L-Funktion

L-Funktionen werden i​n der analytischen Zahlentheorie u​nd darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel e​iner L-Funktion i​st die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen h​aben fundamentale Eigenschaften m​it der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie s​ind also Verallgemeinerungen d​er Riemannschen Zeta-Funktion. Zu d​en fundamentalen Eigenschaften d​er Riemannschen Zeta-Funktion zählen:

• die Riemannsche Zeta-Funktion stimmt in einem Teilbereich der komplexen Zahlenebene mit einer Dirichlet-Reihe und einem Euler-Produkt überein, die beide absolut konvergieren;
• die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion;
• die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.

Der Prototyp aller L-Funktionen: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Verschiedene Farben kodieren verschiedene Argumente der komplexen Funktionswerte. Helle Farbtöne zeigen Funktionswerte mit großem Absolutbetrag an, dunkle einen niedrigen nahe Null.

Basierend a​uf den grundlegenden Arbeiten v​on Leonhard Euler (1707–1783) z​ur heute s​o bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten d​ie Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) u​nd Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen v​on L-Funktionen, d​ie heute d​eren jeweiligen Namen tragen.

Die forschende Suche n​ach einer allgemeinen u​nd eindeutigen Definition d​es Begriffs „L-Funktion“, welche d​ie gewünschten u​nd zum Teil n​och unbewiesenen Eigenschaften v​on L-Funktionen beweisbar macht, i​st noch n​icht abgeschlossen. Vielmehr handelt e​s sich u​m ein wichtiges Ziel d​er analytischen Zahlentheorie, Klarheit über d​ie sinnvollste Definition d​es Begriffs „L-Funktion“ z​u gewinnen. In dieser Richtung h​at Atle Selberg (1917–2007) i​m Jahr 1992 e​ine axiomatische Definition d​er Klasse a​ller L-Funktionen vorgeschlagen. Ob d​iese oder andere Definitionsvorschläge s​chon alle wünschenswerten Eigenschaften v​on L-Funktionen umfassen u​nd unerwünschte ausschließen, i​st noch n​icht abschließend geklärt. Nach w​ie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, a​ber für plausibel o​der zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften v​on L-Funktionen) d​ie Theorie d​er L-Funktionen. Diese zählt s​omit weiterhin z​u den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.

Die beiden Begriffe „L-Funktion“ u​nd „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen n​icht alle mathematischen Funktionen, d​eren Namen d​en Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, z​u den L-Funktionen. Beispielsweise gehört d​ie Primzetafunktion n​icht zu d​en L-Funktionen, d​a sie analytisch n​icht auf d​ie ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.

Ein erstes Verständnis d​es Themenbereichs d​er L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse i​m Bereich d​er komplexen Zahlen, d​er Funktionentheorie, d​er analytischen u​nd algebraischen Zahlentheorie s​owie der Darstellungstheorie v​on Gruppen. Solche Vorkenntnisse können i​n diesem Artikel z​war teilweise erläutert, a​ber nicht umfassend dargestellt werden.

Definition

Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben.[1] Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:

Es sei ${\displaystyle \textstyle f}$ ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet ist eine Funktion ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$, die komplexe Argumente ${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$ auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ eine L-Funktion, wenn ${\displaystyle \textstyle f}$ die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):

D-1: Dirichlet-Reihe u​nd Euler-Produkt

Dem arithmetischen Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}}$,

welche m​an auch e​ine L-Reihe nennt, u​nd ein Euler-Produkt

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {C} }$ für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,1)=1}$. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} }$ symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$. Für jede Primzahl ${\displaystyle \textstyle p}$ und jedes ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$ ist ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C} }$. Die komplexen Zahlen ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)}$ werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ bei ${\displaystyle \textstyle p}$ genannt. Für ein gegebenes ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ heißt der Ausdruck

${\displaystyle (1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$,

also der ${\displaystyle p}$-te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von ${\displaystyle L(f,s)}$ bei ${\displaystyle p}$.

D-2: Gamma-Faktor

Daneben ist dem Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ ein so genannter Gamma-Faktor

${\displaystyle \gamma (f,s)=\pi ^{-ds/2}\prod _{j=1}^{d}\Gamma \left({\frac {s+\kappa _{j}}{2}}\right)}$

zugeordnet, wobei ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ die Gamma-Funktion, ${\displaystyle \textstyle \pi }$ die Kreiszahl und ${\displaystyle \textstyle d}$ den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter ${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$ sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.

D-3: Führer (Konduktor)

Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ eine natürliche Zahl

${\displaystyle q(f)\in \mathbb {N} }$,

der so genannte Führer oder Konduktor von ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$. Primzahlen ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, die ${\displaystyle \textstyle q(f)}$ nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl. ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$.

D-4: Vollständige L-Funktion

Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von ${\displaystyle \textstyle f}$:

${\displaystyle \Lambda (f,s)=q(f)^{s/2}\gamma (f,s)L(f,s).}$

D-5: Wurzelzahl

Des Weiteren ist dem Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ eine komplexe Zahl

${\displaystyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$

zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$.

D-6: Duales, arithmetisches Objekt

Schließlich ist ${\displaystyle \textstyle f}$ noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von ${\displaystyle \textstyle f}$ genannt und mit ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ bezeichnet. Wie im Fall von ${\displaystyle \textstyle f}$ sind auch ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ eine Dirichlet-Reihe

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda ({\bar {f}},n)n^{-s}}$,

ein Euler-Produkt

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{\bar {d}}({\bar {f}},p)p^{-s})^{-1}}$

mit ${\displaystyle \textstyle {\bar {d}}\in \mathbb {N} }$, ein Gamma-Faktor ${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)}$ und ein Führer ${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})}$ sowie eine vollständige L-Funktion ${\displaystyle \textstyle \Lambda ({\bar {f}},s)}$ zugeordnet. Ist ${\displaystyle \textstyle f={\bar {f}}}$, so nennt man ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ selbstdual, was nichts anderes bedeutet als ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {R} }$ für alle ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$.[2]

Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:

B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei ${\displaystyle \textstyle p}$

Für jede Primzahl ${\displaystyle \textstyle p}$ und jedes ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$ ist ${\displaystyle \textstyle |\alpha _{i}(f,p)|<p}$.

B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem ${\displaystyle \textstyle p}$

Für alle Primzahlen ${\displaystyle \textstyle p}$, die bzgl. ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ unverzweigt sind, und alle ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$ ist ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\neq 0}$.

B-3: Anforderungen a​n die lokalen Parameter i​m Unendlichen

Die Parameter ${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$ sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor ${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$ vor. Außerdem ist ${\displaystyle \textstyle \Re (\kappa _{j})>-1}$ für jedes ${\displaystyle \textstyle j\in \{1,\ldots ,d\}}$. Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass ${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$ keine Nullstellen in ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$ und keine Polstellen mit ${\displaystyle \textstyle \Re (s)\geq 1}$ besitzt. ${\displaystyle \textstyle \Re }$ bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.

B-4: Absolute Konvergenz d​er Dirichlet-Reihe u​nd des Euler-Produkts

Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet sind, konvergieren für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ absolut.

B-5: Übereinstimmung v​on L-Funktion, Dirichlet-Reihe u​nd Euler-Produkt i​n einer komplexen Halbebene

Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ überein:

${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}.}$

B-6: Analytische Fortsetzbarkeit u​nd Polstellen

Schon aus den Bedingungen, die die ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion ${\displaystyle \textstyle \Lambda (f,s)}$ in der Halbebene ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , welche Polstellen höchstens in ${\displaystyle \textstyle s=0}$ und ${\displaystyle \textstyle s=1}$ besitzt.

B-7: Absolutbetrag d​er Wurzelzahl

Die Wurzelzahl ${\displaystyle \textstyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$ besitzt den Absolutbetrag 1. Also: ${\displaystyle \textstyle |\epsilon (f)|=1}$.

B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet sind

Was das Dual ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ von ${\displaystyle \textstyle f}$ angeht, so muss gelten: ${\displaystyle \textstyle \lambda ({\bar {f}},n)={\bar {\lambda }}(f,n)}$ für alle ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$, sowie ${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)=\gamma (f,s)}$ und ${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})=q(f)}$. Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ zugeordnet ist, sind die ${\displaystyle \textstyle \lambda }$-Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der ${\displaystyle \textstyle \lambda }$-Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die ${\displaystyle \textstyle f}$ zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die ${\displaystyle \textstyle f}$ bzw. ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ zugeordnet sind, stimmen überein.

B-9: Funktionalgleichung

Die beiden vollständigen L-Funktionen, die ${\displaystyle \textstyle f}$ bzw. ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (f,s)=\epsilon (f)\Lambda ({\bar {f}},1-s)}$

für alle ${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$.

Atle Selberg (1917–2007)

Der Definitionsansatz v​on Iwaniec u​nd Kowalski spiegelt d​ie Tatsache wider, d​ass eine Funktion, d​ie als L-Funktion angesehen wird, typischerweise a​ls Zuordnung d​er L-Funktion z​u einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz i​st abstrakt u​nd unvollständig, d​a er d​ie Frage o​ffen lässt, w​as denn j​ene mathematischen Objekte g​enau sind u​nd wie j​ene Zuordnung stattzufinden hat.

Ohne Bezug z​u anderen, mathematischen Objekten k​ommt der Definitionsansatz d​es norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg v​on 1992 aus. In e​iner nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert e​r eine Teilmenge d​er Menge a​ller Dirichlet-Reihen, d​eren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz d​er Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung[Anm. 1] u​nd Euler-Produkt. Diese Teilmenge w​ird heute a​ls Selberg-Klasse bezeichnet.[3]

Die a​lles überragende Hypothese u​nd der motivierende Hintergrund für d​ie Definition d​er Selberg-Klasse i​st die s​o genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf d​ie Selberg-Klasse angewandt besagt d​iese Vermutung: k​eine Nullstelle e​iner analytischen Fortsetzung e​iner Dirichlet-Reihe i​n der Selberg-Klasse besitzt e​inen Realteil größer a​ls 1/2. Diese Vermutung entspricht i​m Fall d​es (vermeintlich) einfachsten Elements d​er Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe s​amt ihrer analytischen Fortsetzung z​ur Riemannschen Zeta-Funktion) d​er Riemannschen Vermutung, welche b​is heute w​eder bewiesen n​och widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für k​ein einziges Element d​er Selberg-Klasse bewiesen o​der widerlegt werden.

Vor diesem Hintergrund s​ind auch d​ie noch existierenden Unzulänglichkeiten b​ei der Definition d​es Begriffs „L-Funktion“ z​u sehen: m​an möchte d​en Begriff „L-Funktion“ s​o definieren, d​ass L-Funktionen d​ie Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte m​an bislang n​och nicht einmal d​en einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für d​ie Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, w​as ein Zeichen für mangelndes Verständnis d​er Riemannschen Zeta-Funktion s​ein könnte u​nd damit e​ine eindeutige Definition d​es verallgemeinernden Begriffs d​er „L-Funktion“ erschwert.

Beispiele von L-Funktionen

Dieser Abschnitt g​ibt einen Überblick über grundlegende Beispiele v​on L-Funktionen.

Riemannsche Zeta-Funktion

→ Hauptartikel: Riemannsche Zeta-Funktion

Bernhard Riemann (1826–1866)

Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“ ist die Riemannsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \textstyle \zeta }$.[4] Eines der möglichen „arithmetischen Objekte“ ${\displaystyle \textstyle f}$ im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

also

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

für alle ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$, konvergiert für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$:[5]

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

Riemannsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta (s)}$: Konturlinien Realteil(${\displaystyle \zeta }$(s))=0, blau, und Imaginärteil(${\displaystyle \zeta }$(s))=0, fliederfarben, für −5<Re(s)<3 und −25<Im(s)<65, sowie die „kritische Gerade“ Re(s)=1/2, braun. Für Re(s)<1 sind die Schnittpunkte der blauen und fliederfarbenen Konturlinien Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.

Da alle ${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$ reell sind, nämlich gleich 1, ist ${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$ selbstdual. Das zu ${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$ duale Objekt ist also ebenfalls ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$, somit ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$.

Der Grad d​es Euler-Produktes d​er Riemannschen Zeta-Funktion ist

${\displaystyle d=1}$.

Für ihre lokalen Parameter bei ${\displaystyle \textstyle p}$ gilt:

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

für alle ${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$. Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

Der lokale Parameter ${\displaystyle \textstyle \kappa }$ im Unendlichen ist dann also 0. Der Führer von ${\displaystyle \textstyle \zeta }$ ist

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$,

so d​ass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion d​ie Gestalt

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

annimmt. Diese Definition ist nur für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in ${\displaystyle \textstyle s=0}$ und ${\displaystyle \textstyle s=1}$ mit den Residuen −1 bzw. 1.[6] Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$, so erfüllt sie mit der Wurzelzahl

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

die Funktionalgleichung[7]

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

Damit besitzt auch die zunächst nur für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , welche einzig in ${\displaystyle \textstyle s=1}$ nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung ${\displaystyle \textstyle \zeta }$ auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung[8]

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen ${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$. Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.

Dirichletsche L-Funktionen

→ Hauptartikel: Dirichletsche L-Funktion

Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle ${\displaystyle \lambda }$- Koeffizienten gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0. Sei also für ein ${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$ ein Dirichlet-Charakter modulo ${\displaystyle \textstyle m}$

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$ in die Kreisgruppe ${\displaystyle \textstyle S^{1}}$ der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \textstyle \chi }$ heißt primitiv und ${\displaystyle \textstyle m}$ der Führer von ${\displaystyle \textstyle \chi }$, wenn er nicht schon durch eine Komposition

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

aus einem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \textstyle \chi '}$ modulo ${\displaystyle \textstyle m'}$ mit einem echten Teiler ${\displaystyle \textstyle m'}$ von ${\displaystyle \textstyle m}$ hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters ${\displaystyle \textstyle \chi }$ definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit ${\displaystyle \textstyle \chi }$ und als Dirichlet-Charakter modulo ${\displaystyle \textstyle m}$ bezeichnet wird:[9]

${\displaystyle \chi$ :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)=1\\0&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)>1.\end{cases}}}

Dirichletsche L-Funktion zum Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \textstyle \chi }$ modulo 7 mit ${\displaystyle \textstyle \chi (3)=\exp(i\pi /3)}$ für komplexe s mit −7 < Re(s) < 8 und −20 < Im(s) < 20: Die Verwandtschaft mit der Riemannschen Zeta-Funktion ist augenfällig. Trotzdem gibt es deutliche Unterschiede: Da es sich bei ${\displaystyle \chi }$ um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz. Sie besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in ${\displaystyle s=1}$. Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion sind die reellen (trivialen) Nullstellen um eine Einheit nach rechts verschoben. Sie sind als schwarze Punkte in −1, −3, −5 usw. im Schaubild erkennbar.[10] Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen 0<Re(s)<1 gehören zu den unendlich vielen, nicht-reellen (nicht-trivialen) Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden Re(s)=1/2.

Die trivialen Dirichlet-Charaktere ${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$ modulo ${\displaystyle m}$ besitzen den Funktionswert 1, falls ${\displaystyle \textstyle \operatorname {ggT} (n,m)=1}$, andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt ${\displaystyle \chi (n)=1}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ist nun ${\displaystyle \textstyle \chi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo ${\displaystyle \textstyle m}$, so ordnet man diesem arithmetischen Objekt ${\displaystyle \chi }$ folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

konvergiert d​ie Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ absolut.[11] Mit den lokalen Parametern bei ${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

gilt d​ies auch für d​as zugehörende Euler-Produkt, u​nd man h​at die Identität[12]

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist

${\displaystyle d=1}$

der Grad des Euler-Produkts. Setzt man ${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$, falls ${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$ (in diesem Fall heißt ${\displaystyle \textstyle \chi }$ gerade), und ${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$, falls ${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$ (in diesem Fall heißt ${\displaystyle \textstyle \chi }$ ungerade), so ist

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

der ${\displaystyle \textstyle \chi }$ zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes ${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$ ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Der Führer ${\displaystyle \textstyle m}$ des primitiven Dirichlet-Charakters ${\displaystyle \textstyle \chi }$ ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:

${\displaystyle q(\chi )=m}$.

Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt s​omit die Form[13]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

eine Definition, die nur für ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$ fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls ${\displaystyle \textstyle \chi }$ ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist.[14] Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in ${\displaystyle \textstyle s=1}$ mit Residuum 1.[15] Das zu ${\displaystyle \textstyle \chi }$ duale Objekt ist ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$, also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus ${\displaystyle \textstyle \chi }$ durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von ${\displaystyle \textstyle \chi }$ hervorgeht, d. h.

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

für alle ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$. Die Wurzelzahl ${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$ kann mit Hilfe der Gaußschen Summe[16]

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers ${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$ erstreckt sowie ${\displaystyle \textstyle \pi }$ die Kreiszahl, ${\displaystyle \textstyle i}$ die imaginäre Einheit und ${\displaystyle \exp }$ die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

erfüllt d​ann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion d​ie Funktionalgleichung[17]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist ${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$, da ${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$.[18] Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht.[19]

Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 d​ie nach i​hm benannten Dirichletschen L-Funktionen, u​m den Dirichletschen Primzahlsatz z​u beweisen, wonach i​n jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ mit }}\operatorname {ggT} (a,n)=1,{\text{ wobei }}a,n\in \mathbb {N} ,}$

d. h. in jeder Restklasse ${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$, unendlich viele Primzahlen liegen.[20] [21] Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass ${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$ gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \textstyle \chi }$.[22]

Dedekindsche L-Funktionen

→ Hauptartikel: Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ wie zum Beispiel ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$. Sei also ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper und ${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$ sein Erweiterungsgrad über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ sein Ganzheitsring und ${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$ seine Diskriminante. Weiter seien ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$ die Anzahl der reellen Einbettungen und ${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$ die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von ${\displaystyle K}$. Es ist also ${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$.

Richard Dedekind (1831–1916)

Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. ${\displaystyle K}$ ist für ${\displaystyle \Re (s)>1}$ definiert durch[23]

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

In der Summe durchläuft ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ alle vom Nullideal ${\displaystyle \{0\}}$ verschiedenen, ganzen Ideale von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$ bezeichnet die Absolutnorm von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

sind also[24]

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

Sie geben zu jedem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Anzahl der ganzen Ideale von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ mit Absolutnorm ${\displaystyle n}$ an. Insbesondere sind alle Koeffizienten ${\displaystyle \lambda (K,n)}$ reell und deshalb ${\displaystyle L(K,s)}$ selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für ${\displaystyle \Re (s)>1}$ absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Es gilt für ${\displaystyle \Re (s)>1}$ die Identität[25]

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren ${\displaystyle (1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}}$. Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$: [26]

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.}$

Die lokalen Parameter ${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$ hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale ${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$ ab: jedes Ideal ${\displaystyle (p)}$ besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung

${\displaystyle (p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}}$

in Primideale ${\displaystyle 0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$, in der gilt: ${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$ für nur endlich viele Primideale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Für höchstens ${\displaystyle n_{K}}$ viele Primideale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ kann ${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$ gelten. Solche ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ teilen ${\displaystyle (p)}$ und man schreibt dafür ${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$. Der Exponent ${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}}$ in der Primidealzerlegung von ${\displaystyle (p)}$ heißt der Verzweigungsindex von ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ über ${\displaystyle p}$. Ist ${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$, so gilt ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}}$ für ein ${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} }$, welches der Trägheitsindex von ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ über ${\displaystyle p}$ genannt wird. Für jedes ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ erfüllen die zum Ideal ${\displaystyle (p)}$ gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:

${\displaystyle \sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.}$

Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ lassen sich nun die lokalen Parameter ${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$ bestimmen, nämlich über die Faktoren ${\displaystyle (1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}}$ in der Identität[27]

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},}$

indem man die Polynome ${\displaystyle X^{f_{\mathfrak {p}}}-1}$ im Polynomring ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ faktorisiert.

Der Gamma-Faktor bzgl. ${\displaystyle L(K,s)}$ ist[28]

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

Der Betrag der Diskriminante von ${\displaystyle K}$ ist der Konduktor von ${\displaystyle L(K,s)}$: [29]

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

Damit ist die vollständige L-Funktion von ${\displaystyle K}$ für ${\displaystyle \Re (s)>1}$ gegeben durch

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei ${\displaystyle s=0}$ und ${\displaystyle s=1}$ und den dortigen Residuen ${\displaystyle -{\frac {2^{r}hR}{w}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {2^{r}hR}{w}}}$. Dabei ist ${\displaystyle r=n_{1}+n_{2}}$ die Anzahl der unendlichen Stellen, ${\displaystyle h\in \mathbb {N} }$ die Klassenzahl und ${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$ der Regulator von ${\displaystyle K}$ sowie ${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$ die Anzahl der Einheitswurzeln, die in ${\displaystyle K}$ liegen.[30]

Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1: [31]

${\displaystyle \epsilon (K)=1.}$

Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von ${\displaystyle K}$ der Funktionalgleichung[32]

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

Die analytisch fortgesetzte Funktion ${\displaystyle \Lambda (K,s)}$ gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von ${\displaystyle L(K,s)}$, nämlich durch die Definition[33]

${\displaystyle L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.}$

Dadurch wird ${\displaystyle L(K,s)}$ zu einer meromorphen Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit einem einfachen Pol in ${\displaystyle s=1}$. Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von ${\displaystyle L(K,s)}$ in ${\displaystyle s=1}$ die folgende Gestalt annimmt: [34]

${\displaystyle \operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.}$

Heckesche L-Funktionen

Heckesche L-Funktionen s​ind gemeinsame Verallgemeinerungen d​er Dirichletschen u​nd der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen s​ich also einerseits a​uf beliebige algebraische Zahlkörper (wie d​ie Dedekindschen L-Funktionen) u​nd hängen andererseits v​on geeigneten Charakteren a​b (wie d​ie Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte d​ie nach i​hm benannten L-Funktionen m​it Hilfe sogenannter Größencharaktere u​nd konnte d​ie bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang z​u L-Funktionen m​it Bezug z​u beliebigen algebraischen Zahlkörpern u​nd geeigneten Charakteren, d​er auch n​och weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.

L-Funktionen zu Größencharakteren

Heckesche L-Reihen z​u Größencharakteren besitzen d​ie Form[35]

Erich Hecke (1887–1947)

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet ${\displaystyle K}$ einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ und Erweiterungsgrad ${\displaystyle n:=n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$. Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$ bezeichnet die Absolutnorm von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Die komplexen Werte ${\displaystyle \chi ({\mathfrak {a}})}$ beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)

${\displaystyle \chi$ :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}

Dabei ist ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ein ganzes Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ und ${\displaystyle J^{\mathfrak {m}}}$ symbolisiert die Gruppe der zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden, gebrochenen Ideale von ${\displaystyle K}$. Das bedeutet: ein gebrochenes Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ von ${\displaystyle K}$ liegt genau dann in ${\displaystyle J^{\mathfrak {m}}}$, wenn der Exponent von ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ in der Primidealzerlegung von ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ gleich 0 ist für alle Primideale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle K}$, die das ganze Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilen (d. h. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {m}}}$). Die Gruppe ${\displaystyle J^{\mathfrak {m}}}$ verallgemeinert die bei Dirichletschen L-Funktionen verwendeten Gruppen ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }}$.

Ist nun ${\displaystyle \chi$ :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}} ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man ${\displaystyle \chi ({\mathfrak {a}})=0}$ für alle Ideale ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, die nicht teilerfremd zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ in der Halbebene ${\displaystyle \Re (s)>1}$ absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ durchläuft:[36]

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\chi ({\mathfrak {p}}){\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere ${\displaystyle \chi$ :\;J^{\mathfrak {m}}\;\longrightarrow \;S^{1}} , so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ des algebraischen Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist ein Gruppenhomomorphismus[37]

${\displaystyle \chi$ :\;J^{\mathfrak {m}}\longrightarrow \;S^{1},\;\;{\mathfrak {b}}\longmapsto \chi ({\mathfrak {b}}),}

zu d​em es z​wei Charaktere

${\displaystyle \chi _{e}:\;({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }\longrightarrow S^{1}\;{\text{ und }}\;\chi _{\infty }:\;\mathbf {R} ^{\star }\longrightarrow S^{1}}$

gibt, so dass für alle zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden Zahlen ${\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}$ gilt:

${\displaystyle \chi ((a))=\chi _{e}(a)\,\chi _{\infty }(a).}$

Zur Erläuterung dieser Definition:

• ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }}$ symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, besteht also aus allen Elementen von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}}$, die invertierbar sind.

• ${\displaystyle \mathbf {R} }$ bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl. ${\displaystyle K}$. Ist ${\displaystyle X}$ die Menge aller Einbettungen ${\displaystyle \tau$ :\;K\hookrightarrow \mathbb {C} } , so besteht ${\displaystyle \mathbf {R} }$ aus allen ${\displaystyle n}$-Tupeln ${\displaystyle (z_{\tau })_{\tau \in X}}$, ${\displaystyle z_{\tau }\in \mathbb {C} }$, mit ${\displaystyle z_{\overline {\tau }}={\overline {(z_{\tau })}}}$ für alle ${\displaystyle \tau \in X}$.[38] Addition und Multiplikation in der ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Algebra ${\displaystyle \mathbf {R} }$ sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion ${\displaystyle K\ni a\mapsto (\tau (a))_{\tau \in X}}$ liegt in ${\displaystyle \mathbf {R} }$.[39] Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\star }}$ besteht aus allen Elemente von ${\displaystyle \mathbf {R} }$, bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist ${\displaystyle a\in K^{\star }:=K\setminus \{0\}}$, so ist ${\displaystyle \tau (a)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle \tau \in X}$, denn die Einbettungen ${\displaystyle \tau \in X}$ sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \iota _{\infty }:\;K^{\star }\rightarrow \mathbf {R} ^{\star },\;a\mapsto \iota _{\infty }(a):=(\tau (a))_{\tau \in X}}$, bettet also die multiplikative Gruppe ${\displaystyle K^{\star }}$ in die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\star }}$ ein.

• Ein Element ${\displaystyle a\in K^{\star }}$ heißt teilerfremd zum ganzen Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, wenn das Hauptideal ${\displaystyle (a):=a{\mathcal {O}}_{K}}$ teilerfremd zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ist. Bezeichnet ${\displaystyle K^{({\mathfrak {m}})}:=\{a\in K^{\star }\mid (a,{\mathfrak {m}})=1\}}$ die Gruppe der zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden Elemente ${\displaystyle a\in K^{\star }}$ und ist ${\displaystyle a=b/c}$ mit zwei zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden ${\displaystyle b,c\in {\mathcal {O}}_{K}}$, so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \iota _{e}:\;K^{({\mathfrak {m}})}\rightarrow ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }}$, ${\displaystyle a\mapsto [b+{\mathfrak {m}}]/[c+{\mathfrak {m}}]}$, der ${\displaystyle a=b/c}$ auf den Quotienten der Restklassen von ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ abbildet.[40]

• Entsprechend seiner Definition zerfällt ${\displaystyle \chi }$ auf den zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ teilerfremden Hauptidealen ${\displaystyle (a)\subset {\mathcal {O}}_{K}}$ in einen „endlichen“ Charakter ${\displaystyle \chi _{e}}$ und einen „unendlichen“ Charakter ${\displaystyle \chi _{\infty }}$. Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung ${\displaystyle \chi _{e}(a)}$ durch ${\displaystyle \chi _{e}(\iota _{e}(a))}$ und ${\displaystyle \chi _{\infty }(a)}$ durch ${\displaystyle \chi _{\infty }(\iota _{\infty }(a))}$ ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird. ${\displaystyle \chi _{e}}$ und ${\displaystyle \chi _{\infty }}$ sind durch ${\displaystyle \chi }$ eindeutig bestimmt.[41]

Ein Größencharakter modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ heißt primitiv, wenn er nicht als Einschränkung

${\displaystyle \chi =\chi '|_{J^{m}}:J^{\mathfrak {m}}\longrightarrow S^{1}}$

eines Größencharakters ${\displaystyle \chi ':\,J^{{\mathfrak {m}}'}\rightarrow S^{1}}$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}'}$ dargestellt werden kann, in der das ganze Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}'}$ ein echter Teiler des ganzen Ideals ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ist. ${\displaystyle \chi }$ ist genau dann nicht primitiv, wenn sein „endlicher“ Charakter ${\displaystyle \chi _{e}}$ über ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}')^{\star }}$ faktorisiert, d. h. wenn ${\displaystyle \chi _{e}}$ als Kompositum

${\displaystyle \chi _{e}:\;({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}})^{\star }\longrightarrow ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}')^{\star }\;{\stackrel {\chi _{e}'}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

geschrieben werden kann, in der ${\displaystyle \chi _{e}'}$ der „endliche“ Charakter eines Größencharakters ${\displaystyle \chi '}$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}'}$ ist mit einem echten Teiler ${\displaystyle {\mathfrak {m}}'}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Der Führer eines Größencharakters ${\displaystyle \chi }$ modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ist der kleinste Teiler ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, so dass ${\displaystyle \chi }$ als Einschränkung ${\displaystyle \chi '|_{J^{\mathfrak {m}}}}$ eines Größencharakters ${\displaystyle \chi ':J^{\mathfrak {f}}\rightarrow S^{1}}$ dargestellt werden kann. Der Führer von ${\displaystyle \chi }$ lässt sich auch mit Hilfe des „endlichen“ Charakters ${\displaystyle \chi _{e}}$ von ${\displaystyle \chi }$ definieren: ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ist der kleinste Teiler von ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, so dass ${\displaystyle \chi _{e}}$ über ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {f}})^{\star }}$ faktorisiert.[42]

Mit Hilfe d​es Begriffs e​ines primitiven Größencharakters lassen s​ich nun a​lle für L-Funktionen typischen Objekte definieren u​nd die gewünschten Aussagen nachweisen: vervollständigte Heckesche L-Funktion, analytische Fortsetzung, Führer, Wurzelzahl u​nd Funktionalgleichung. Dies i​st der Weg, d​en Erich Hecke beschritten h​at und i​m Lehrbuch v​on Neukirch detailliert beschrieben wird.[43] Dieser Zugang verwendet allerdings mathematische Objekte (ideale Zahlen), d​ie aus heutiger Sicht a​ls überholt gelten können u​nd das eigentliche Wesen d​er vervollständigten Heckeschen L-Funktionen verschleiern.[44]

L-Funktionen zu Idelklassencharakteren

Die modernere Theorie zur Behandlung von Heckeschen L-Funktionen, die auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, ist unter dem Namen Tate's Thesis (Doktorarbeit des US-amerikanischen Mathematikers John T. Tate) bekannt. Diese Theorie verwendet Idelklassencharaktere anstelle primitiver Größencharaktere[45], zu deren Definition die Begriffe Adel und Idel benötigt werden: Sei weiterhin ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper und

John T. Tate (1925–2019)

${\displaystyle \mathbb {A}$ :=\mathbb {A} _{K}:=\prod _{v}'K_{v}}

der Adelring von ${\displaystyle K}$. Dabei durchläuft ${\displaystyle v}$ die unendliche Menge aller Stellen, d. h. die Menge aller Äquivalenzklassen nicht-trivialer Absolutbeträge von ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle K_{v}}$ bezeichnet die komplette Hülle (Vervollständigung) von ${\displaystyle K}$ bzgl. ${\displaystyle v}$.[Anm. 2] Das Auslassungszeichen am Produktsymbol zeigt die Einschränkung im Vergleich zum direkten Produkt ${\displaystyle \prod _{v}K_{v}}$ an, dass in jedem Adel ${\displaystyle (x_{v})_{v}\in \mathbb {A} }$ für fast alle (d. h. für alle bis auf höchstens endlich viele) Stellen ${\displaystyle v}$ die Komponente ${\displaystyle x_{v}\in K_{v}}$ im Ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ der ${\displaystyle v}$-ganzen Elemente von ${\displaystyle K_{v}}$ liegen muss. Der kanonische Einbettungshomomorphismus ${\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} ,\;x\mapsto (x_{v})_{v}}$, ${\displaystyle x_{v}=x}$ für alle ${\displaystyle v}$, ist wohldefiniert, da jedes ${\displaystyle x\in K}$ für fast alle Stellen ${\displaystyle v}$ ganz ist.[46] Die Elemente der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }}$ der Einheiten (invertierbaren Elemente) von ${\displaystyle \mathbb {A} }$ heißen die Idele von ${\displaystyle K}$. Auch ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }}$ lässt sich als eingeschränktes Produkt schreiben:

${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$.

Hier bedeutet das Auslassungszeichen, dass ein Element ${\displaystyle (x_{v})_{v}}$ des direkten Produkts ${\displaystyle \prod _{v}K_{v}}$ genau dann ein Idel ist, wenn ${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ für fast alle Stellen ${\displaystyle v}$ gilt. Vermöge ${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} ^{\times }}$, ${\displaystyle x\mapsto (x_{v})_{v}}$, ${\displaystyle x_{v}=x}$ für alle ${\displaystyle v}$, lässt sich die Einheitengruppe von ${\displaystyle K}$ in die Gruppe der Idele einbetten, so dass man ${\displaystyle K^{\times }}$ als Untergruppe der Idelgruppe ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }}$ auffassen kann, deren Elemente die Hauptidele von ${\displaystyle K}$ genannt werden. Die Quotientengruppe ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }/K^{\times }}$ heißt die Idelklassengruppe von ${\displaystyle K}$. Idelgruppe und Idelklassengruppe werden mit geeigneten Topologien versehen, so dass man anschließend von stetigen Abbildungen sprechen kann.[47] Ein Idelklassencharakter von ${\displaystyle K}$ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \chi$ :\mathbb {A} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {C} ^{\times }} ,

der auf ${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} ^{\times }}$ trivial ist, also dort ausschließlich den Wert 1 annimmt. Insofern kann man ${\displaystyle \chi }$ auch als Charakter ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }/K^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ der Idelklassengruppe auffassen, was den Namen „Idelklassencharakter“ rechtfertigt. Ein solcher Charakter besitzt stets eine Zerlegung

${\displaystyle \chi =\prod _{v}'\chi _{v}}$

in lokale Charaktere ${\displaystyle \chi _{v}:K_{v}^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$, die für fast alle Stellen ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K}$ unverzweigt sind. Dies wird durch das Auslassungszeichen am Produktsymbol angezeigt. Dabei heißt ein lokaler Charakter ${\displaystyle \chi _{v}}$ unverzweigt, wenn seine Einschränkung auf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ trivial ist, andernfalls verzweigt.[48]

Der Führer ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$ eines Idelklassencharakters ist ein ganzes Ideal in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, nämlich

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{v\not \mid \infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{a(\chi _{v})}.}$

Das Produkt durchläuft alle endlichen Stellen von ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ ist das durch ${\displaystyle v}$ bestimmte Primideal. Die Exponenten ${\displaystyle a(\chi _{v})}$ liegen in ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$. Ist ${\displaystyle \chi _{v}}$ unverzweigt, so ist ${\displaystyle a(\chi _{v})=0}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}^{a(\chi _{v})}}$ trägt nichts zum Führer bei. Ist ${\displaystyle \chi _{v}}$ verzweigt, so ist ${\displaystyle a(\chi _{v})}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle k\geq 1}$, so dass ${\displaystyle \chi _{v}}$ auf ${\displaystyle 1+\pi _{v}^{k}{\mathcal {O}}_{v}}$ trivial ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \pi _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ ein uniformisierendes Element.[49]

Die (nicht vervollständigte) L-Funktion zum Idelklassencharakter ${\displaystyle \chi }$ ist definiert durch

${\displaystyle L(\chi ,s):=\prod _{v\not \mid \infty }'(1-\chi _{v}(\pi _{v})q_{v}^{-s})^{-1}}$.

Das Produkt wird über alle endlichen Stellen ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K}$ gebildet, für die ${\displaystyle \chi }$ unverzweigt ist. ${\displaystyle q_{v}}$ bezeichnet die Ordnung des Restklassenkörpers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}/(\pi _{v})}$. Da ${\displaystyle \chi _{v}}$ unverzweigt ist, hängt der Wert von ${\displaystyle \chi _{v}(\pi _{v})}$ nicht von der Wahl des uniformisierenden Elements ${\displaystyle \pi _{v}}$ ab. Das Produkt auf der rechten Seite der Definition von ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ konvergiert in einer rechten Halbebene der komplexen Zahlenebene absolut.[50]

Zur Vervollständigung von ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ werden noch L-Faktoren an den unendlichen Stellen benötigt:[51]

${\displaystyle L_{\infty }(\chi ,s):=\prod _{v\mid \infty }L(\chi _{v},s)}$.

Ist dabei ${\displaystyle v}$ eine reelle, unendliche Stelle, so ist die Vervollständigung ${\displaystyle K_{v}}$ gleich ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Der lokale Charakter ${\displaystyle \chi _{v}:K_{v}^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ kann also mit einem Charakter ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ identifiziert werden. Letzterer besitzt notwendig die Form ${\displaystyle t\mapsto |t|^{s_{0}}(t/|t|)^{m}}$ mit eindeutig bestimmten Zahlen ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle m\in \{0,1\}}$. Der L-Faktor an der reellen, unendlichen Stelle ${\displaystyle v}$ ist dann definiert durch

${\displaystyle L(\chi _{v},s):=\Gamma _{\mathbb {R} }(s+s_{0}+m),\;\Gamma _{\mathbb {R} }(z):=\pi ^{-z/2}\Gamma (z/2).}$

Ist ${\displaystyle v}$ eine nicht-reelle, unendliche, also komplexe Stelle, so ist ${\displaystyle K_{v}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , und es gibt zwei Möglichkeiten der Identifikation von ${\displaystyle K_{v}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Man wählt eine davon und kann dann ${\displaystyle \chi _{v}:K_{v}^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ als Charakter ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ auffassen. Ein solcher Charakter von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ hat stets die Form ${\displaystyle t\mapsto |t|^{2s_{0}}(t/|t|)^{m}}$ mit eindeutig bestimmten Zahlen ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$. Der zu ${\displaystyle v}$ gehörende L-Faktor ist dann gegeben durch

${\displaystyle L(\chi _{v},s):=\Gamma _{\mathbb {C} }(s+s_{0}+|m|/2),\;\Gamma _{\mathbb {C} }(z):=2\cdot (2\pi )^{-z}\Gamma (z).}$[52]

Die vollständige L-Funktion zum Idelklassencharakter ${\displaystyle \chi }$ ist nun definiert als[53]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):={\big (}|d_{K}|\cdot {\mathcal {N}}{\mathfrak {f(\chi )}}{\big )}^{s/2}\cdot L_{\infty }(\chi ,s)\cdot L(\chi ,s)}$,

mit dem Absolutbetrag ${\displaystyle |d_{K}|}$ der Diskriminante von ${\displaystyle K}$ und der Norm ${\displaystyle {\mathcal {N}}{\mathfrak {f(\chi )}}}$ des Führers von ${\displaystyle \chi }$. Der Führer der L-Funktion ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ setzt sich also zusammen aus dem Absolutbetrag der Diskriminante des Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ und der Norm des Führers des Idelklassencharakters ${\displaystyle \chi }$:[54]

${\displaystyle q(\chi ):=|d_{K}|\cdot {\mathcal {N}}{\mathfrak {f(\chi )}}}$.

Der Grad von ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ ist der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:[55]

${\displaystyle d:=[K:\mathbb {Q} ]}$.

Was die Funktionalgleichung der vollständigen L-Funktion ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ angeht, so gibt es eine relle Zahl ${\displaystyle r}$ und eine Wurzelzahl ${\displaystyle \epsilon (\chi )\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |\epsilon (\chi )|=1}$, so dass gilt:[56]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},r-s).}$

Ist ${\displaystyle \chi$ :\mathbb {A} ^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }} ein unitärer Idelklassencharakter, liegt also sein Bild auf dem Einheitskreis ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$, so ist ${\displaystyle r=1}$.[57]

Artinsche L-Funktionen

Die bislang aufgeführten Beispiele v​on L-Funktionen beziehen s​ich direkt a​uf einzelne algebraische Zahlkörper u​nd zugehörende Charaktere. Dem gegenüber s​ind Artinsche L-Funktionen d​en Darstellungen d​er Galoisgruppe e​iner galoisschen Körpererweiterung zugeordnet. Sie stehen i​n einer e​ngen Beziehung z​u den o​ben genannten L-Funktionen, verallgemeinern j​ene jedoch erheblich. Die initiale Beobachtung, welche z​ur Definition v​on Artinschen L-Funktionen motiviert, betrachtet d​en Isomorphismus

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\;{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\;G(\mathbb {Q} (\mu _{m})/\mathbb {Q} )}$

zwischen der Gruppe der invertierbaren Restklassen des Restklassenrings ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, und der Galoisgruppe des Kreisteilungskörpers ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{m})}$ der ${\displaystyle m}$-ten Einheitswurzeln. Dieser Gruppenisomorphismus ordnet der Restklasse ${\displaystyle p\operatorname {mod} m}$ einer Primzahl ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle p\not \mid m}$ den Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle \phi _{p}:\mathbb {Q} (\mu _{m})/\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} (\mu _{m})/\mathbb {Q} }$ zu, der jede ${\displaystyle m}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle \zeta }$ auf ${\displaystyle \zeta ^{p}}$ abbildet und dadurch festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Isomorphie lässt sich ein Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }} auch als ein Charakter ${\displaystyle \chi :G(\mathbb {Q} (\mu _{m})/\mathbb {Q} )\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ auffassen. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ kann als die allgemeine, lineare Gruppe ${\displaystyle GL_{1}(\mathbb {C} )}$ des eindimensionalen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {C} }$ interpretiert werden. So erhält man aus dem ursprünglichen Dirichlet-Charakter eine eindimensionale Darstellung

${\displaystyle \chi :G(\mathbb {Q} (\mu _{m})/\mathbb {Q} )\longrightarrow GL_{1}(\mathbb {C} )}$,

mit d​eren Hilfe s​ich die d​em Dirichlet-Charakter zugeordnete L-Reihe a​uch in d​er Form schreiben lässt:[58]

${\displaystyle L(\chi ,s)=\prod _{p\not \mid m}(1-\chi (\phi _{p})p^{-s})^{-1}}$.

Emil Artin (1898–1962)

Ausgehend von dieser initialen Beobachtung sind Artinsche L-Reihen folgendermaßen definiert: Es sei ${\displaystyle E/K}$ eine endliche, galoissche Erweiterung von Zahlkörpern mit Galoisgruppe ${\displaystyle G:=G(E/K)}$, ${\displaystyle V}$ ein endlich-dimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum und

${\displaystyle \rho :G\longrightarrow GL(V),\;\sigma \longmapsto \rho (\sigma ),}$

eine Darstellung ${\displaystyle (\rho ,V)}$ von ${\displaystyle G}$, also ein Gruppenhomomorphismus der Galoisgruppe ${\displaystyle G}$ in die allgemeine, lineare Gruppe ${\displaystyle GL(V)}$ der Vektorraumautomorphismen von ${\displaystyle V}$. Sei nun ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ein von Null verschiedenes Primideal von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle E}$, das über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ liegt, d. h. ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ist ein Faktor in der Primidealzerlegung des Ideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{E}}$ des Ganzheitsrings ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}}$ von ${\displaystyle E}$. Die Zerlegungsgruppe ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ über ${\displaystyle K}$ ist die Untergruppe ${\displaystyle \{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}\}}$ der Galoisgruppe ${\displaystyle G}$. Man hat einen kanonischen, surjektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}\longrightarrow G(k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}}),\;\sigma \longrightarrow {\overline {\sigma }},}$

von der Zerlegungsgruppe ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ auf die Galoisgruppe der Erweiterung ${\displaystyle k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}}}$ endlicher Restkörper ${\displaystyle k_{\mathfrak {P}}:={\mathcal {O}}_{E}/{\mathfrak {P}}}$ und ${\displaystyle k_{\mathfrak {p}}:={\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$. Dabei ist ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ der Körperautomorphismus ${\displaystyle k_{\mathfrak {P}}\rightarrow k_{\mathfrak {P}},\;x\mapsto \sigma x\operatorname {mod} {\mathfrak {P}}}$. Der Kern ${\displaystyle I_{\mathfrak {P}}\subseteq G_{\mathfrak {P}}}$ dieses surjektiven Gruppenhomomorphismus heißt die Trägheitsgruppe von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ über ${\displaystyle K}$ und liefert den kanonischen Gruppenisomorphismus

${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}G(k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}})}$.

Als Galoisgruppe einer Erweiterung endlicher Körper ist ${\displaystyle G(k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}})}$ zyklisch und wird vom Frobeniusautomorphismus

${\displaystyle k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}}\longrightarrow k_{\mathfrak {P}}/k_{\mathfrak {p}},\;\alpha \mapsto \alpha ^{q_{\mathfrak {p}}},\;q_{\mathfrak {p}}:={\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=\#k_{\mathfrak {p}},}$

erzeugt. Jedes seiner Urbilder in ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ unter dem kanonischen Gruppenisomorphismus erzeugt die Faktorgruppe ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}}$ und wird ein Frobeniusautomorphismus ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ über ${\displaystyle K}$ genannt. Ist die Trägheitsgruppe nicht-trivial, so gibt es mehrere, solche Urbilder. Beschränkt man aber ein ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}}$ auf den Fixmodul ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}:=\{v\in V\mid \forall \sigma \in I_{\mathfrak {P}}:\,\rho (\sigma )(v)=v\}}$, einen Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, so entsteht unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}}$ ein wohldefinierter Automorphismus ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}:V^{I_{\mathfrak {P}}}\rightarrow V^{I_{\mathfrak {P}}}}$. Es bezeichne ${\displaystyle d_{\mathfrak {P}}:=\operatorname {dim} V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ die Dimension des Untervektorraums ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ und ${\displaystyle E_{\mathfrak {P}}}$ die ${\displaystyle d_{\mathfrak {P}}}$-dimensionale Einheitsmatrix.[59]

Die Artinsche L-Reihe zur Darstellung ${\displaystyle (\rho ,V)}$ der Galoisgruppe ${\displaystyle G=G(E/K)}$ ist nun definiert durch[60]

${\displaystyle L(\rho ,s):=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {det} (1-\phi _{\mathfrak {P}}q_{\mathfrak {p}}^{-s};V^{I_{\mathfrak {P}}})^{-1}:=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\big (}\operatorname {det} (E_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}}X)|_{X=q_{\mathfrak {p}}^{-s}}{\big )}^{-1},}$

in der das Produkt alle von Null verschiedenen Primideale des Ganzheitsrings von ${\displaystyle K}$ durchläuft. Das erste Produkt ist die Kurzschreibweise dieser Definition, welche durch das zweite Produkt erläutert werden soll: Der Ausdruck ${\displaystyle \operatorname {det} (E_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}}X)}$ liefert ein Polynom vom Grad ${\displaystyle d_{\mathfrak {P}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$. Im Vergleich zum charakteristischen Polynom ${\displaystyle \operatorname {det} (XE_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}})}$ von ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}}$ ist in diesem Polynom die Reihenfolge der Koeffizienten umgekehrt. Die Schreibweise ${\displaystyle |_{X=q_{\mathfrak {p}}^{-s}}}$ bedeutet, dass ${\displaystyle q_{\mathfrak {p}}^{-s}}$ an die Stelle von ${\displaystyle X}$ in das Polynom ${\displaystyle \operatorname {det} (E_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}}X)}$ eingesetzt werden soll. Die einzelnen Euler-Faktoren ${\displaystyle (\operatorname {det} (E_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}}X)|_{X=q_{\mathfrak {p}}^{-s}}{\big )}^{-1}}$ hängen nicht von der Wahl des über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ gelegenen Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ab, da eine andere Wahl lediglich zu einem bzgl. ${\displaystyle G}$ konjugierten Frobeniusautomorphismus führt, welcher das Polynom ${\displaystyle \operatorname {det} (E_{\mathfrak {P}}-\phi _{\mathfrak {P}}X)}$ nicht ändert. Artinsche L-Reihen sind somit wohldefiniert. Sie konvergieren in der Halbebene ${\displaystyle \Re (s)>1}$ absolut und für jedes ${\displaystyle \delta >0}$ gleichmäßig in ${\displaystyle \Re (s)\geq 1+\delta }$. Sie stellen dort also analytische (holomorphe) Funktionen dar.[61]

Der Charakter einer Darstellung ${\displaystyle \rho :G\mapsto GL(V)}$ der Galoisgruppe ${\displaystyle G}$ wird definiert als die Funktion

${\displaystyle \chi$ :=\chi _{\rho }:G\longrightarrow \mathbb {C} ,\sigma \longmapsto \operatorname {Spur} \rho (\sigma ).}

Zwei Darstellungen ${\displaystyle (\rho ,V)}$ und ${\displaystyle (\rho ',V')}$ der Galoisgruppe ${\displaystyle G}$ heißen äquivalent, wenn die ${\displaystyle G}$-Moduln ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle V'}$, also die abelschen Gruppen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle V'}$, auf denen die ${\displaystyle G}$ als Automorphismengruppe operiert, isomorph sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Charaktere ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ und ${\displaystyle \chi _{\rho '}}$ gleich sind.[62] Deshalb bezeichnet man die Artinsche L-Reihe ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ in der Regel mit ${\displaystyle L(\chi ,s)}$.[63] Entsprechend ihrer Definition durchläuft sie nur die endlichen Stellen von ${\displaystyle K}$, nämlich die von Null verschiedenen Primideale von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Es fehlt noch der Gamma-Faktor an den unendlichen Stellen:

${\displaystyle \gamma (\chi ,s):=\prod _{{\mathfrak {p}}|\infty }L_{\mathfrak {p}}(\chi ,s),}$

wobei

${\displaystyle L_{\mathfrak {p}}(\chi ,s)={\begin{cases}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{\operatorname {dim} V^{G_{\mathfrak {P}}}}\cdot \Gamma _{\mathbb {R} }(s+1)^{\operatorname {dim} V/V^{G_{\mathfrak {P}}}}&{\text{falls}}\;{\mathfrak {p}}\;{\text{reell}}\\\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{\operatorname {dim} V}&{\text{falls}}\;{\mathfrak {p}}\;{\text{komplex}}\end{cases}}}$

mit ${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {R} }(z):=\pi ^{-z/2}\Gamma (z/2)}$ und ${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {C} }(z):=2\cdot (2\pi )^{-z}\Gamma (z)}$ sowie ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ als der Zerlegungsgruppe einer über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ gelegenen Stelle ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Sind ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ reell, so besteht ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ nur aus der Identität und ist somit einelementig. Ist ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ reell, aber ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ komplex, so besitzt ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ zwei Elemente: die Identität und das eindeutige Element in ${\displaystyle G}$, welches die beiden komplexen Einbettungen von ${\displaystyle E}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , die zu ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ gehören, vertauscht.[64][65]

Der Artin-Führer ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$ eines Charakters ${\displaystyle \chi }$ einer Darstellung ${\displaystyle \rho }$ von ${\displaystyle G}$ ist ein Ideal von ${\displaystyle K}$, welches die Verzweigung von ${\displaystyle \rho }$ misst.[66] Mit seiner Hilfe lässt sich nun die vervollständigte Artinsche L-Funktion definieren durch

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{s/2}\cdot \gamma (\chi ,s)\cdot L(\chi ,s)=(|d_{K}|^{\operatorname {dim} V}{\mathcal {N}}{\mathfrak {f}}(\chi ))^{s/2}\prod _{{\mathfrak {p}}\mid \infty }L_{\mathfrak {p}}(\chi ,s)\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\not \mid \infty }(\operatorname {det} (1-\phi _{\mathfrak {P}}q_{\mathfrak {p}}^{-s};V^{I_{\mathfrak {P}}})^{-1}.}$

Dabei ist ${\displaystyle q(\chi ):=|d_{K}|^{\operatorname {dim} V}{\mathcal {N}}{\mathfrak {f}}(\chi )}$ der Führer der L-Funktion ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ , welcher eine Potenz des Betrags der Diskriminante ${\displaystyle d_{K}}$ von ${\displaystyle K}$ und die Norm des Artin-Führers von ${\displaystyle \rho }$ enthält. Diese Definition der vervollständigten Artinschen L-Funktion ist zunächst nur in der Halbebene ${\displaystyle \Re (s)>1}$ gültig. ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ kann aber meromorph auf die ganze komplexe Zahlenebene fortgesetzt werden. Bezeichnet man auch diese fortgesetzte L-Funktion mit ${\displaystyle \Lambda }$, so erfüllt sie die Funktionalgleichung

${\displaystyle \Lambda (\chi ,1-s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},s)}$

mit einer komplexen Konstanten ${\displaystyle \epsilon (\chi )}$, welche den Absolutbetrag 1 besitzt und die Artinsche Wurzelzahl von ${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)}$ genannt wird.[67] Der Grad von ${\displaystyle \Lambda }$ ist ${\displaystyle \operatorname {dim} V}$ über ${\displaystyle K}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {dim} V\cdot [K:\mathbb {Q} ]}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.[68]

Die bislang unbewiesene Artin-Vermutung besagt, jede Artinsche L-Funktion lasse sich analytisch (holomorph) von der Halbebene ${\displaystyle \Re (s)>1}$ auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ fortsetzen, sofern der Charakter ${\displaystyle \chi }$ von ${\displaystyle \rho }$ bei der Zerlegung in Charaktere zu irreduziblen Darstellungen von ${\displaystyle \rho }$ keinen trivialen Charakter enthält. Diese Vermutung gilt z. B. für eindimensionale Darstellungen, ist aber im allgemeinen Fall unbewiesen.[69] Die Existenz von Artinschen L-Funktionen, die im kritischen Streifen ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ Polstellen besitzen, kann also bisher nicht ausgeschlossen werden.[70]

Artinsche L-Funktionen lassen sich nicht nur im Bezug auf Darstellungen von endlichen Galoiserweiterungen algebraischer Zahlkörper definieren. Allgemeiner kann man globale Körper zu Grunde legen, zu denen die algebraischen Zahlkörper gehören. Neben den Fall „${\displaystyle K=\;}$algebraischer Zahlkörper“ tritt dann auch der Fall „${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}(T)=\;}$Funktionenkörper einer Variablen über einem endlichen Körper mit ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ vielen Elementen.“[71]

Vermutete Eigenschaften

Man k​ann aus bekannten Beispielen ablesen, welche Eigenschaften e​ine Theorie d​er L-Funktionen h​aben sollte, u​nd zwar sollte sie

1. die Position der Null- und Polstellen ergeben,
2. Funktionalgleichungen bezüglich der Vertikallinien Re (s) = constant liefern,
3. spezielle und interessante Werte für ganzzahlige Argumente ergeben.

Detailuntersuchungen h​aben eine große Zahl plausibler Vermutungen erzeugt, z​um Beispiel über d​en genauen Typ d​er gerade angegebenen Funktionalgleichungen. Da d​ie Riemannsche ζ-Funktion d​urch ihre Werte b​ei geradzahligen positiven ganzen Zahlen (und negativen ungeradzahligen Werten) m​it den Bernoullischen Zahlen zusammenhängt, l​iegt es nahe, n​ach einer Verallgemeinerung d​er Bernoullischen Zahlen i​n der angegebenen Theorie z​u suchen. Man verwendet d​azu die Körper d​er p-adischen Zahlen, wodurch gewisse Galois-Moduln beschrieben werden.

Die statistischen Eigenschaften d​er Nullstellenverteilung d​er L-Funktionen s​ind unter anderen deshalb v​on Interesse, w​eil sie m​it allgemeinen Problemen zusammenhängt, z​um Beispiel m​it einer Hypothese über d​ie Primzahlverteilung u​nd mit anderen sogenannten verallgemeinerten Riemannschen Hypothesen. Der Zusammenhang m​it den Theorien d​er Zufallsmatrizen u​nd des sogenannten Quantenchaos i​st ebenfalls v​on Interesse. Die fraktale Struktur d​er Verteilungen w​urde ebenfalls m​it sogenannten Skalenanalysen untersucht.[72] Die Selbstähnlichkeit d​er Nullstellenverteilung i​st sehr bemerkenswert u​nd wird d​urch einen großen Wert d​er fraktalen Dimension, ~ 1.9, charakterisiert. Dieser s​ehr hohe Wert g​ilt für m​ehr als 15 Größenordnungen d​er Nullstellenverteilung d​er Riemannschen ζ-Funktion u​nd auch für d​ie Nullstellen anderer L-Funktionen.

Siehe auch

• Langlands-Programm
• Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Literatur

• Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9.
• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5.
• Daniel Bump u. a.: An Introduction to the Langlands Program. Herausgeber: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart. Birkhäuser, Boston 2004, ISBN 3-7643-3211-5.
• Henri Cohen: Advanced Topics in Computational Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 193). 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98727-4. (Insbesondere Kapitel 3 und 4 sowie Abschnitt 10.3)
• Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function: theory and applications. Dover, Mineola 2003, ISBN 0-486-42813-3.
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3633-1.
• Anatoly A. Karatsuba, S. M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-54273-6 (insbesondere Kapitel VII).
• Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. Vortragsskript, Vilnius Universität, September 2007, Link.
• Cristian Popescu, Karl Rubin, Alice Silverberg (Hrsg.): Arithmetic of L-functions (= IAS/Park City Mathematics Series. Band 18). 1. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA 2011, ISBN 978-0-8218-5320-7.
• Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1877). 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-26526-9.

Weblinks

• The L-functions and modular forms database - LMFDB Umfangreiche Sammlung von L-Funktionen und anderer, zahlentheoretischer Objekte.
• Glimpses of a new (mathematical) world, Physorg.com, 13. März 2008.
• Hunting the elusive L-function.
• K. Soundararajan: L-Functions. Vorlesungsreihe (engl.), 2014.
• Analytic L-functions: Definitions, Theorems and Connections.

Einzelnachweise

1. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 94.
2. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 1, S. 95.
3. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet-series. In: Enrico Bombieri u. a. (Hrsg.): Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory. 1992, S. 367–385; Collected Papers. Vol. II, Springer, 1991, S. 47–63.
4. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, 1992, S. 439 ff.
5. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Satz 1.1, 1992, S. 439.
6. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
7. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
8. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Korollar 1.7, 1992, S. 446.
9. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 454 f.
10. Tom M. Apostol: Note on the trivial zeros of Dirichlet L-functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 94, Nummer 1, S. 29–30. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0781049-8.
11. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
12. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
13. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 457.
14. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, 1992, S. 461.
15. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 9, S. 119.
16. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Definition 2.5, 1992, S. 459.
17. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, 1992, S. 461.
18. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.6, 1992, S. 459, Theorem 2.8, S. 461.
19. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 455.
20. P. G. L. Dirichlet: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. In: Abhand. Ak. Wiss. Berlin. (1837), S. 45–81; Werke I (1889), S. 313–342.
21. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.14, 1992, S. 490.
22. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.13, 1992, S. 490.
23. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Definition 5.1, 1992, S. 478.
24. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
25. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Satz 5.2, 1992, S. 478.
26. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
27. Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 13, Abschnitt 1, S. 250.
28. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
29. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
30. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
31. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
32. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
33. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, 1992, S. 488.
34. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.11, 1992, S. 488.
35. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 491.
36. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 8, S. 515.
37. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, Definition 6.1, S. 492.
38. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 3, S. 464.
39. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 1, Paragraph 5, S. 31.
40. Cohen: Advanced Topics in Computational Number Theory. 2000, Kapitel 3, Abschnitt 3, S. 135.
41. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 492.
42. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 494.
43. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraphen 6 bis 8, S. 491–525.
44. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 377.
45. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 8, Bemerkung 2, S. 525.
46. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 377.
47. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 378.
48. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 378 und 379.
49. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 382.
50. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 379.
51. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 383.
52. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 358, 383 und 384.
53. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Abschnitt 3.2.
54. Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kap. 3, Invariants, S. 17.
55. Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kap. 2, Basic Theory of the Selberg Class, S. 7.
56. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Theorem 2.1.
57. Popescu et al. (Hrsg.): Arithmetic of L-Functions. 2011, Part III, Lecture 2, S. 384, Abschnitt 3.2, mit S. 361, Proposition 1.1.
58. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, Einleitung, 1992, S. 539.
59. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 539 und 540.
60. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, Definition 10.1, 1992, S. 540.
61. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 540.
62. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 541.
63. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 10, 1992, S. 544.
64. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 3.1, S. 75, und Abschnitt 4.1, S. 80.
65. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 12, 1992, S. 558 f.
66. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 4.2, S. 80.
67. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 4.3, Theorem 4.1, S. 81.
68. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 4, Abschnitt 5.13, S. 141.
69. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Conjecture 5.1, S. 83.
70. Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 5.13, S. 142.
71. Ehud de Shalit: Artin L Functions. In: An Introduction to the Langlands Program. Bernstein, Gelbart (Hrsg.), 2004, Kapitel 4, Abschnitt 3.1, S. 75.
72. O. Shanker: Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions. In: J. Phys. A: Math. Gen. Band 39, 2006, S. 13983–13997, doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

Anmerkungen

1. Die Ramanujan-Vermutung bezieht sich auf die Koeffizienten ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)}$ der Dirichlet-Reihe. Sie besagt: Für beliebiges ${\displaystyle \textstyle \epsilon >0}$ ist ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)=O(n^{\epsilon })}$. Dabei darf die implizite Konstante im Landau-Symbol ${\displaystyle \textstyle O}$ von ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$ abhängen.
2. Erläuterung der Begriffe „Stelle“ und „komplette Hülle“: Die Stellen von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sind, bis auf Äquivalenz der Absolutbeträge, der gewöhnliche Absolutbetrag ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }:=|\cdot |:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$ sowie die p-adischen Absolutbeträge ${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},|x|_{p}:=p^{-e_{p}(x)}}$, wobei ${\displaystyle e_{p}(x)\in \mathbb {Z} }$ den Exponenten der Primzahl ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle x\neq 0}$ bezeichnet und ${\displaystyle |0|_{p}:=0}$ gesetzt wird. Die entsprechenden kompletten Hüllen sind der Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} }$ der reellen Zahlen sowie die p-adischen Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.