punkten, auf denen ${\displaystyle f}$ ein aus analytischer Sicht sehr starkes Verhalten hat. Man bezeichnet ein solches ${\displaystyle a}$ auch als isolierte Singularität.[76]

Es ist ein wichtiges Resultat, dass die holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$ „um ${\displaystyle a}$ herum“ nur drei verschiedene Arten von Verhalten aufweisen kann. Exemplarisch sind die Funktionen

${\displaystyle z\mapsto {\frac {\sin(z)}{z}}}$, ${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z}}}$ und ${\displaystyle z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)}$

allesamt holomorph in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, weisen aber um den Nullpunkt herum ein sehr unterschiedliches Verhalten auf.[76]

Der Typ einer Singularität lässt sich eindeutig aus den Koeffizienten der in ihr entwickelten Laurent-Reihe der Funktion ${\displaystyle f}$ ablesen.[77]

Hebbare Singularität

→ Hauptartikel: Hebbare Singularität

Eine hebbare Singularität liegt vor, wenn die holomorphe Funktion um ${\displaystyle a}$ herum beschränkt ist, also „ganz normales“ Verhalten aufweist. Es ist also ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ für alle ${\displaystyle z}$ in einer hinreichend kleinen punktierten Umgebung von ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle U}$. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann ${\displaystyle f}$ in einem solchen Fall immer stetig, ja sogar holomorph, auf ganz ${\displaystyle U}$ fortgesetzt werden.[78] Es gibt also eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ , die auf ganz ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$ mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt.[76]

Beispiele für Funktionen m​it hebbaren Singularitäten sind

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-1}{z-1}}}$ an der Stelle ${\displaystyle a=1}$, holomorphe Fortsetzung ist ${\displaystyle {\widehat {f}}(z)=z+1}$,

oder auch

${\displaystyle f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}}$ an der Stelle ${\displaystyle a=0}$, holomorphe Fortsetzung ist der Kardinalsinus, mit der Potenzreihenentwicklung ${\displaystyle 1-{\tfrac {z^{2}}{6}}+{\tfrac {z^{4}}{120}}-\cdots }$.

Polstelle

→ Hauptartikel: Polstelle

Betrag der komplexen Gammafunktion, einer meromorphen Funktion. Zu erkennen an den „Spitzen“ sind die Polstellen.

Eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C} }$ hat eine Polstelle der Ordnung ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ in ${\displaystyle c}$, falls sie in einer Umgebung von ${\displaystyle c}$ als Quotient

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-c)^{m}}}}$

mit einem holomorphen ${\displaystyle h}$ mit ${\displaystyle h(c)\not =0}$ geschrieben werden kann.[79] Eine Polstelle beliebiger Ordnung lässt sich zudem durch das lokale Abbildungsverhalten von ${\displaystyle f}$ charakterisieren. Es hat ${\displaystyle f}$ genau dann einen Pol in ${\displaystyle a}$, falls gilt

${\displaystyle \lim _{z\to a}|f(z)|=\infty }$.

Das Merkmal e​iner Polstelle i​st also, d​ass sich d​ie Punkte i​n einer Umgebung n​icht chaotisch verhalten, sondern i​n einem gewissen Sinne gleichmäßig g​egen Unendlich streben.[80]

Ist ${\displaystyle c}$ eine Polstelle der Ordnung ${\displaystyle m}$ von ${\displaystyle f(z)}$, so hat die Laurent-Entwicklung von ${\displaystyle f}$ um diese notwendigerweise die Gestalt

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-m}}{(z-c)^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{(z-c)^{m-1}}}+\cdots =\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},\qquad a_{-m}\not =0.}$

Eine solche Entwicklung ist gleichzeitig hinreichend für die Existenz eines Pols der Ordnung ${\displaystyle m}$.[77]

Beispielsweise hat die auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ holomorphe Funktion ${\displaystyle f(z)={\tfrac {e^{z}}{z^{4}}}}$ einen Pol vierter Ordnung in ${\displaystyle z=0}$.

Wesentliche Singularität

→ Hauptartikel: Wesentliche Singularität

Koloriertes Schaubild der Funktion ${\displaystyle z\mapsto \exp({\tfrac {1}{z}})}$. Der Ursprung ist eine wesentliche Singularität.

Eine Singularität wird als wesentlich bezeichnet, wenn sie weder hebbar noch Polstelle ist.[80] Sie lässt sich über den Satz von Casorati-Weierstraß charakterisieren, der besagt, dass eine holomorphe Funktion in jeder punktierten Umgebung einer wesentlichen Singularität jeder beliebigen komplexen Zahl beliebig nahe kommt. Zu jeder punktierten Umgebung ${\displaystyle V\setminus \{c\}}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ und zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es also für alle ${\displaystyle v\in \mathbb {C} }$ ein ${\displaystyle w\in V\setminus \{c\}}$ mit ${\displaystyle |f(w)-v|<\varepsilon }$.[81]

Alternativ lässt sich eine wesentliche Singularität ${\displaystyle c}$ an den Koeffizienten der Laurent-Reihe ablesen. Genau dann wenn ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ die Laurent-Reihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

mit ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ für unendlich viele ${\displaystyle n<0}$ besitzt, ist ${\displaystyle c}$ eine wesentliche Singularität.[77]

Meromorphe Funktionen

→ Hauptartikel: Meromorphe Funktion

Formal wird das Symbol ${\displaystyle \infty$ :={\tfrac {1}{0}}} definiert. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ heißt meromorphe Funktion, falls die Menge ${\displaystyle S(f):=f^{-1}(\{\infty \})}$ diskret in ${\displaystyle D}$ liegt, die Einschränkung ${\displaystyle f_{0}\colon D\setminus S(f)\to \mathbb {C} }$ holomorph ist und jeder der Punkte aus ${\displaystyle S(f)}$ eine Polstelle von ${\displaystyle f}$ ist.[82]

Nimmt m​an also d​ie isolierten Polstellen e​iner holomorphen Funktion „mit i​n den Definitionsbereich auf“, s​o spricht m​an allgemein a​uch von e​iner meromorphen Funktion. Der Zusammenschluss a​ller auf e​inem Gebiet meromorpher Funktionen bildet e​inen Körper.[82] Dabei werden Polstellen a​ls Kehrwerte v​on Nullstellen aufgefasst, w​obei der Wert Unendlich mittels d​er stereographischen Projektion a​uf die Riemannsche Zahlenkugel a​ls „Nordpol“ interpretiert werden kann,[83] w​oher auch d​ie Bezeichnung Polstelle rührt.

In einigen Anwendungen ist die Voraussetzung der Holomorphie zu restriktiv. Zum Beispiel sind alle holomorphen elliptischen Funktionen zu einem beliebigen Gitter bereits konstant.[84] Erst beim Übergang zu auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ meromorphen elliptischen Funktionen erhält man nichttriviale Beispiele, wie etwa die Weierstraßschen p-Funktionen.[85]

Residuenkalkül

Das Residuum

→ Hauptartikel: Residuum (Funktionentheorie)

Ist die Funktion ${\displaystyle f}$ auf einer punktierten Kreisscheibe ${\displaystyle {\dot {U}}_{\delta }(c)}$ holomorph, so kann sie um ${\displaystyle c}$ in eine Laurent-Reihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

entwickelt werden. Das Residuum bezieht sich auf den Term in dieser Reihe, der keine Stammfunktion auf ${\displaystyle {\dot {U}}_{\delta }(c)}$ besitzt, nämlich ${\displaystyle {\tfrac {a_{-1}}{z-c}}.}$ Es definiert jedoch nicht diesen Term, sondern lediglich den zugehörigen Koeffizienten, man schreibt[86]

${\displaystyle \mathrm {Res} (f;c):=a_{-1}.}$

Das Residuum i​st ein Funktional, d. h. e​ine lineare Abbildung v​om Raum d​er holomorphen Funktionen i​n die komplexen Zahlen.

Residuensatz

→ Hauptartikel: Residuensatz

Der Residuensatz gehört z​u den zentralen Sätzen d​er Funktionentheorie. Er besagt, d​ass das geschlossene Kurvenintegral e​iner holomorphen Funktion i​n einem Elementargebiet o​hne eine diskrete Menge a​n Singularitäten n​ur von d​en isolierten Singularitäten d​es Integranden u​nd den Windungszahlen d​er Integrationskurve abhängt. Damit w​ird durch i​hn die Integralformel v​on Cauchy verallgemeinert. Da i​n vielen Fällen d​ie Behandlung d​er isolierten Singularitäten unkompliziert ist, k​ann er z​u einer schnellen Berechnung v​on Integralen beitragen, selbst w​enn keine Stammfunktion gefunden werden kann.

Präzise besagt der Residuensatz, dass, falls ${\displaystyle D}$ ein Elementargebiet ist, ${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{n}\}\subset D}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Teilmenge, ${\displaystyle f\colon D\setminus \{s_{1},\dots ,s_{n}\}\to \mathbb {C} }$ holomorph, und ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D\setminus \{s_{1},\dots ,s_{n}\}}$ eine stückweise glatte, geschlossene Kurve, dann gilt die Residuenformel[86]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{j=1}^{n}\chi (\gamma ;s_{j})\mathrm {Res} (f;s_{j}),}$

wobei ${\displaystyle \chi (\gamma ;s_{j})}$ die Umlaufzahl von ${\displaystyle \gamma }$ rund um ${\displaystyle s_{j}}$ bezeichnet. Der Wert des Integrals hängt also nur von den Residuen der Funktion ${\displaystyle f}$ und deren Umlaufzahl ab.

Bedeutung

Der Residuensatz z​ieht einige wichtige Folgerungen für d​ie Funktionentheorie n​ach sich. Es werden e​in paar i​n der Literatur übliche Anwendungen angeführt.

Null- und Polstellen zählendes Integral

→ Hauptartikel: Prinzip vom Argument

Ist ${\displaystyle f}$ eine auf einem Elementargebiet ${\displaystyle D}$ meromorphe Funktion und umschließt die stückweise glatte geschlossene Kurve ${\displaystyle \gamma }$ alle Null- und Polstellen von ${\displaystyle f}$ genau einmal in mathematisch positiver Richtung, so gilt für die Anzahl von Null- und Polstellen ${\displaystyle N(0)}$ bzw. ${\displaystyle N(\infty )}$ die exakte Formel[87]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=N(0)-N(\infty ).}$

Satz von Rouché

→ Hauptartikel: Satz von Rouché

Es seien ${\displaystyle f,g}$ holomorphe Funktionen auf einem Elementargebiet ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle \gamma }$ eine stückweise glatte geschlossene Kurve in ${\displaystyle D}$, sodass diese jeden Punkt in deren Innerem genau einmal positiv umläuft. Es gelte ${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|}$ für alle ${\displaystyle z\in \gamma ([0,1])}$. Dann haben die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f+g}$ keine Nullstellen auf ${\displaystyle \gamma ([0,1])}$ und, mit Vielfachheit gerechnet, gleich viele Nullstellen im Innern der Kurve.[88]

Der Satz v​on Rouché k​ann auch a​uf meromorphe Funktionen ausgeweitet werden.

Explizite Berechnung von Integralen

Der Residuensatz kann in manchen Fällen zur Berechnung von Integralen, zum Beispiel über rationale Funktionen, dienen. Ein Beispiel ist die für ganze Zahlen ${\displaystyle 0\leq k<n}$ gültige Formel[89]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {t^{2k}}{1+t^{2n}}}\mathrm {d} t={\frac {\pi }{n\sin \left({\frac {(2k+1)\pi }{2n}}\right)}}.}$

Auch k​ann er z​ur Berechnung d​er Partialbruchzerlegung d​es Kotangens,[90] z​ur Lösung d​es Basler Problems[91] u​nd zum Beweis d​er Formel[92]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}}$

herangezogen werden. Auch d​ie explizite Berechnung Fresnelscher Integrale i​st mit d​em Residuensatz möglich.[93]

Abbildungseigenschaften

Identitätssatz

→ Hauptartikel: Identitätssatz für holomorphe Funktionen

Bei Anwendung des Identitätssatzes muss gewährleistet sein, dass die betrachtete Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Menge (einem Gebiet), etwa A, lebt. Im Gegensatz dazu ist B nicht zusammenhängend.

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. So genügt es bereits, dass zwei auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ auf einer Teilmenge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in ${\displaystyle D}$ hat, um global ${\displaystyle f=g}$ zu folgern. Dabei ist ein ${\displaystyle z\in D}$ Häufungspunkt der Teilmenge ${\displaystyle M\subset D}$, falls in jeder noch so kleinen offenen Umgebung von ${\displaystyle z}$ unendlich viele Elemente von ${\displaystyle M}$ liegen. Betont sei an dieser Stelle die Bedingung, dass sich der Häufungspunkt innerhalb des Gebietes befinden muss. Wird dies nicht gefordert, ist die obere Aussage im Allgemeinen falsch.

Präziser lässt s​ich zeigen, d​ass folgende Aussagen äquivalent sind:[94]

1. ${\displaystyle f=g}$.
2. Die Koinzidenzmenge ${\displaystyle \{z\in D\mid f(z)=g(z)\}}$ hat einen Häufungspunkt in ${\displaystyle D}$.
3. Es gibt einen Punkt ${\displaystyle z_{0}\in D}$, sodass für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle n\geq 0}$ die Gleichheit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})}$ gilt.

Beim Identitätssatz ist die Bedingung an ${\displaystyle D}$, ein Gebiet zu sein, wichtig, da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist. Zum Beispiel stimmen die beiden holomorphen Funktionen

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in U_{1}(0)\\1,&\quad z\in U_{1}(42)\end{cases}}}$

und

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in U_{1}(0)\\2,&\quad z\in U_{1}(42)\end{cases}}}$

sogar auf ganz ${\displaystyle U_{1}(0)}$ überein, sind jedoch global betrachtet nicht gleich, da ${\displaystyle f(42)\not =g(42)}$. Es ist ${\displaystyle D=U_{1}(0)\cup U_{1}(42)}$ kein Gebiet, da es als disjunkte Vereinigung nicht leerer offener Mengen geschrieben werden kann. Ebenfalls wichtig ist, dass der Häufungspunkt ein Teil des Gebietes ist. So ist etwa die Funktion ${\displaystyle z\mapsto \sin \left({\tfrac {\pi }{z}}\right)}$ holomorph in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ und nimmt den Wert 0 für alle ${\displaystyle z=1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,{\tfrac {1}{n}},\dots }$ an, stimmt aber nicht mit der Nullfunktion überein. Es ist zu beachten, dass der Häufungspunkt 0 der Folge ${\displaystyle n\mapsto {\tfrac {1}{n}}}$ nicht Teil von ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ist.[95]

Satz von der Gebietstreue

→ Hauptartikel: Satz von der Gebietstreue

Einfach gesprochen s​agt der Satz v​on der Gebietstreue, d​ass eine n​icht konstante holomorphe Funktion Gebiete i​n Gebiete überführt.

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ holomorph und nicht konstant, so ist ${\displaystyle f(D)\subseteq \mathbb {C} }$ wieder ein Gebiet. Dieses Offenheitsprinzip ist für stetige Funktionen, bei denen lediglich Urbilder offener Mengen offen sein müssen, im Allgemeinen nicht richtig. Es scheitert beispielsweise bereits bei differenzierbaren Funktionen in den reellen Zahlen, wo der Sinus den nicht offenen Wertevorrat ${\displaystyle \sin(\mathbb {R} )=[-1,1]}$ besitzt.[96]

Beim Beweis des Satzes von der Gebietstreue geht als wichtiger Zwischenschritt das lokale Abbildungsverhalten nichtkonstanter holomorpher Funktionen ein, siehe unten. Im Reellen scheitert die Aussage, dass ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ eine Umgebung von 0 auf eine Umgebung von 0 abbildet, zum Beispiel ist hier stets ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$.

Als einfache Folgerungen des Satzes der Gebietstreue ergibt sich, dass eine auf einem Gebiet holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$, für die entweder ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Re} (f(z))}$, ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Im} (f(z))}$ oder ${\displaystyle z\mapsto |f(z)|}$ konstant ist, bereits konstant sein muss.[97]

Es existiert a​uch eine quantitative Version d​es Satzes d​er Gebietstreue.[98]

Lokales Abbildungsverhalten

Es kann gezeigt werden, dass sich jede nichtkonstante holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ im Wesentlichen wie eine Potenz verhält. Genauer gesagt gilt: Ist ${\displaystyle f}$ nichtkonstant und holomorph in einem Gebiet um 0 und gilt ${\displaystyle f(0)=0}$, so existiert eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$, eine kleine Umgebung ${\displaystyle U}$ um die 0, eine biholomorphe Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon U\to V}$ mit ${\displaystyle \varphi (0)=0}$, sodass

${\displaystyle f(z)=\varphi (z)^{n}}$

für alle ${\displaystyle z\in U}$.[97] Insbesondere folgt nach dem Variablenwechsel ${\displaystyle z=\varphi ^{-1}(w)}$ die Identität

${\displaystyle f(\varphi ^{-1}(w))=w^{n}}$

für alle ${\displaystyle w\in V}$. Die Zahl ${\displaystyle n}$ ist dabei eindeutig bestimmt. Insbesondere ist ${\displaystyle f}$ genau dann lokal biholomorph, wenn ${\displaystyle n=1}$ gilt.

Maximum- und Minimumprinzip

→ Hauptartikel: Maximumprinzip

Eine Folgerung des Satzes über die Gebietstreue ist das sog. Maximumprinzip. Dieses sagt aus, dass eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$, die im Innern von ${\displaystyle D}$ ein lokales Maximum bei ${\displaystyle z}$ annimmt, bereits konstant sein muss. Existiert zu ${\displaystyle z\in D}$ also eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$, sodass ${\displaystyle |f(a)|\leq |f(z)|}$ für alle ${\displaystyle a\in U}$, so ist ${\displaystyle f}$ konstant. Dieses Prinzip kann auch anders formuliert werden: Jede nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem beschränkten Gebiet ${\displaystyle D}$ mit stetiger Fortsetzung auf den Rand ${\displaystyle \partial D}$ nimmt auf diesem ihr Maximum an. Dabei ist die Beschränktheit des Gebietes von zentraler Bedeutung. Ist ${\displaystyle D}$ nämlich unbeschränkt, so ist die Aussage in dieser Form nicht mehr gültig. Betrachtet man beispielsweise die Funktion ${\displaystyle g(z)=e^{e^{z}}}$, so gilt

${\displaystyle \left|e^{e^{z}}\right|=e^{\mathrm {Re} (e^{x+iy})}=e^{e^{x}\cdot \cos(y)},}$

wobei ${\displaystyle z=x+iy}$. Damit stellt man fest, dass ${\displaystyle g(z)}$ zwar auf dem Rand des Streifens ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid -{\tfrac {\pi }{2}}<\mathrm {Im} (z)<{\tfrac {\pi }{2}}\}}$ beschränkt ist, jedoch in dessen Innerem für ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\to \infty }$ über alle Grenzen hinauswächst. Als Beweis des Maximumsprinzips reicht die Erkenntnis, dass nach dem Satz der Gebietstreue jeder Punkt ${\displaystyle f(z)}$ in ${\displaystyle f(D)}$ ein innerer Punkt ist, womit es in seiner Umgebung aber stets Punkte gibt, deren Betrag größer als ${\displaystyle |f(z)|}$ ist.[99]

Verwandt zum Maximumsprinzip ist das Minimumprinzip. Ist ${\displaystyle f}$ wie oben nicht konstant und hat es ein Betragsminimum ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle D}$, so muss ${\displaystyle z}$ notwendigerweise eine Nullstelle von ${\displaystyle f}$ sein.[100]

Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz von Phragmén-Lindelöf, von Lars Phragmén und Ernst Lindelöf im Jahr 1908 publiziert,[101] kann als eine Erweiterung des Maximumprinzips angesehen werden. Er gibt nun ein Kriterium, mit dessen Hilfe Beschränktheit der Funktion innerhalb ihres unbeschränkten Definitionsgebiets gefolgert werden kann. Sei ${\displaystyle D}$ ein Elementargebiet und ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ holomorph. Es gebe eine holomorphe Funktion ${\displaystyle \varphi \colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ , die keine Nullstellen hat und zudem beschränkt ist. Der Rand, einschließlich eines unendlich fernen Punktes ${\displaystyle \infty }$, zerfalle in Teile ${\displaystyle \partial _{\infty }D=A\cup B}$, sodass für eine Konstante ${\displaystyle M>0}$ gilt:

1. Für jedes ${\displaystyle a\in A}$ ist ${\displaystyle \limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M}$.
2. Für jedes ${\displaystyle b\in B}$ und ein festes ${\displaystyle \mu >0}$ gilt ${\displaystyle \limsup _{z\to b}|f(z)||\varphi (z)|^{\mu }\leq M}$.

Dann gilt bereits ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ für alle ${\displaystyle z\in D}$.[102] Das Symbol ${\displaystyle \limsup }$ bezeichnet den Limes superior.

Eine andere Variante des Satzes besagt: Sei ${\displaystyle f}$ stetig auf dem Streifen ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \mathrm {Re} (z)\leq {\tfrac {\pi }{2}}}$ und holomorph in dessen Innerem. Es gelte ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ für alle Randwerte ${\displaystyle z}$, also mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)={\tfrac {\pi }{2}}}$ oder ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=-{\tfrac {\pi }{2}}}$, und es gebe Konstanten ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ und ${\displaystyle C>0}$ mit

${\displaystyle |f(z)|\leq \exp \left(Ce^{\alpha |z|}\right).}$

Dann gilt ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ auch im Innern des Streifens.[103] Dass der Satz für ${\displaystyle \alpha =1}$ nicht mehr stimmt, zeigt das weiter oben angeführte Beispiel ${\displaystyle z\mapsto e^{e^{z}}}$.

Der Satz v​on Phragmén-Lindelöf h​at Anwendung u​nter anderem i​n der Theorie d​er L-Funktionen. Mit seiner Hilfe k​ann deren Wachstumsverhalten i​m sog. kritischen Streifen analysiert werden, e​twa im Rahmen d​es Heckeschen Umkehrsatzes.[104]

Hadamardscher Dreikreisesatz

→ Hauptartikel: Hadamardscher Dreikreisesatz

Das Verhalten der Betragsmaxima einer holomorphen Funktion auf Kreislinien innerhalb eines Ringgebiets ist konvex bezüglich der logarithmierten Radien. Ist also ${\displaystyle f}$ holomorph auf dem abgeschlossenen Ringgebiet ${\displaystyle 0<\alpha \leq |z|\leq \beta }$, mit dem Ursprung als Mittelpunkt, und definiert man

${\displaystyle M(r):=\sup _{|z|=r}|f(z)|,}$

so g​ilt stets[105]

${\displaystyle \log \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)\log M(r)\leq \log \left({\frac {\beta }{r}}\right)\log M(\alpha )+\log \left({\frac {r}{\alpha }}\right)\log M(\beta ).}$

Diese als Hadamardscher Dreikreisesatz benannte Aussage ist verwandt zu Sätzen über holomorphe Funktionen auf Streifen. Ist ${\displaystyle f}$ holomorph und beschränkt auf einem Streifen ${\displaystyle a\leq \mathrm {Re} (z)\leq b}$, so ist die Funktion

${\displaystyle M(\sigma ):=\sup _{t\in \mathbb {R} }|f(\sigma +it)|}$

konvex.[106] Diese Feststellung lässt sich auf den Fall höchstens polynomiell wachsender Funktionen weiter übertragen. Sei ${\displaystyle f}$ in dieser Situation durch ein Polynom beschränkt, und bezeichne ${\displaystyle \psi (\sigma )}$ zu jedem ${\displaystyle a\leq \sigma \leq b}$ die kleinste Zahl mit

${\displaystyle |f(\sigma +it)|\ll |t|^{\psi (\sigma )+\varepsilon }}$

für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Dann ist ${\displaystyle \psi (\sigma )}$ eine konvexe und insbesondere stetige Funktion auf ${\displaystyle [a,b]}$, sofern ${\displaystyle f}$ endliche Ordnung auf dem Streifen hat.[105]

Diese Aussagen s​ind zum Beispiel i​m Umkreis d​er Lindelöfschen Vermutung bezüglich d​er Riemannschen Zeta-Funktion v​on Interesse.[107]

Jensensche Formel

→ Hauptartikel: Jensensche Formel

Die Jensensche Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer holomorphen Funktion auf Kreisrändern und deren Nullstellenverteilung her. Ist ${\displaystyle f\not =0}$ eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion, sodass ${\displaystyle D}$ die Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}}$ enthält, und sind ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ die Nullstellen von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle B_{r}(0)}$ (bei Vielfachheit mehrfach wiederholt), so gilt mit ${\displaystyle f(0)\not =0}$ bereits[108]

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .}$

Eine Verallgemeinerung stellt die Poisson-Jensen-Formel dar, die unter obigen Voraussetzungen für jedes ${\displaystyle |z|<r}$ mit ${\displaystyle f(z)\not =0}$ anwendbar ist:[108]

${\displaystyle \log |f(z)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {r^{2}-{\overline {a_{k}}}z}{r(z-a_{k})}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} \left({\frac {re^{i\theta }+z}{re^{i\theta }-z}}\right)\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .}$

Sie spielt e​ine wichtige Rolle b​eim Beweis d​es Produktsatzes v​on Hadamard für holomorphe Funktionen, z​um Beispiel i​m Umfeld v​on L-Funktionen.

Satz von Liouville

→ Hauptartikel: Satz von Liouville

Joseph Liouville

Der Satz von Liouville besagt, dass jede beschränkte ganze Funktion bereits konstant ist. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass jede nicht-konstante ganze Funktion bereits unbeschränkt sein muss, langfristig also, im Absolutbetrag ${\displaystyle |f|}$ betrachtet, über alle Schranken wachsen wird. Zwar ist zum Beispiel die Funktion ${\displaystyle z\mapsto \cos(z)}$ im Reellen beschränkt, wird aber auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ betrachtet beliebig anwachsen. Der Satz wurde erstmals von Joseph Liouville im Jahr 1847, damals allerdings nur im Rahmen der Liouvilleschen Sätze im Spezialfall für elliptische Funktionen, bewiesen.[109]

Der Satz von Liouville ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel. Gilt ${\displaystyle \textstyle \sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|\leq C}$ , so folgt mittels der Standardabschätzung für Integrale für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ und Radien ${\displaystyle r>|z|}$:

${\displaystyle |f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|w-z|=r}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {2\pi r}{2\pi }}{\frac {C}{r^{2}}}={\frac {C}{r}}.}$

Dabei entstammt der Term ${\displaystyle 2\pi r}$ der Bogenlänge des kreisförmigen Integrationsweges. Durch beliebig große Wahl von ${\displaystyle r>0}$ folgt bereits ${\displaystyle f'=0}$, und da ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ein Gebiet ist, ist ${\displaystyle f}$ konstant.[110]

Eine einfache Folgerung des Satzes von Liouville ist der Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom über den komplexen Zahlen eine Nullstelle hat. Im Reellen gilt dies nicht, da zum Beispiel ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ dort nie Null wird. Für den Beweis wird unter der Annahme, ein nicht-konstantes Polynom ${\displaystyle P}$ habe keine Nullstelle, gefolgert, dass ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{P(z)}}}$ eine beschränkte ganze Funktion ist, also konstant. Dies erzeugt dann einen Widerspruch.[13]

Eine Variante des Satzes von Liouville sagt aus, dass jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon {\overline {\mathbb {C} }}\rightarrow \mathbb {C} }$ konstant ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ die Riemannsche Zahlenkugel.[111] Auch kann die Beschränktheitsbedingung abgeschwächt werden. Gilt stets ${\displaystyle |f(z)|\leq 1+|z|^{\frac {1}{2}}}$ für eine ganze Funktion ${\displaystyle f}$, so ist ${\displaystyle f}$ konstant.[112]

Eine Folgerung des Satzes von Liouville ist, dass das Bild ${\displaystyle f(\mathbb {C} )}$ einer nicht konstanten ganzen Funktion ${\displaystyle f}$ stets dicht in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist.[113]

Kleiner Satz von Picard

→ Hauptartikel: Kleiner Satz von Picard

Der kleine Satz von Picard stellt eine äußerst starke Verschärfung des Satzes von Liouville dar. Er sagt aus, dass jede nicht konstante ganze Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ bis auf eine mögliche Ausnahme jeden komplexen Wert annehmen muss.[114] Es gilt also entweder ${\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{a\}}$ mit einer Zahl ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$. Dabei kann auf den Fall der einen Ausnahme nicht verzichtet werden, da zum Beispiel die Exponentialfunktion ${\displaystyle z\mapsto e^{z}}$ niemals Null wird.

Lemma von Schwarz

→ Hauptartikel: Schwarzsches Lemma

Eine nützliche Anwendung des Maximumsprinzips ist der Beweis des Schwarzschen Lemmas: Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {E} }$ eine holomorphe Selbstabbildung der offenen Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} }$ mit der Fixierung des Ursprungs ${\displaystyle f(0)=0}$, so gilt ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {E} }$ und insbesondere ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$.[100]

Eine Verallgemeinerung d​es Schwarzschen Lemmas i​st das Lemma v​on Schwarz-Pick.[115]

Satz von Study

Eine wenig bekannte Anwendung des Schwarzschen Lemmas führt zum Satz von Study. Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {E} \to D}$ biholomorph und das Gebiet ${\displaystyle D}$ konvex, so ist jedes der Gebiete ${\displaystyle D_{r}:=f(U_{r}(0))}$ konvex, wobei ${\displaystyle 0<r<1}$. Ist zudem ${\displaystyle D}$ ein Sterngebiet mit Zentrum ${\displaystyle f(0)}$, so ist für alle ${\displaystyle 0<r<1}$ auch ${\displaystyle D_{r}}$ ein Sterngebiet mit Zentrum ${\displaystyle f(0)}$.[116]

Satz von Bloch

→ Hauptartikel: Satz von Bloch

Der Satz v​on Bloch, bewiesen 1925 v​on André Bloch, g​ibt eine Grenze für d​ie Komplexität d​es Bildgebiets holomorpher Funktionen an.

In der von Bloch gezeigten Version besagt der Satz, dass, wenn die offene Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$ enthält und ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit den Eigenschaften ${\displaystyle f(0)=0}$ und ${\displaystyle f'(0)=1}$ ist, es dann eine Kreisscheibe ${\displaystyle S\subset U}$ gibt, sodass die Einschränkung ${\displaystyle f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C} }$ injektiv ist und das Bild ${\displaystyle f(S)}$ eine Kreisscheibe mit Radius mindestens ${\displaystyle {\tfrac {1}{72}}}$ enthält.[117]

Man kann zur Verschärfung des Satzes für eine holomorphe Funktion unter obigen Voraussetzungen das Supremum ${\displaystyle \beta (f)}$ aller Radien ${\displaystyle r}$ definieren, sodass ${\displaystyle f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C} }$ injektiv für eine Kreisscheibe ${\displaystyle S\subset U}$ ist und ${\displaystyle f(S)}$ eine Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle r}$ enthält. Bildet man nun das Infimum all dieser Zahlen ${\displaystyle \beta (f)}$, wenn ${\displaystyle f}$ die obigen Eigenschaften hat, kann man die Blochsche Konstante definieren durch

${\displaystyle B:=\inf\{\beta (f)\mid f\in {\mathcal {O}}(V),\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}\subset V\}.}$

Der Satz von Bloch impliziert ${\displaystyle B\geq {\tfrac {1}{72}}}$, aber die Funktion ${\displaystyle f(z)=z}$ zeigt, dass auch ${\displaystyle B\leq 1}$. Es wurde bereits bewiesen, dass

${\displaystyle 0{,}43\leq B\leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}=0{,}47186165\ldots }$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma (s)}$ die Gammafunktion. Die Abschätzung nach oben stammt von Lars Ahlfors und Helmut Grunsky aus dem Jahr 1937.[118] Beide vermuteten zudem, dass ihre obere Schranke sogar der wahre Wert von ${\displaystyle B}$ ist, was jedoch unbewiesen ist.[119]

Satz von Schottky

Der Satz v​on Schottky m​acht eine Aussage über d​ie Werteverteilung e​iner holomorphen Funktion, d​ie zwei Werte i​n ihrem Bildbereich auslässt.

Der Satz besagt, dass für alle Werte ${\displaystyle 0<\alpha <\infty }$ und ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$ eine Konstante ${\displaystyle C(\alpha ,\beta )}$ existiert, mit folgender Eigenschaft: Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Elementargebiet, das die abgeschlossene Kreisscheibe ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$ enthält, und ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ eine beliebige holomorphe Funktion, welche die Werte 0 und 1 nicht annimmt und ${\displaystyle |f(0)|\leq \alpha }$ erfüllt, so gilt ${\displaystyle |f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )}$ für alle ${\displaystyle |z|\leq \beta }$.[120]

Daraus kann eine Aussage mit abgeschlossenen Kreisscheiben ${\displaystyle {\overline {B_{R}(0)}}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq R\}}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle R>0}$ gefolgert werden. Enthält das Elementargebiet ${\displaystyle D}$ die Menge ${\displaystyle {\overline {B_{R}(0)}}}$ und lässt die holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ die Werte 0 und 1 aus, so gilt im Falle ${\displaystyle |f(0)|\leq \alpha }$ für die Konstante ${\displaystyle C(\alpha ,\beta )}$ aus Schottkys Satz die Abschätzung ${\displaystyle |f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )}$ für alle ${\displaystyle |z|\leq \beta R}$.[121]

Satz von Casorati-Weierstraß

→ Hauptartikel: Satz von Casorati-Weierstraß

Sei ${\displaystyle z_{0}}$ ein Punkt des Gebietes ${\displaystyle D}$. Dann ist ${\displaystyle z_{0}}$ eine wesentliche Singularität der auf ${\displaystyle D\setminus \{z_{0}\}}$ holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ genau dann, wenn für jede in ${\displaystyle D}$ liegende Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ das Bild ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in ${\displaystyle z_{0}}$ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von ${\displaystyle f}$ approximiert werden kann.

Großer Satz von Picard

→ Hauptartikel: Großer Satz von Picard

Sei ${\displaystyle U}$ offen und ${\displaystyle c\in U}$ eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion ${\displaystyle f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C} }$ . Der große Satz von Picard besagt, dass dann nur zwei Fälle möglich sind:

1. Für jede punktierte Umgebung ${\displaystyle {\dot {V}}\subset U}$ von ${\displaystyle c}$ gilt ${\displaystyle f({\dot {V}})=\mathbb {C} }$ .
2. Für jede punktierte Umgebung ${\displaystyle {\dot {V}}\subset U}$ von ${\displaystyle c}$ gilt ${\displaystyle f({\dot {V}})=\mathbb {C} \setminus \{a\}}$ mit einem geeigneten ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$.

Demnach k​ommt die Funktion n​ahe ihrer wesentlichen Singularität n​icht nur j​edem Wert beliebig nahe, sondern nimmt, b​is auf e​ine mögliche Ausnahme, j​eden beliebigen Wert unendlich o​ft an.[122]

Folgen und Reihen holomorpher Funktionen

Weierstraßscher Konvergenzsatz

→ Hauptartikel: Weierstraßscher Konvergenzsatz

Es sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ offen und ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge auf ${\displaystyle U}$ holomorpher Funktionen. Wird angenommen, dass ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gleichmäßig auf kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset U}$ gegen eine Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert, so besagt der Satz von Weierstraß, dass die Grenzfunktion ${\displaystyle f}$ wieder holomorph ist und man Limesbildung und Differentiation vertauschen kann. Das heißt, die Folge ${\displaystyle (f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert ebenfalls kompakt gegen ${\displaystyle f'}$.[123]

Der Beweis des Satzes ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass sich die komplexe Differenzierbarkeit nach dem Satz von Morera durch ein Integralkriterium ausdrücken lässt und dass das betroffene Kurvenintegral stabil unter gleichmäßiger Konvergenz ist. Die Aussage über die Folge ${\displaystyle (f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ergibt sich aus der Cauchyschen Integralformel.[123]

Der Satz kann weiter verschärft werden. Es sei ${\displaystyle D}$ ein beschränktes Gebiet und ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle D}$ holomorpher Funktionen mit stetiger Fortsetzung nach ${\displaystyle \partial D}$, sodass die Einschränkung ${\displaystyle (f_{n}|_{\partial D})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf ${\displaystyle \partial D}$ gleichmäßig konvergiert. Dann konvergiert ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gleichmäßig gegen eine in ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion, die sich stetig nach ${\displaystyle \partial D}$ fortsetzt.[124]

Die analoge Aussage im Reellen ist falsch. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß ist jede nur stetige Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge von Polynomen. Allerdings gibt es auch einen Stabilitätssatz im Reellen, der unter Bedingungen an die Folge ${\displaystyle (f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ richtig ist.[123]

Integralfolgen

Einige holomorphe Funktionen treten als Integrale in Erscheinung. Es gilt dabei Folgendes. Es sei ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle (z,t)\mapsto F(z,t)}$ eine stetige komplexwertige Funktion auf ${\displaystyle U\times [a,b]}$, wobei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ eine offene Menge bezeichnet. Ferner sei ${\displaystyle z\mapsto F(z,t)}$ für jedes fixierte ${\displaystyle t}$ eine holomorphe Funktion. Dann ist die Funktion

${\displaystyle f(z)=\int _{a}^{b}F(z,t)\mathrm {d} t}$

holomorph in ${\displaystyle U}$.[125] In Kombination mit dem Weierstraßschen Konvergenzsatz können damit auch Integrale mit unendlichen Grenzen behandelt werden. Ein wichtiges Beispiel ist die Gammafunktion. Die Integrale

${\displaystyle \Gamma _{n}(z):=\int _{\frac {1}{n}}^{n}e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t}$

stellen nach eben genanntem Kriterium eine Funktionenfolge holomorpher Funktionen dar. Es lässt sich zeigen, dass auf Kompakta in ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Re} (z)>0\}}$ gleichmäßige Konvergenz für ${\displaystyle n\to \infty }$ vorliegt. Damit ist die Grenzfunktion

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t}$

eine in ganz ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Re} (z)>0\}}$ holomorphe Funktion.[126]

Satz von Hurwitz

→ Hauptartikel: Satz von Hurwitz

Der Satz v​on Hurwitz trifft e​ine Aussage über d​as lokale Nullstellenverhalten e​iner holomorphen Funktionenfolge, d​eren Grenzfunktion wieder holomorph ist.

Sei ${\displaystyle D}$ ein Gebiet und ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge holomorpher Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ mit nicht konstanter holomorpher Grenzfunktion ${\displaystyle f}$. Es gelte zudem ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ für ein ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Dann gibt es zu jeder Kreisscheibe ${\displaystyle U_{r}(z_{0})\subset D}$ ein ${\displaystyle N}$, sodass jede der Funktionen ${\displaystyle f_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq N}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle U_{r}(z_{0})}$ hat.[127]

Mit anderen Worten, konvergiert e​ine Folge a​uf einem Gebiet holomorpher Funktionen g​egen eine holomorphe Grenzfunktion m​it Nullstelle, s​o werden fast alle Folgeglieder beliebig n​ahe an d​er Nullstelle verschwinden.[127]

Eine wichtige Folgerung des Satzes von Hurwitz betrifft Folgen injektiver holomorpher Funktionen. Besteht die konvergente Folge ${\displaystyle f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C} }$ aus injektiven holomorphen Funktionen und ist die holomorphe Grenzfunktion nicht konstant, so ist diese wieder injektiv.[128]

Satz von Montel

→ Hauptartikel: Satz von Montel

Ist eine Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ holomorpher Funktionen auf ${\displaystyle U}$ lokal beschränkt, so existiert eine kompakt konvergente Teilfolge. Der Beweis dieses Satzes wird mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß geführt und beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes verwendet.[129]

Dienlich für den Beweis ist ebenfalls folgender Hilfssatz. Ist ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine beschränkte Folge auf ${\displaystyle U}$ holomorpher Funktionen, die auf einer dichten Teilmenge ${\displaystyle S\subset U}$ punktweise konvergiert, so konvergiert sie sogar in ganz ${\displaystyle U}$, und zwar lokal gleichmäßig.[130]

Satz von Vitali

→ Hauptartikel: Satz von Vitali (Funktionentheorie)

Folgende Aussagen über eine im Gebiet ${\displaystyle D}$ lokal beschränkte Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ holomorpher Funktionen sind äquivalent:[131]

1. Die Folge ist in ${\displaystyle D}$ kompakt konvergent.
2. Es existiert ein Punkt ${\displaystyle c\in D}$, sodass für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ die Zahlenfolge ${\displaystyle f_{1}^{(k)}(c),f_{2}^{(k)}(c),f_{3}^{(k)}(c),\dots }$ konvergiert.
3. Die Menge ${\displaystyle A:=\{z\in D\mid \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\in \mathbb {C} \}}$ der Konvergenzpunkte hat einen Häufungspunkt in ${\displaystyle D}$.

Satz von Carathéodory-Landau

Es seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle a\not =b}$ und ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge holomorpher Funktionen ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} \setminus \{a,b\}}$ . Es existiere ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(w)}$ für eine Menge von Punkten in ${\displaystyle D}$, die in ${\displaystyle D}$ einen Häufungspunkt hat. Dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ kompakt in ${\displaystyle D}$, hat also eine holomorphe Grenzfunktion.[132]

Punktweise konvergente Folgen

Die Frage, ob im Satz von Vitali die Voraussetzung der lokalen Beschränktheit durch punktweise Konvergenz ersetzt werden kann, kann negativ beantwortet werden. Gegenbeispiele liegen alles andere als auf der Hand, können aber zum Beispiel durch Runge-Theorie erzeugt werden.[133] Jedoch zeigte William Fogg Osgood, dass im Falle punktweiser Konvergenz zumindest Holomorphie auf einer dichten Teilmenge des Gebietes vorliegen muss. Ist also ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$, die punktweise gegen eine Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert, so ist ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ auf einer dichten, offenen Teilmenge ${\displaystyle D'\subset D}$ kompakt konvergent. Insbesondere ist die Grenzfunktion ${\displaystyle f}$ holomorph auf ${\displaystyle D'}$.[134] Für den Fall, dass die Funktionen ${\displaystyle f_{n}}$ zusätzlich injektiv sind, liegt bei lediglich punktweiser Konvergenz jedoch wieder Holomorphie der Grenzfunktion im gesamten Gebiet vor.[135]

Zusammenhang mit harmonischen Funktionen

Eine auf einem Gebiet ${\displaystyle D}$ zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion ${\displaystyle u(x,y)}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

auf ganz ${\displaystyle D}$ nennt man harmonisch. Es ist ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$ der sogenannte Laplace-Operator in Dimension 2, und alternativ gilt die Kurzschreibweise ${\displaystyle \Delta u=0}$. Zwischen harmonischen Funktionen und holomorphen Funktionen existieren enge Verbindungen. Aufgrund der Tatsache, dass Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, kann man etwa zeigen, dass diese bereits harmonische Funktionen sind.[136] Es gilt lokal sogar die Umkehrung: Zu jeder auf einem Elementargebiet harmonischen Funktion ${\displaystyle u}$ gibt es eine dort holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$, die diese als Realteil hat. Dies sieht man erneut mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: Es ist die Hilfsfunktion ${\displaystyle g(z):={\tfrac {\partial u}{\partial x}}-i{\tfrac {\partial u}{\partial y}}}$ holomorph. Da der Definitionsbereich ein Elementargebiet ist, existiert zu ${\displaystyle g}$ eine holomorphe Stammfunktion, deren Realteil bis auf eine Konstante mit ${\displaystyle u}$ übereinstimmt.[137] Die in ${\displaystyle f=u+iv}$ zum Realteil ${\displaystyle u}$ zugehörige harmonische Funktion ${\displaystyle v}$ wird als konjugiert harmonisch zu ${\displaystyle u}$ bezeichnet. Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.[138]

Konstruktion und Existenzaussagen

Produktsatz von Weierstraß

→ Hauptartikel: Produktsatz von Weierstraß

Es kann gefragt werden, ob es zu einer gegebenen Nullstellenverteilung eine ganze Funktion gibt, die diese erfüllt. So erfüllt etwa ${\displaystyle z\mapsto \sin(\pi z)}$ die Nullstellenverteilung ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Der Produktsatz von Weierstraß, bewiesen 1876, beantwortet diese Frage. Ist ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$ eine diskrete Teilmenge, und es sei eine Abbildung ${\displaystyle m\colon S\to \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle s\mapsto m_{s}}$ gegeben, dann existiert eine ganze Funktion ${\displaystyle f}$ mit folgenden Eigenschaften:[139]

• ${\displaystyle S=N(f):=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=0\}}$
• ${\displaystyle m_{s}=\mathrm {ord} (f;s)}$ für alle ${\displaystyle s\in S}$.

Mit anderen Worten gibt es zu jeder diskreten Menge ${\displaystyle S}$ und jeder „Gewichtung“ der Punkte ${\displaystyle s\in S}$ durch natürliche Zahlen eine ganze Funktion ${\displaystyle f}$, die ihre Nullstellen genau an den Stellen ${\displaystyle s\in S}$ hat und deren Vielfachheit auch der entsprechenden Gewichtung entspricht.

Ein bedeutendes Beispiel i​st das bereits v​on Leonhard Euler i​m Jahr 1734 entdeckte Sinus-Produkt

${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right),}$

das in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ konvergiert.[140]

Satz von Mittag-Leffler

→ Hauptartikel: Satz von Mittag-Leffler

Es sei ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$ eine diskrete Menge. Der Satz von Mittag-Leffler garantiert die Existenz einer auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus S}$ holomorphen Funktion, die bestimmte Laurent-Entwicklungen an den Stellen ${\displaystyle s\in S}$ hat. Ist präzise zu jedem ${\displaystyle s\in S}$ eine ganze Funktion ${\displaystyle h_{s}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ vorgegeben mit ${\displaystyle h_{s}(0)=0}$, so gibt es eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus S\to \mathbb {C} }$ , deren Hauptteil in ${\displaystyle s\in S}$ gegeben ist durch ${\displaystyle h_{s}}$, d. h.,

${\displaystyle z\mapsto f(z)-h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)}$

hat in ${\displaystyle z=s}$ eine hebbare Singularität. Ist ${\displaystyle S}$ endlich, so ist

${\displaystyle f(z)=\sum _{s\in S}h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)}$

eine Lösung des Mittag-Leffler-Problems. Für unendliche ${\displaystyle S}$ wird eine solche Reihe aber im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ähnlich wie beim Produktsatz von Weierstraß kann hier jedoch mit konvergenzerzeugenden Summanden Konvergenz erzwungen werden.[141]

Weitere Eigenschaften ganzer Funktionen

→ Hauptartikel: Ganze Funktion

Ordnung einer ganzen Funktion

Die Ordnung (im Sinne einer „Wachstumsordnung“) einer ganzen Funktion, falls existent, ist definiert durch die reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ mit[142]

${\displaystyle \alpha =\mathrm {inf} \{c\in \mathbb {R} \mid |f(z)|\ll \exp(|z|^{c})\}.}$

Es gibt Funktionen endlicher Ordnung, die nicht verschwinden, zum Beispiel ${\displaystyle e^{z},e^{-3z^{2}},\dots }$ usw. In gewissem Sinne sind dies bereits die allgemeinsten Beispiele, denn hat ${\displaystyle f}$ keine Nullstelle, so ist ${\displaystyle \log(f)}$ wieder ganz und es gilt ${\displaystyle \mathrm {Re} (\log(f(z)))\ll C|z|^{\alpha +\varepsilon }}$ mit einem ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Demnach ist jede ganze Funktion ohne Nullstelle und endlicher Ordnung bereits von der Form ${\displaystyle e^{g}}$ mit einem Polynom ${\displaystyle g}$.[143]

Produktsatz von Hadamard

Der Produktsatz von Hadamard stellt eine Verschärfung des Produktsatzes von Weierstraß für den Fall ganzer Funktionen mit endlicher Ordnung ${\displaystyle \alpha }$ dar. Es bezeichnen ${\displaystyle (z_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ die Nullstellen von ${\displaystyle f}$ in aufsteigender Betragsgröße sortiert, wobei ${\displaystyle z_{n}\not =0}$. Man definiert ${\displaystyle P_{1}\equiv 0}$ und für ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle P_{k}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{k-1}}{k-1}}.}$

Ist nun ${\displaystyle k}$ die kleinste ganze Zahl mit ${\displaystyle k>\alpha }$, so gibt es ein Polynom ${\displaystyle h}$ vom Grade höchstens ${\displaystyle \alpha }$, sodass

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{h(z)}\prod \left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)e^{P_{k}({\tfrac {z}{z_{n}}})}.}$

Dabei ist ${\displaystyle m}$ die Nullstellenordnung von ${\displaystyle f}$ in 0. Das Produkt erstreckt sich im Falle endlich vieler Nullstellen nur über endlich viele Werte.[144]

Approximation stetiger Funktionen

Die Reichhaltigkeit der Menge ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})}$ der ganzen Funktionen im Gegensatz zum Polynomring ${\displaystyle \mathbb {C} [z]\subset {\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})}$ wird unter anderem durch folgenden Satz von Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 deutlich: Sei ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {R} \to (0,\infty )}$ eine stetige Funktion („Fehlerfunktion“). Dann gibt es zu jeder stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ eine ganze Funktion ${\displaystyle g}$, sodass für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt[145]

${\displaystyle |f(x)-g(x)|<\varepsilon (x).}$

Für eine solche Approximationsstärke reicht die Auswahl an Polynomen nicht aus. So ist etwa die reelle Funktion ${\displaystyle x\to \sin(x)}$ keinesfalls auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durch Polynome mit Güte einer beliebigen Fehlerfunktion approximierbar. Nach einem Satz von Weierstraß ist dies jedoch auf kompakten Intervallen sehr wohl möglich.[145]

Transzendente Funktionen

Für den Fall endlicher Ordnung ist die Menge der rationalen Stellen, die zwei algebraisch unabhängige ganze Funktionen annehmen können, limitiert. Es bezeichnen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ganze Funktionen mit der Eigenschaft ${\displaystyle |f(z)|\leq C^{|z|^{\alpha }}}$ für ein ${\displaystyle C>1}$ (im englischen strict order ${\displaystyle \alpha }$). Dabei sind mindestens zwei hiervon algebraisch unabhängig (also gehen nicht durch die vier Grundrechenarten auseinander hervor). Zudem wird verlangt, dass der Ring ${\displaystyle \mathbb {Q} [f_{1},\dots ,f_{n}]}$ bezüglich des Differentialoperators ${\displaystyle \partial$ :={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}} sich selbst abbildet, es gibt also stets ein Polynom ${\displaystyle P_{j}}$ mit rationalen Koeffizienten, sodass

${\displaystyle \partial f_{j}=P_{j}(f_{1},\dots ,f_{n}).}$

Sind nun ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{N}}$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen mit ${\displaystyle f_{j}(w_{\ell })\in \mathbb {Q} }$ für ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ und ${\displaystyle \ell =1,\dots ,N}$, gilt bereits ${\displaystyle N\leq 4\alpha }$.[146] Eine klassische Anwendung dieses Satzes betrifft den Ring ${\displaystyle \mathbb {Q} [z,e^{z}]}$, der unter ${\displaystyle \partial }$ abgeschlossen ist. Dann besagt der Satz, dass keiner der Werte ${\displaystyle e^{w}}$ mit ganzen Zahlen ${\displaystyle w\not =0}$ rational sein kann, da es sonst alle Werte ${\displaystyle e^{w},e^{2w},e^{3w},\dots }$ wären. Analoge Resultate existieren für den Fall algebraischer und nicht bloß rationaler Zahlen.[147] Eine wichtige Anwendung dieser Theorie ist der Satz von Gelfond-Schneider.[146]

Analytische Fortsetzung

→ Hauptartikel: Analytische Fortsetzung

Darstellung des Prinzips der analytischen Fortsetzung am Beispiel der Riemannschen Zetafunktion (Verfahren: Euler-Maclaurin-Formel)

Ist ${\displaystyle f}$ in einem Gebiet ${\displaystyle D}$ holomorph und entwickelt man ${\displaystyle f}$ um einen Punkt ${\displaystyle c\in D}$ in seine Taylor-Reihe, so ist deren Konvergenzradius ${\displaystyle R>0}$ mindestens gleich dem Abstand von ${\displaystyle c}$ zum Rand von ${\displaystyle D}$, er kann jedoch auch größer sein. In diesem Fall sagt man, dass ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle D}$ hinaus „analytisch fortgesetzt“ ist.[148]

Fortsetzung reeller Funktionen

Ist ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ eine reelle Funktion auf einem echten Intervall ${\displaystyle I=(a,b)}$, so besitzt ${\displaystyle f}$ genau dann eine analytische Fortsetzung auf ein Gebiet ${\displaystyle D\supset I}$, falls ${\displaystyle f}$ reell-analytisch ist.[149]

Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung

Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle M\subset D}$ eine Menge mit mindestens einem Häufungspunkt in ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} }$ eine Funktion. Wenn eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C} }$ existiert, die ${\displaystyle f}$ fortsetzt, d. h. ${\displaystyle {\widetilde {f}}|_{M}=f}$, so ist diese eindeutig bestimmt. Dieses Resultat ist eine einfache, aber sehr wichtige Folgerung des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen.[94] Ist zum Beispiel ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle D=\mathbb {C} }$ sowie ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$, so besagt es, dass die Exponentialfunktion nur eine einzige Fortsetzung zu einer in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorphen Funktion besitzt. Es gilt dann

${\displaystyle {\widetilde {(e^{z})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Schwarzsches Spiegelungsprinzip

→ Hauptartikel: Schwarzsches Spiegelungsprinzip

Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip erlaubt unter gewissen Symmetrievoraussetzungen eine analytische Fortsetzung. Sei ${\displaystyle D\not =\emptyset }$ ein zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ symmetrisches Gebiet, das heißt ${\displaystyle z\in D\implies {\overline {z}}\in D}$, und man setze

${\displaystyle D_{\pm }:=\{z\in D\mid \pm \mathrm {Im} (z)>0\}}$, sowie ${\displaystyle D_{0}:=D\cap \mathbb {R} }$.

Dann gilt: Ist ${\displaystyle f\colon D_{+}\cup D_{0}\to \mathbb {C} }$ stetig, ${\displaystyle f|_{D_{+}}\colon D_{+}\to \mathbb {C} }$ holomorph und ${\displaystyle f(D_{0})\subset \mathbb {R} }$, dann ist die durch

${\displaystyle {\widetilde {f}}(z):={\begin{cases}f(z),&\qquad z\in D_{+}\cup D_{0},\\{\overline {f({\overline {z}})}},&\qquad z\in D_{-}\end{cases}}}$

definierte Funktion ${\displaystyle {\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C} }$ holomorph. Dabei bezeichnet ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$ die komplexe Konjugation.[150]

Holomorphiegebiete

→ Hauptartikel: Holomorphiegebiet

Ein Gebiet ${\displaystyle D}$ heißt das Holomorphiegebiet einer in ${\displaystyle D}$ holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle c\in D}$ die Konvergenzkreisscheibe der Taylorreihe von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle D}$ liegt. Dann folgt sofort: Ist ${\displaystyle D}$ das Holomorphiegebiet von ${\displaystyle f}$, so ist ${\displaystyle D}$ das „maximale Existenzgebiet“ von ${\displaystyle f}$, d. h. jedes Gebiet ${\displaystyle D'\supseteq D}$, in dem es eine Funktion ${\displaystyle {\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}(D')}$ mit ${\displaystyle {\widehat {f}}|_{D}=f}$ gibt, stimmt mit ${\displaystyle D}$ überein.[54] Es kann eine (auf einem Gebiet) holomorphe Funktion also niemals über ihr Holomorphiegebiet hinaus analytisch fortgesetzt werden. Im Allgemeinen besagt Holomorphiegebiet aber mehr als maximales Existenzgebiet. Die geschlitzte Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$ ist z. B. das maximale Existenzgebiet der dort holomorphen Funktionen ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ und ${\displaystyle z\mapsto \log(z)}$, jedoch nicht deren Holomorphiegebiet: die Taylor-Reihen von ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ und ${\displaystyle z\mapsto \log(z)}$ um ${\displaystyle c\in \mathbb {C} _{-}}$ haben ${\displaystyle U_{|c|}(c)}$ als Konvergenzkreis, und es gilt ${\displaystyle U_{|c|}(c)\not \subset \mathbb {C} _{-}}$ , falls ${\displaystyle \mathrm {Re} (c)<0}$. Die Funktionen ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ und ${\displaystyle z\mapsto \log(z)}$ sind „von oben und unten“ in jedem Punkt auf der negativen reellen Achse holomorph fortsetzbar, alle Randpunkte in ${\displaystyle \mathbb {C} _{-}}$ sind aber „singulär“ für ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ und ${\displaystyle z\to \log(z)}$ in dem Sinne, dass keiner eine Umgebung ${\displaystyle U}$ mit einer Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ hat, die in ${\displaystyle U\cap \mathbb {C} _{-}}$ mit ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}}$ bzw. ${\displaystyle z\to \log(z)}$ übereinstimmt.[151]

Es sind die Gebiete ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {E} }$ die Holomorphiegebiete der Funktionen ${\displaystyle z\mapsto z}$, ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z}}}$ bzw.

${\displaystyle z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$.

Der Existenzsatz für Holomorphiegebiete besagt, dass jedes Gebiet ${\displaystyle D}$ das Holomorphiegebiet irgendeiner dort holomorphen Funktion ist.[152]

Biholomorphe Funktionen

→ Hauptartikel: Biholomorphe Funktion

Eine Funktion, d​ie holomorph, bijektiv u​nd deren Umkehrfunktion holomorph ist, n​ennt man biholomorph. In d​er Literatur w​ird statt biholomorph gelegentlich a​uch der Begriff konform verwendet.[153] Aus d​em Satz über implizite Funktionen f​olgt für holomorphe Funktionen e​iner Veränderlicher schon, d​ass eine bijektive, holomorphe Funktion s​tets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt.[153]

Auch i​m Fall mehrerer Veränderlicher garantiert d​er Satz v​on Osgood d​ie Eigenschaft, d​ass Bijektivität u​nd Holomorphie automatisch Holomorphie d​er Umkehrabbildung impliziert. Somit k​ann man sagen, d​ass bijektive, holomorphe Abbildungen biholomorph sind.

Inverse Funktion

Ist ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und gilt ${\displaystyle f'(a)\not =0}$ für ein ${\displaystyle a\in U}$, so ist ${\displaystyle f}$ dort lokal biholomorph. Das heißt, dass es eine Umgebung ${\displaystyle a\in V\subset U}$ gibt, sodass die Einschränkung ${\displaystyle f|_{V}\colon V\rightarrow f(V)}$ biholomorph ist.[154] Zu beachten ist die Lokalität der Biholomorphie. So verschwindet die Ableitung der komplexen Exponentialfunktion – sie selbst – an keiner Stelle, jedoch ist sie nicht injektiv, da zum Beispiel ${\displaystyle e^{0}=e^{2\pi i}=1}$. Andersherum verschwindet die Ableitung einer injektiven holomorphen Funktion an keiner Stelle ihres Definitionsbereichs.[155]

Für die Umkehrfunktion einer biholomorphen Funktion kann mittels des Residuensatzes eine lokal gültige Darstellung hergeleitet werden. Ist ${\displaystyle D}$ ein Gebiet, ${\displaystyle f\colon D\rightarrow f(D)}$ biholomorph und ${\displaystyle {\overline {U_{r}(a)}}\subset D}$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt für alle ${\displaystyle w\in f(U_{r}(a))}$ die Formel:[156]

${\displaystyle f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {\zeta f'(\zeta )}{f(\zeta )-w}}\mathrm {d} \zeta .}$

Dieser Ansatz kann verwendet werden, um Potenzreihen lokal umzukehren. Besitzt die biholomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ – ohne Einschränkung der Allgemeinheit gelte ${\displaystyle f(0)=0}$ – um ${\displaystyle 0}$ die lokale Entwicklung

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n},}$ mit ${\displaystyle a_{1}=f'(0)\not =0}$,

so g​eben Philip M. Morse u​nd Herman Feshbach d​ie folgende Reihe für d​ie Umkehrfunktion an:[157]

${\displaystyle f^{-1}(w)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}w^{k}}$

mit

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{ka_{1}^{k}}}\sum _{\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3},\dots \geq 0 \atop \ell _{1}+2\ell _{2}+3\ell _{3}+\cdots =k-1}(-1)^{\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\cdots }{\frac {k(k+1)\cdots (k-1+\ell _{1}+\ell _{2}+\cdots )}{\ell _{1}!\ell _{2}!\ell _{3}!\cdots }}\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{1}}\left({\frac {a_{3}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{2}}\cdots .}$

Dabei bezeichnet das Symbol ${\displaystyle$ !} die Fakultät. Die ersten Werte sind[158]

${\displaystyle b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}}$, ${\displaystyle b_{2}=-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{3}}}}$, ${\displaystyle b_{3}={\frac {2a_{2}^{2}-a_{1}a_{3}}{a_{1}^{5}}}}$ und ${\displaystyle b_{4}={\frac {5a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}-5a_{2}^{3}}{a_{1}^{7}}}}$.

Die lokale Umkehrung v​on Potenzreihen i​st auch Gegenstand d​er Lagrangeschen Inversionsformel.

Riemannscher Abbildungssatz

→ Hauptartikel: Riemannscher Abbildungssatz

Eine Klassifikation aller Elementargebiete liefert der Riemannsche Abbildungssatz. Dieser sagt aus, dass zwischen zwei Elementargebieten, die beide nicht ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ umfassen, stets eine biholomorphe Abbildung existiert. Somit ist jedes Elementargebiet, das nicht ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, zur Einheitskreisscheibe biholomorph äquivalent.[159] Es gibt daher aus der Sicht analytischer Abbildungen nur „zwei Typen“ von Elementargebieten, nämlich ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \mathbb {E} }$. Es ist aber zu beachten, dass ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \mathbb {E} }$ als topologische Räume homöomorph sind über die nichtholomorphe Abbildung ${\displaystyle h\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {E} }$ mit[159][160]

${\displaystyle h(z)={\frac {z}{1+|z|}}.}$

In einer Verallgemeinerung sagt der Riemannsche Abbildungssatz, dass jedes Elementargebiet in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ biholomorph äquivalent entweder zu ${\displaystyle \mathbb {E} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oder ganz ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ ist.

Theorem von Carathéodory

Über das sog. Fortsetzungslemma kann eine Randaussage von auf dem Einheitskreis definierten biholomorphen Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {E} \to D}$ in ein Gebiet ${\displaystyle D}$ getroffen werden. Es kann ${\displaystyle f}$ genau dann zu einer in ganz ${\displaystyle {\overline {\mathbb {E} }}}$ stetigen Funktion nach ${\displaystyle {\overline {D}}}$ fortgesetzt werden, wenn der Rand von ${\displaystyle D}$ ein geschlossener Weg ist, d. h., es gibt eine stetige Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \partial \mathbb {E} \to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \varphi (\partial E)=\partial D}$. Constantin Carathéodory konnte diese Aussage präzisieren: Es lässt sich ${\displaystyle f}$ genau dann zu einem Homöomorphismus von ${\displaystyle {\overline {\mathbb {E} }}}$ nach ${\displaystyle {\overline {D}}}$ fortsetzen, wenn ${\displaystyle \partial D}$ eine geschlossene Jordan-Kurve ist, also ${\displaystyle \varphi }$ den Rand von ${\displaystyle \mathbb {E} }$ homöomorph auf den Rand von ${\displaystyle D}$ abbildet.[161]

Automorphismen

Bei Automorphismengruppen handelt es sich im Kontext holomorpher Funktionen um Kollektionen biholomorpher Selbstabbildungen. Für eine offene Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {Aut} (U)}$ die Menge aller biholomorphen Abbildungen ${\displaystyle f\colon U\rightarrow U}$.[162] Die Verknüpfung der Gruppe ist hierbei durch Verkettung gegeben. Beispielsweise enthält die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {C} )}$ als Elemente alle biholomorphen ganzen Funktionen.

Die Automorphismengruppe eines Gebietes ${\displaystyle D}$ enthält wichtige Informationen über dessen Funktionentheorie. So können zwei Gebiete nur dann biholomorph äquivalent sein, wenn ihre Automorphismengruppen isomorph sind.[163]

Komplexe Zahlenebene

Jeder Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ entspricht einer nichtkonstanten affin-linearen Abbildung, hat also die Form ${\displaystyle f(z)=az+b}$ mit ${\displaystyle a\not =0}$. Umgekehrt ist jede solche Funktion ein Automorphismus.[164] Damit gilt

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {C} )=\{f(z)=az+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,a\not =0\}.}$

Der Beweis zur Klassifikation benutzt die Tatsache, dass jeder Automorphismus ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion sein muss, aber in ${\displaystyle \infty }$ keine wesentliche Singularität haben kann, da andernfalls nach dem Satz von Casorati-Weierstraß die Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ nicht stetig in ${\displaystyle 0}$ wäre (alternativ kann man mit dem großen Satz von Picard direkt zeigen, dass ${\displaystyle f}$ nicht injektiv sein kann). Somit besitzt ${\displaystyle f}$ einen Pol in ${\displaystyle \infty }$ und ist ein Polynom, das Grad 1 haben muss, da jedes höhere Polynom nach dem Fundamentalsatz der Algebra als ganze Funktion nicht injektiv ist.[164]

Gelochte Zahlenebene

Setzt man ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$, so gilt

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })=\{f(z)=az\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}\cup \{f(z)=az^{-1}\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}.}$

Die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })}$ ist nicht abelsch: Sie zerfällt in zwei zu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ isomorphe Zusammenhangskomponenten.[165]

Einheitskreisscheibe

Die Automorphismengruppe d​er Einheitskreisscheibe h​at die Gestalt[166]

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {E} )=\left\{f(z)=\zeta {\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\mid |a|<1,|\zeta |=1\right\}.}$

Betrachtet man die Untergruppe aller Abbildungen ${\displaystyle f\in \mathrm {Aut} (\mathbb {E} )}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle f(0)=0}$, so ergibt sich, dass diese genau von der Form ${\displaystyle f(z)=\zeta z}$ mit einem ${\displaystyle |\zeta |=1}$ sind. Es handelt sich also genau um alle Drehungen. Diese Aussage kann als Vorbereitung zur Bestimmung von ganz ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {E} )}$ dienen.[167]

Gelochte Einheitskreisscheibe

Für ${\displaystyle \mathbb {E} ^{\times }:=\mathbb {E} \setminus \{0\}}$ gilt

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })=\{f(z)=az\mid |a|=1\}}$.

Damit ist ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })}$ zur Kreisgruppe isomorph.[168]

Obere Halbebene

Obwohl die obere Halbebene der komplexen Zahlen biholomorph äquivalent zur Einheitskreisscheibe ist, nämlich über die Abbildung ${\displaystyle \mathbb {H} \rightarrow \mathbb {E} ,z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}}$,[169] ist es von Interesse, ihre Automorphismengruppe separat anzugeben. Grund hierfür ist der Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie sowie zur Theorie der Modulfunktionen.

Die Automorphismengruppe ist

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )=\left\{f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} ,ad-bc=1\right\}.}$

Jedes ${\displaystyle f\in \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )}$ korrespondiert also zu einer Matrix

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

und für zwei ${\displaystyle f,g\in \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )}$ gilt ${\displaystyle f=g}$ genau dann, wenn für die zugehörigen Matrizen ${\displaystyle M_{f}}$ und ${\displaystyle M_{g}}$ gilt ${\displaystyle M_{f}=\pm M_{g}}$.[170] Dabei bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ die spezielle lineare Gruppe der reellen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen. Ferner sind sogar die Gruppen ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )}$ und ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\{\pm E_{2}\}}$ zueinander isomorph vermöge ${\displaystyle f\mapsto [M_{f}]}$.[171][172] Dabei bezeichnet ${\displaystyle E_{2}}$ die ${\displaystyle 2\times 2}$-Einheitsmatrix.

Starre Gebiete

Bei starren Gebieten ${\displaystyle D}$ handelt es sich um Gebiete mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mathrm {Aut} (D)=\{\mathrm {id} \colon D\to D\}}$.[168] Die Gruppe der Automorphismen von ${\displaystyle D}$ ist also trivial. Beispiel eines starren Gebietes ist ${\displaystyle \mathbb {E} \setminus \{0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\}}$.[173]

Asymptotische Analysis holomorpher Funktionen

Definitionen und elementare Eigenschaften

Eine formale Potenzreihe ${\displaystyle \Sigma \ a_{n}z^{n}}$ heißt asymptotische Entwicklung einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ auf einem Gebiet mit ${\displaystyle 0\in \partial D}$, falls für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt

${\displaystyle \lim _{z\to 0 \atop z\in D}z^{-k}\left(f(z)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}z^{n}\right)=0.}$

So ein ${\displaystyle f}$ hat stets höchstens eine asymptotische Entwicklung. Die Existenz einer asymptotischen Entwicklung hängt empfindlich von der Art des Gebietes ab. So besitzt die Funktion ${\displaystyle f(z)=\exp({\tfrac {1}{z}})}$ für ${\displaystyle D=\mathbb {C} ^{\times }}$ keine asymptotische Entwicklung, jedoch für jeden Kreissektor ${\displaystyle D=S_{\varepsilon }:=\{z\in \mathbb {C} \mid {\tfrac {\pi }{2}}+\varepsilon <\angle z<{\tfrac {3\pi }{2}}-\varepsilon \}}$ mit ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {\pi }{2}}.}$ Hat ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(D)}$ eine holomorphe Fortsetzung ${\displaystyle {\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ in ein Gebiet ${\displaystyle {\widehat {D}}}$ mit ${\displaystyle 0\in {\widehat {D}}\supset D}$, so entspricht die asymptotische Entwicklung der Funktion ${\displaystyle f}$ der Taylorentwicklung von ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ um 0.[174]

Existenz asymptotischer Entwicklungen

Folgendes Kriterium ist für die Existenz asymptotischer Entwicklungen hinreichend. Sei ${\displaystyle D}$ ein Gebiet mit ${\displaystyle 0\in \partial D}$, sodass es zu jedem Punkt ${\displaystyle z\in D}$ eine Nullfolge ${\displaystyle c_{\nu }}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jede Strecke ${\displaystyle [c_{\nu },z]}$ in ${\displaystyle D}$ liegt. Ist dann ${\displaystyle f}$ eine in ${\displaystyle D}$ holomorphe Funktion, für die alle Limites ${\displaystyle f^{(n)}(0):=\lim _{z\to 0}f^{(n)}(z)}$ existieren, so hat ${\displaystyle f}$ die asymptotische Entwicklung[175]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}.}$

Zu beachten ist, dass die an ${\displaystyle D}$ gestellten Voraussetzungen für alle Kreissektoren um 0 erfüllt sind.[176]

Satz von Ritt

Die Frage, welche Bedingungen Potenzreihen erfüllen müssen, um als asymptotische Entwicklung holomorpher Funktionen aufzutreten, hat für Kreissektoren um 0 eine einfache Antwort: Es gibt keine solchen Bedingungen.[177] Genauer gilt der Satz von Ritt: Ist ${\displaystyle S}$ ein echter Kreissektor um 0, so existiert zu jeder formalen Potenzreihe ${\displaystyle \Sigma \ a_{n}z^{n}}$ eine in ${\displaystyle S}$ holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$, sodass gilt:[178]

${\displaystyle f\sim _{S}\sum a_{\nu }z^{\nu }.}$

Algebraische Eigenschaften

Der Ring O(D) mit Gebiet D

Durch komponentenweise Addition und Multiplikation wird die Menge ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ zu einem kommutativen Ring mit 1 (nach Zulassen einer skalaren Multiplikation sogar zu einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebra). Über den Identitätssatz für holomorphe Funktionen lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ nullteilerfrei ist.[179] Es ist der Körper der meromorphen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {M}}(D)}$ gerade der Quotientenkörper von ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$.[180]

Aus idealtheoretischer Sicht sind die Ringe ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ schwieriger zu behandeln als zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Definiert man zu einer unendlich mächtigen, aber lokal endlichen Menge ${\displaystyle A\subset D}$ zum Beispiel das Ideal

${\displaystyle {\mathfrak {a}}:=\{f\in {\mathcal {O}}(D)\mid f\ {\text{verschwindet fast überall auf}}\ A\},}$

so kann man folgern, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ nicht noethersch ist, also insbesondere niemals ein Hauptidealring.[181] Aus dem Produktsatz für allgemeine Gebiete lässt sich sogar folgern, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ nicht faktoriell ist.[182] Nichtsdestotrotz existieren gewisse Strukturen, so kann etwa nach dem Lemma von Wedderburn die 1 erzeugt werden:[183] Sind ${\displaystyle u,v}$ zwei zueinander teilerfremde holomorphe Funktionen (d. h., es gibt keine Nicht-Einheit ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {O}}(D)}$, sodass ${\displaystyle u\omega ^{-1},v\omega ^{-1}\in {\mathcal {O}}(D)}$), so gibt es ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {O}}(D)}$ mit

${\displaystyle au+bv=1.}$

Daraus kann gefolgert werden, dass zumindest jedes endlich erzeugte Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)}$ bereits ein Hauptideal ist.[184] Nach dem Hauptsatz der Idealtheorie in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ sind für ein Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)}$ sogar folgende Aussagen äquivalent:[185]

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ist endlich erzeugt.
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ist ein Hauptideal.
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ist abgeschlossen.

Dabei bedeutet Abgeschlossenheit, dass die Grenzfunktion jeder kompakt konvergenten Folge ${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {b}}}$ wieder in ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ liegt.[186]

Die Sätze von Bers und Iss’sa

Der Satz von Bers charakterisiert alle ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebren-Homomorphismen zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebren auf Gebieten holomorpher Funktionen.

Es seien ${\displaystyle D,{\widehat {D}}}$ Gebiete. Dann besagt der Satz von Bers: Zu jedem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebra-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ gibt es genau eine Abbildung ${\displaystyle h\colon {\widehat {D}}\to D}$, sodass ${\displaystyle \varphi (f)=f\circ h}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(D)}$. Es gilt ${\displaystyle h=\varphi (\mathrm {id} _{D})\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ und es ist ${\displaystyle \varphi }$ genau dann bijektiv, wenn ${\displaystyle h}$ biholomorph ist.[187]

Es ist demnach ${\displaystyle D}$ biholomorph äquivalent zu ${\displaystyle {\widehat {D}}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)\cong {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ (als ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebren). Zudem ist jeder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebra-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ von selbst stetig in dem Sinne, dass wenn ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}(D)}$ kompakt konvergiert, bereits ${\displaystyle \varphi (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$ kompakt konvergiert.[187]

Ausgeweitet wird dieses Resultat durch den Satz von Iss’sa, da hier sogar der Körper der in ${\displaystyle D}$ bzw. ${\displaystyle {\widehat {D}}}$ meromorphen Funktionen betrachtet wird. Ist also ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {M}}(D)\to {\mathcal {M}}({\widehat {D}})}$ ein Homomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebren, so gibt es ein ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})}$, sodass stets ${\displaystyle \varphi (f)=f\circ h}$.[187]

Anwendungen

Holomorphe Funktionen werden systematisch i​m Rahmen d​er mathematischen Disziplin Funktionentheorie untersucht. Sie kommen z​udem im Umfeld d​er reellen Analysis, theoretischen Physik, algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie (im Kontext z​u Modulformen), Kombinatorik, transzendenten Zahlen u​nd analytischen Zahlentheorie z​um Einsatz.

Bedeutung für die Physik

In der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen unter anderem im Kontext zu Riemannschen Flächen auf. So spielt etwa der Raum aller holomorphen Funktionen von einer Riemannschen Fläche in eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle in Mirror Symmetry, die in der Stringtheorie Anwendung findet.[188]

Dirichlet-Reihen

→ Hauptartikel: Dirichlet-Reihe

Wächst eine zahlentheoretische Funktion ${\displaystyle a_{n}}$ nicht zu schnell, also ${\displaystyle a_{n}=O(n^{A})}$ für eine reelle Konstante ${\displaystyle A}$, so wird für alle komplexen Werte ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>A+1}$ die Reihe

${\displaystyle F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

absolut konvergieren. Man bezeichnet diesen Typ Reihe auch als Dirichlet-Reihe. Es gibt dann eine Konstante ${\displaystyle \sigma _{0}}$, die Konvergenzabszisse, sodass die Reihe für alle Werte ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>\sigma _{0}}$ bedingt konvergiert und für ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<\sigma _{0}}$ divergiert. Es kann gezeigt werden, dass die Reihe auf kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergiert, womit sie eine auf der Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>\sigma _{0}}$ holomorphe Funktion ist.

Ähnlich w​ie Potenzreihen dienen Dirichlet-Reihen dazu, zahlentheoretische Funktionen z​u untersuchen. Während Potenzreihen besonders i​n der additiven Zahlentheorie Anwendung finden, treten Dirichlet-Reihen v​or allem i​n der multiplikativen Zahlentheorie auf. Ein wichtiges Beispiel i​st die Riemannsche Zeta-Funktion

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,}$

die sogar auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorph fortgesetzt werden kann. Durch ihre Verbindung zu den Primzahlen (siehe Euler-Produkt) spielt sie eine Schlüsselrolle in der analytischen Zahlentheorie. Aufgrund ihrer Holomorphie ist es möglich, exakte Informationen über Primzahlen aus ihrem Verhalten als Funktion, wie zum Beispiel der Verteilung ihrer Nullstellen, abzuleiten. Dies betrifft zum Beispiel den Primzahlsatz, der jedoch unter Annahme der Riemannschen Vermutung deutlich verbessert werden kann.[189] Die weitaus allgemeineren L-Funktionen sind ebenso von großer Wichtigkeit in der Zahlentheorie. Dies betrifft etwa den Modularitätssatz, aber auch die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.[190]

Modulformen und q-Reihen

Klassische Modulformen sind auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} (z)>0\}}$ holomorphe Funktionen ${\displaystyle f}$, die bestimmte Transformationsgestze bezüglich Untergruppen ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ endlichen Indexes erfüllen und ein „holomorphes Verhalten“ in den Randpunkten ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}}$ aufweisen, zum Beispiel durch Besitz eine Fourier-Entwicklung der Form

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{\frac {n}{N}},\qquad q:=e^{2\pi iz}}$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle N}$.

Die Bedingung der Holomorphie liefert dabei eine entscheidende Zutat für die Seltenheit von Modulformen, da sie im Beweis der Valenzformel (in Form des Null- und Polstellen zählenden Integrals) eingeht. Aus dieser kann gefolgert werden, dass der Raum aller Modulformen eines festen Gewichts ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ bezüglich einer Kongruenzuntergruppe stets endlichdimensional ist, was weitreichende Konsequenzen nach sich zieht.[191]

Kreismethode

→ Hauptartikel: Kreismethode

Die Kreismethode gehört zu den wichtigsten Anwendungen holomorpher Funktionen in der Zahlentheorie. Ausgangspunkt ist eine Folge ganzer Zahlen ${\displaystyle a_{n}}$, die nicht zu schnell anwachsen, und deren Wachstumsverhalten man verstehen möchte. Betrachtet wird dann die Funktion

${\displaystyle F(q)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},}$

wobei die Reihe für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergieren, und für ${\displaystyle |q|>1}$ divergieren soll. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die ${\displaystyle a(n)}$ mit polynomieller Geschwindigkeit wachsen oder bis auf eine Konstante kleiner als ${\displaystyle e^{n^{\delta }}}$ für ein ${\displaystyle 0<\delta <1}$ sind. Über die Cauchysche Integralformel erhält man

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {F(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q,}$

wenn der geschlossene Weg, etwa ein Kreis mit Radius ${\displaystyle 0<r<1}$, die 0 einfach in mathematisch positiver Richtung umschließt. Dabei ist es üblich, den Radius der Integrationskurve in Abhängigkeit von ${\displaystyle n}$ zu wählen, also ${\displaystyle r=r_{n}}$, und ${\displaystyle r_{n}\to 1}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ mit richtiger Konvergenzgeschwindigkeit zu fordern. Ist die Folge ${\displaystyle a_{n}}$ positiv und monoton steigend, ist davon auszugehen, dass ${\displaystyle F(q)}$ in der Nähe von ${\displaystyle q=1}$ unendlich groß wird und dieses Wachstum das Verhalten an allen anderen Randpunkten dominiert. Daher sollte der Integrationsabschnitt in der Nähe von ${\displaystyle q=1}$ auch den ausschlaggebenden Beitrag für den Wert der ${\displaystyle a_{n}}$ liefern. Ein detailliertes Studium der Funktion ${\displaystyle F(q)}$ in der Nähe von ${\displaystyle q=1}$, aber auch ggf. anderer Randwerte, kann also zu einem Verständnis der ${\displaystyle a_{n}}$ führen.

Bei der Kreismethode macht man sich die Singularitäten am Rand des Konvergenzkreises zu Nutze, etwa bei Modul- oder Thetafunktionen

Erstmals wurde die Kreismethode von Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan angewandt, um die Partitionsfunktion ${\displaystyle p}$ zu untersuchen.[192] Ihnen gelang mit ihrer Hilfe die asymptotische Schätzung[193]

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\exp \left(\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),\qquad n\to \infty .}$

Als Ausgangspunkt diente die für alle ${\displaystyle |q|<1}$ gültige, von Leonhard Euler gefundene,[194] Identität

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

Hans Rademacher konnte mit ähnlichen Methoden sogar eine exakte Formel für ${\displaystyle p(n)}$ ableiten.[195] Seine Methode nutzt die Modularität der Dedekindschen Etafunktion.[196] Weitere Anwendungen liegen im Umfeld des Waringschen Problems[197] und allgemein Lösungsanzahlen diophantischer Gleichungen.[198]

Holomorphie als Bedingung in Taubersätzen

Taubersätze nutzen Eigenschaften v​on Potenz- o​der Dirichlet-Reihen, u​m Aussagen über d​as Verhalten bestimmter Summen z​u erhalten. Jedoch gelten d​iese oft n​ur unter technischen Bedingungen a​n die Funktion, d​ie mit d​er zu untersuchenden Summe zusammenhängt. Holomorphie k​ann dabei helfen, d​ie Bedingungen e​ines Taubersatzes z​u erfüllen. Dies betrifft e​twa einen Taubersatz v​on Donald Newman, d​er sich a​uf Dirichlet-Reihen bezieht: Ist

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$ wobei ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$,

mit ${\displaystyle |a_{n}|\leq C}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, und lässt sich ${\displaystyle F(s)}$ holomorph auf die Gerade ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)=1}$ fortsetzen, so gilt bereits

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}=F(1).}$

Dieser Satz k​ann dazu verwendet werden, d​en Primzahlsatz m​it einfachen funktionentheoretischen Methoden z​u beweisen.[199] Ähnliche Aussagen gelten u​nter abgeschwächten Bedingungen, a​lso ohne Holomorphie a​uf dem Rand, w​ie beim Satz v​on Wiener-Ikehara, d​och dieser i​st aus analytischer Sicht schwerer z​u beweisen.[200]

Zu beachten ist, dass die analoge Aussage für Potenzreihen trivialerweise gilt. Ist also ${\displaystyle z\mapsto \Sigma \ a_{n}z^{n}}$ konvergent für ${\displaystyle |z|<1}$ und besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf den Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {E} }$, so ist ${\displaystyle \Sigma \ a_{n}}$ konvergent.

Komplexe Geometrie

Auch i​n der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So k​ann man holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen o​der zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog z​u differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren.[201] Außerdem g​ibt es e​in für d​ie Integrationstheorie wichtiges Pendant z​u den glatten Differentialformen, d​as holomorphe Differentialform heißt.[202]

Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher

Sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ heißt holomorph, falls sie sich um jeden Punkt des Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lässt, das heißt, zu jedem ${\displaystyle w=(w_{1},\dotsc ,w_{n})\in D}$ gibt es einen Polykreis ${\displaystyle \Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})\subset D}$, sodass

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}(z_{1}-w_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-w_{n})^{k_{n}}}$

für alle ${\displaystyle z\in \Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})}$ mit von ${\displaystyle z}$ unabhängigen Koeffizienten ${\displaystyle a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}\in \mathbb {C} }$ gilt.[203] Eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ heißt holomorph in der ${\displaystyle j}$-ten Variablen, wenn sie als Funktion von ${\displaystyle z_{j}}$ bei festgehaltenen übrigen Variablen holomorph ist. Holomorphe Funktionen sind natürlich in jeder Variablen holomorph. Für die Umkehrung siehe die untenstehenden äquivalenten Charakterisierungen.

Mit dem Wirtinger-Kalkül ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}}$ steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion wie bei Funktionen einer Veränderlichen behandeln kann.

Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ , ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen, sind folgende Aussagen äquivalent:[204]

• ${\displaystyle f}$ ist holomorph.
• ${\displaystyle f}$ ist stetig und holomorph in jeder Variablen (Lemma von Osgood)
• ${\displaystyle f}$ ist holomorph in jeder Variablen (Satz von Hartogs)
• ${\displaystyle f}$ ist stetig differenzierbar und genügt den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}f=0}$ für ${\displaystyle j=1,\dotsc ,n}$.

Für mehrere Dimensionen im Bildbereich definiert man Holomorphie wie folgt: Eine Abbildung ${\displaystyle f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})\colon D\to \mathbb {C} ^{m}}$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen, heißt holomorph, wenn jede der Teilfunktionen ${\displaystyle f_{j}\colon D\to \mathbb {C} }$ holomorph ist.[205]

Viele Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Veränderlichen lassen sich, teils in abgeschwächter Form, auf den Fall mehrerer Veränderlicher übertragen. So gilt für Funktionen ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}}$ der Cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig.[206] Für holomorphe Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf ${\displaystyle n}$ Dimensionen verallgemeinert werden.[207] Salomon Bochner konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.

Literatur

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• John B. Conway: Functions of One Complex Variable II. Springer, 1995, ISBN 0-387-94460-5.

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.

• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)

• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.
• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.

• Serge Lang: Complex Analysis. 4. Auflage. Springer, 1999, ISBN 0-387-98592-1.

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5.

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

• Elias Stein, Rami Shakarchi: Complex Analysis. Princeton University Press, Princeton 2003, ISBN 0-691-11385-8.

Einzelnachweise

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4. Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane, Abgerufen am 12. September 2021.
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6. Elias Wegert: Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits. Springer Basel, 2012, ISBN 9783034801799, S. 29 (Abgerufen am 12. September 2021).
7. Douglas N. Arnold: Graphics for complex analysis. 2008. Abgerufen am 12. September 2021.
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9. Peter Kovesi: Colour Maps for the Colour Blind, presented at IAMG 2017. 2017.
10. Henri Cohen, Fredrik Strömberg: Modular Forms, American Mathematical Society, Volume 179, S. 404.
11. Elias Stein, Rami Shakarchi: Complex Analysis, Princeton University Press, S. 120.
12. J. H. Brunier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, S. 27.
13. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 92.
14. David Wakeman: String perturbation theory and Riemann surfaces, 2018, S. 1.
15. Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Second Edition, Cambridge University Press, S. 591.
16. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 56.
17. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 386.
18. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 35.
19. Alexander Isaev: Twenty-One Lectures on Complex Analysis, Springer, S. 9.
20. Alexander Isaev: Twenty-One Lectures on Complex Analysis, Springer, S. 10.
21. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 45.
22. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 91.
23. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 108.
24. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 52–53.
25. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 69.
26. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 68.
27. Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha und Wolfgang Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum, Birkhäuser, S. 10–11.
28. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 42.
29. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 52.
30. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 64.
31. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 66.
32. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 67.
33. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 63.
34. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 212.
35. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 91.
36. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 79.
37. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 79–80.
38. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 184.
39. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 182.
40. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 90.
41. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 189.
42. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 187.
43. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 183.
44. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 185.
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46. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 190.
47. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 3.
48. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 193.
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56. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 209.
57. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 137.
58. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1, 5. Auflage, Springer, S. 136.
59. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 142.
60. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 140.
61. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 144.
62. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 149.
63. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 148.
64. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 156.
65. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 19.
66. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 38.
67. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 47.
68. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 22.
69. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 48.
70. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 38.
71. Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha und Wolfgang Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum, Birkhäuser, S. 228.
72. Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha und Wolfgang Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum, Birkhäuser, S. 230.
73. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 108.
74. Serge Lang: Complex Analysis, Fourth Edition, Springer, S. 242.
75. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 207.
76. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 130.
77. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 145.
78. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 131.
79. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 132.
80. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 134.
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173. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 281.
174. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 262.
175. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 263.
176. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 264.
177. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 265.
178. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, S. 266.
179. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Auflage, Springer, S. 123.
180. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, S. 285.
181. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 138.
182. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 96.
183. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 139.
184. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 140.
185. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 142.
186. Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2, 3. Auflage, Springer, S. 141.
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192. G. Hardy, S. Ramanujan: Asymptotic Formulæ in Combinatory Analysis, Proceedings of the London Mathematical Society (2), Vol. 17, (1918), S. 75–115.
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201. Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, Springer, S. 13 ff.
202. Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, Springer, S. 187.
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204. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. I.A: The Elementary Properties of Holomorphic Functions.
205. Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, Springer, S. 319.
206. Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, Springer, S. 322–323.
207. Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2, Springer, S. 315.