Ideal (Ringtheorie)

In d​er abstrakten Algebra i​st ein Ideal e​ine Teilmenge e​ines Rings, d​ie das Nullelement enthält u​nd abgeschlossen gegenüber Addition u​nd Subtraktion v​on Elementen d​es Ideals s​owie abgeschlossen gegenüber Multiplikation m​it beliebigen Ringelementen ist. Beispielsweise s​ind Summe u​nd Differenz zweier gerader Zahlen wieder gerade u​nd zudem i​st das Produkt e​iner geraden Zahl m​it einer beliebigen ganzen Zahl ebenfalls gerade. Zudem i​st die 0 a​ls additiv Neutrales gerade. Das heißt, d​ie Menge d​er geraden Zahlen i​st ein Ideal i​m Ring d​er ganzen Zahlen.

Die Bezeichnung „Ideal“ i​st abgeleitet a​us dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können a​ls Verallgemeinerung v​on Zahlen angesehen werden.

Das Konzept d​er Ideale h​at seinen Ursprung i​n der algebraischen Zahlentheorie d​es 19. Jahrhunderts b​ei Ernst Eduard Kummer u​nd wurde weiterentwickelt v​on Richard Dedekind u​nd Leopold Kronecker. Bei David Hilbert w​ar ein Ideal e​in System v​on unendlich vielen ganzen algebraischen Zahlen e​ines Rationalitätsbereiches (algebraischer Zahlkörper), m​it der Eigenschaft, d​ass auch sämtliche Linearkombinationen dieser (mit ganzen algebraischen Zahlen a​ls Koeffizienten) d​arin enthalten sind. Diese Definition entspricht d​em heutigen Begriff d​es gebrochenen Ideals.

In d​er Literatur findet m​an häufig d​ie Begriffe Linksideal, Rechtsideal u​nd zweiseitiges Ideal. Siehe d​azu unten b​ei den Definitionen.

„Ideale Zahlen“

Der Ursprung der Ideale liegt in der Feststellung, dass in Ringen wie ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{a+b\cdot {\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}$ die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Elemente nicht gilt: So ist

${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\cdot \left(1-{\sqrt {-5}}\right),}$

und die beiden Faktoren jeder Zerlegung sind irreduzibel. Ernst Eduard Kummer stellte fest, dass man die Eindeutigkeit manchmal wiederherstellen kann, indem man weitere, ideale Zahlen hinzunimmt. Im Beispiel erhält man durch Hinzunahme der Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die Faktorisierungen

${\displaystyle 2=\left(1+\mathrm {i} \right)(1-\mathrm {i} ),\quad 3={\frac {1+{\sqrt {-5}}}{1+\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-\mathrm {i} }}}$

(dass d​ie Brüche a​uf der rechten Seite ganz sind, k​ann man a​n ihren Normen sehen) sowie

${\displaystyle 1\pm {\sqrt {-5}}={\frac {1\pm {\sqrt {-5}}}{1\pm \mathrm {i} }}\cdot (1\pm \mathrm {i} ),}$

und die Eindeutigkeit ist wieder hergestellt.[1] Aus heutiger Sicht entspricht die Einführung der idealen Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ dem Übergang zum (Ganzheitsring des) hilbertschen Klassenkörpers, in dem alle Ideale (des Ganzheitsringes) eines algebraischen Zahlkörpers zu Hauptidealen werden.

Richard Dedekind erkannte, dass man diese idealen Zahlen vermeiden kann, indem man statt ihrer die Gesamtheit aller durch sie teilbaren Zahlen betrachtet. So haben die Zahlen ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ im Beispiel den gemeinsamen idealen Primfaktor ${\displaystyle 1+\mathrm {i} }$, und die in ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ liegenden Vielfachen dieser Zahl sind gerade das Primideal

${\displaystyle \left(2,1+{\sqrt {-5}}\right)=\left\{a\cdot 2+b\cdot \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\mid a,b\in \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\right\}.}$

Ist e​in „realer“ gemeinsamer Faktor vorhanden, s​o besteht d​as Ideal gerade a​us seinen Vielfachen, i​st also e​in Hauptideal.[2] In Ganzheitsringen v​on Zahlkörpern (und allgemeiner i​n der aufgrund dieser Tatsache n​ach ihm benannten Klasse d​er Dedekindringe) erhält m​an auf d​iese Weise e​ine eindeutige Zerlegung j​edes Ideals (ungleich null) i​n Primideale (Fundamentalsatz d​er Idealtheorie).[3]

Definition

Um a​uch für nichtkommutative Ringe geeignete Begriffe z​u haben, unterscheidet m​an zwischen Links-, Rechtsidealen u​nd zweiseitigen Idealen:

Es sei ${\displaystyle I}$ eine Teilmenge eines Ringes ${\displaystyle \mathbf {R} =(R,+,\cdot )}$. ${\displaystyle I}$ heißt dann Linksideal, wenn gilt:

1: ${\displaystyle (I,+)}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle (R,+)}$

2L: Für jedes ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle r\in R}$ ist ${\displaystyle r\cdot a\in I}$.

Entsprechend ist ${\displaystyle I}$ ein Rechtsideal, wenn Bedingung 1 und

2R: Für jedes ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle r\in R}$ ist ${\displaystyle a\cdot r\in I}$

erfüllt ist.

${\displaystyle I}$ nennt man schließlich zweiseitiges Ideal oder nur kurz Ideal, falls ${\displaystyle I}$ Links- und Rechtsideal ist, also 1, 2L und 2R erfüllt.

Bemerkungen

• Ist der Ring kommutativ, dann fallen alle drei Begriffe zusammen, in einem nichtkommutativen Ring können sie sich aber unterscheiden.
• Als Untergruppe von ${\displaystyle (R,+)}$ enthält ${\displaystyle I}$ insbesondere die ${\displaystyle 0}$.
• Bedingung 1 ist äquivalent zu der Forderung, dass ${\displaystyle I}$ nichtleer und mit ${\displaystyle a,b\in I}$ auch ${\displaystyle a-b\in I}$ ist. (Untergruppenkriterium)
• Jedes Ideal ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle \mathbf {R} }$ bildet auch einen Unterring ${\displaystyle (I,+,\cdot )}$ von ${\displaystyle \mathbf {R} }$, im Allgemeinen aber ohne Eins, ${\displaystyle 1\notin I}$. Ist ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ein Ring mit Eins, so ist ${\displaystyle (I,+,\cdot )}$ genau dann ein Unterring mit Eins, wenn ${\displaystyle I=R}$.
• Ein Links- ebenso wie ein Rechtsideal ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ist nichts anderes als ein ${\displaystyle \mathbf {R} }$-Untermodul ${\displaystyle (I,+)}$ von ${\displaystyle \mathbf {R} }$, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ aufgefasst als ${\displaystyle \mathbf {R} }$-Links- bzw. ${\displaystyle \mathbf {R} }$-Rechtsmodul ${\displaystyle (R,+)}$.

Beispiele

• Die Menge ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aller ganzen Zahlen. ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ist prinzipiell ein Unterring von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, in der Kategorie der Ringe mit Eins wird ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ jedoch (da ohne Einselement) nicht als Unterring bezeichnet.
• Die Menge ${\displaystyle 2\mathbb {Z} +1}$ der ungeraden ganzen Zahlen ist kein Ideal in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; sie erfüllt keine der drei Bedingungen.
• Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten, die durch ${\displaystyle x^{2}+1}$ teilbar sind, bilden ein Ideal im Polynomring ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$. Der Körper ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left(x^{2}+1\right)}$ ist isomorph zu den komplexen Zahlen und ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ ist sogar Maximalideal.
• Der Ring ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ aller stetigen Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ enthält das Ideal der Funktionen ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(1)=0}$. Ein anderes Ideal in ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger, d. h. alle Funktionen, die für hinreichend große und hinreichend kleine Argumente gleich 0 sind.
• Der nichtkommutative Ring der Hurwitzquaternionen enthält sowohl Links- und Rechtsideale als auch zweiseitige Ideale. Alle sind sie jedoch Hauptideale.
• Die Mengen ${\displaystyle \{0\}}$ und ${\displaystyle R}$ sind stets Ideale eines Rings ${\displaystyle R}$. Hierbei wird ${\displaystyle \{0\}=(0)}$ Nullideal und, falls R eine Eins ${\displaystyle 1}$ besitzt, ${\displaystyle R=(1)}$ Einsideal genannt.[4] Wenn ${\displaystyle \{0\}}$ und ${\displaystyle R}$ seine einzigen zweiseitigen Ideale sind, nennt man ${\displaystyle R}$ einfach. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper.

Erzeugung von Idealen

Alle Links-, alle Rechtsideale und alle zweiseitigen Ideale bilden jeweils ein Hüllensystem. Die zugehörigen Idealoperatoren werden mit ${\displaystyle (\;),}$ selten auch mit ${\displaystyle \langle \;\rangle }$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge des Ringes ${\displaystyle R,}$ dann nennt man

${\displaystyle (A):=\bigcap _{J\ \mathrm {Ideal\ von} \ R \atop \ J\supseteq A}J}$

das von ${\displaystyle A}$ erzeugte Ideal, es ist das kleinste (Links-, Rechts- bzw. zweiseitige) Ideal in ${\displaystyle R,}$ das ${\displaystyle A}$ enthält.

Besitzt ${\displaystyle R}$ ein Einselement ${\displaystyle 1,}$ so ist

${\displaystyle (A)=\{r_{1}a_{1}s_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}s_{n}\mid r_{i},s_{i}\in R,a_{i}\in A\},}$

und wenn ${\displaystyle R}$ zusätzlich noch kommutativ ist, gilt sogar:

${\displaystyle (A)=\{r_{1}a_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}\mid r_{i}\in R,a_{i}\in A\}.}$

Das von einem Element ${\displaystyle a}$ erzeugte Hauptideal ist

${\displaystyle (a):=\left(\{a\}\right).}$

Verknüpfungen von Idealen

Konstruktionen

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Eins und ${\displaystyle I\subseteq R}$ ein Ideal, dann ist auch das Radikal ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ von ${\displaystyle I}$, das als ${\displaystyle {\sqrt {I}}:=\{x\in R\mid \exists r\in \mathbb {N} :x^{r}\in I\}}$ definiert ist, ein Ideal.

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so gilt für zwei Ideale ${\displaystyle I,J\subseteq R}$:

• Der (mengentheoretische) Durchschnitt ist ein Ideal:

${\displaystyle I\cap J=(I\cap J)}$

• Die mengentheoretische Vereinigung ${\displaystyle I\cup J}$ ist im Allgemeinen kein Ideal, aber die Summe ist ein Ideal:

${\displaystyle I+J:=\{a+b\mid a\in I,b\in J\}=(I\cup J)}$

Wichtig: Summen und Vereinigungen von Idealen sind im Allgemeinen unterschiedliche Konstrukte!

• Auch das sogenannte Komplexprodukt ${\displaystyle IJ,}$ das aus der Menge der Produkte von Elementen aus ${\displaystyle I}$ mit Elementen aus ${\displaystyle J}$ besteht, ist im Allgemeinen kein Ideal. Als Produkt von ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ wird daher das Ideal definiert, das von ${\displaystyle IJ}$ erzeugt wird:

${\displaystyle I\cdot J:=\left(\left\{ab\mid a\in I,b\in J\right\}\right)=(IJ)}$

Besteht keine Verwechselungsgefahr mit dem Komplexprodukt, dann schreibt man auch das Idealprodukt ${\displaystyle I\cdot J}$ oder kurz ${\displaystyle IJ.}$

• Der Quotient von ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ ist ein Ideal, das alle ${\displaystyle x\in R}$ enthält, für die das Komplexprodukt ${\displaystyle xJ}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle I}$ ist:

${\displaystyle I:J:=\{x\in R\mid xJ\subseteq I\}.}$

Bemerkungen

• Das Produkt zweier Ideale ist stets in ihrem Schnitt enthalten: ${\displaystyle I\cdot J\subseteq I\cap J.}$ Sind ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ teilerfremd, also ${\displaystyle I+J=R}$, so gilt sogar Gleichheit.
• Der Idealquotient wird in der Literatur auch häufig in Klammern geschrieben: ${\displaystyle (I:J).}$
• Mit den Verknüpfungen Summe und Durchschnitt bildet die Menge aller Ideale eines Ringes einen modularen, algebraischen Verband.
• Einige wichtige Eigenschaften dieser Verknüpfungen werden in den Noetherschen Isomorphiesätzen zusammengefasst.

Besondere Ideale

Ein Ideal ${\displaystyle I}$ heißt echt, wenn es nicht ganz ${\displaystyle R}$ ist. Dies ist bei Ringen mit ${\displaystyle 1}$ genau dann der Fall, wenn ${\displaystyle 1}$ nicht in ${\displaystyle I}$ liegt.

Ein echtes Ideal ${\displaystyle M}$ heißt maximal, wenn es kein größeres echtes Ideal gibt, d. h., wenn für jedes Ideal ${\displaystyle I}$ gilt:

${\displaystyle M\subseteq I\subsetneq R\Rightarrow M=I}$

Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann gezeigt werden, dass jedes echte Ideal eines Rings mit ${\displaystyle 1}$ in einem maximalen Ideal enthalten ist. Insbesondere besitzt jeder Ring mit ${\displaystyle 1}$ (außer dem Nullring) ein maximales Ideal.

Ein echtes Ideal ${\displaystyle P}$ heißt prim, wenn für alle Ideale ${\displaystyle I,J}$ gilt:

${\displaystyle I\cdot J\subseteq P\Rightarrow I\subseteq P}$ oder ${\displaystyle J\subseteq P}$

In einem Ring mit ${\displaystyle 1}$ ist jedes maximale Ideal prim.

Faktorringe und Kerne

Ideale s​ind wichtig, w​eil sie a​ls Kerne v​on Ringhomomorphismen auftreten u​nd die Definition v​on Faktorringen ermöglichen.

Ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle f}$ vom Ring ${\displaystyle R}$ in den Ring ${\displaystyle S}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon R\to S}$ mit

${\displaystyle {\begin{array}{lll}f(0_{R})=0_{S},&f(a+b)=f(a)+f(b),&f(ab)=f(a)f(b)\end{array}}}$ für alle ${\displaystyle a,b\in R.}$

Der Kern von ${\displaystyle f}$ ist definiert als

${\displaystyle \ker(f):=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}.}$

Der Kern ist stets ein zweiseitiges Ideal von ${\displaystyle R.}$

Startet man umgekehrt mit einem zweiseitigen Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R,}$ dann kann man den Faktorring ${\displaystyle R/I}$ (sprich: „${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$“; nicht zu verwechseln mit einem faktoriellen Ring) definieren, dessen Elemente die Form

${\displaystyle a+I:=\{a+i\mid i\in I\}}$

für ein ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle R}$ haben. Die Abbildung

${\displaystyle p\colon R\to R/I,\,a\mapsto a+I}$

ist ein surjektiver Ringhomomorphismus, dessen Kern genau das Ideal ${\displaystyle I}$ ist. Damit sind die Ideale eines Rings ${\displaystyle R}$ genau die Kerne von Ringhomomorphismen von ${\displaystyle R.}$

Ist der Ring ${\displaystyle R}$ kommutativ und ${\displaystyle P}$ ein Primideal, dann ist ${\displaystyle R/P}$ ein Integritätsring, ist ${\displaystyle M}$ ein maximales Ideal, dann ist ${\displaystyle R/M}$ sogar ein Körper.

Die extremen Beispiele von Faktorringen eines Ringes ${\displaystyle R}$ entstehen durch Herausteilen der Ideale ${\displaystyle (0)}$ oder ${\displaystyle R.}$ Der Faktorring ${\displaystyle R/(0)}$ ist isomorph zu ${\displaystyle R,}$ und ${\displaystyle R/R}$ ist der triviale Ring ${\displaystyle \{0\}.}$

Norm eines Ideals

Für Ganzheitsringe ${\displaystyle A}$ eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ lässt sich eine Norm eines (ganzen) Ideals ${\displaystyle I}$ definieren durch ${\displaystyle N(I):=\mathrm {card} (A/I)}$ (und für das Nullideal ${\displaystyle N((0)):=0}$). Diese Norm ist immer eine endliche Zahl und steht in Zusammenhang mit der Norm der Körpererweiterung ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} },}$ für Hauptideale ${\displaystyle (a)}$ gilt nämlich ${\displaystyle |N_{K/\mathbb {Q} }(a)|=N((a)).}$ Zudem ist diese Norm multiplikativ, d. h. ${\displaystyle N(I\cdot J))=N(I)N(J)}$. Allgemeiner werden diese Normen auch für Ideale in Ordnungen in Zahlkörpern betrachtet.

Einzelnachweise

1. Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ISSN 0072-7830), Kapitel VII, Abschnitt Theorie der algebraischen ganzen Zahlen … S. 321 f.
2. Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ISSN 0072-7830), S. 323.
3. J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6; Theorem I.3.3.
4. Vorlesung Algebra I. (PDF; 493 kB) Abgerufen am 24. August 2013.

Literatur

• Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ISSN 0072-7830).
• Ernst Eduard Kummer: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 35, 1847, S. 327–367.
• David Hilbert: Zahlbericht "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung", Bd. 4 S. 175–546 1897