Runge-Theorie

In d​er Funktionentheorie beschäftigt s​ich die Runge-Theorie m​it der Frage, w​ann auf e​inem Teilgebiet holomorphe Funktionen d​urch auf e​inem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie w​urde wesentlich v​on Carl Runge entwickelt, d​er 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte.

Runge-Theorie für Kompakta

Die Menge ${\displaystyle P}$ (rote Punkte) trifft jede beschränkte Komponente von ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ (mindestens einmal).

Für eine Menge ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} }$ sei ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}[z]}$ die ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebra der rationalen Funktionen, die nur in ${\displaystyle P}$ Polstellen aufweisen.

Der Runge’sche Approximationssatz für Kompakta besagt nun: Sei ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ ein Kompaktum. Trifft ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} \setminus K}$ jede beschränkte Komponente von ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$, dann ist jede auf ${\displaystyle K}$ holomorphe Funktion gleichmäßig durch Funktionen aus ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}[z]}$ approximierbar.

Als wichtigen Spezialfall erhält man den Kleinen Satz von Runge: Wenn für ein Kompaktum ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ das Komplement zusammenhängend ist, dann ist jede auf ${\displaystyle K}$ holomorphe Funktion gleichmäßig durch Polynome approximierbar. (Denn in diesem Fall kann man ${\displaystyle P=\emptyset }$ wählen und rationale Funktionen ohne Polstellen sind Polynome.)[1]

Runge-Theorie für Bereiche

Der Satz von Runge über rationale Approximation lautet: Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ein Bereich und ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} \setminus \Omega }$ eine Menge, deren Abschluss ${\displaystyle {\overline {P}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jedes Loch von ${\displaystyle \Omega }$ trifft. Dann liegt die Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}[z]}$ bzgl. der Topologie der kompakten Konvergenz dicht in der Algebra der holomorphen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$. Als Loch wird hierbei eine kompakte Komponente von ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Omega }$ bezeichnet.

Zwei Bereiche ${\displaystyle \Omega \subseteq \Omega '\subseteq \mathbb {C} }$ heißen Runge’sches Paar, wenn jede auf ${\displaystyle \Omega }$ holomorphe Funktion sich auf Kompakta gleichmäßig durch auf ${\displaystyle \Omega '}$ holomorphe Funktionen approximieren lässt. Aus obigem Approximationssatz folgt mit Hilfe des Satzes von Behnke-Stein schließlich die Charakterisierung:

${\displaystyle \Omega \subseteq \Omega '}$ bilden genau dann ein Runge’sches Paar, wenn ${\displaystyle \Omega '\setminus \Omega }$ keine kompakten Komponenten hat, also ${\displaystyle \Omega }$ relativ zu ${\displaystyle \Omega '}$ keine Löcher aufweist.

Anwendungen

• Der Satz von Mittag-Leffler lässt sich aus den Runge’schen Sätzen herleiten.
• Es existieren punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht auf allen Kompakta lokal gleichmäßig konvergieren.
• Die Einheitskreisscheibe lässt sich holomorph und eigentlich in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ einbetten. (Tatsächlich sogar in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, was aber nicht direkt aus den Runge’schen Sätzen folgt.)
• Jedes Gebiet von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist ein Holomorphiegebiet, d. h. zu jedem Gebiet gibt es eine darauf definierte holomorphe Funktion, die sich nicht holomorph über dieses Gebiet hinaus ausdehnen lässt.

Runge-Approximation auf riemannschen Flächen

Der Approximationssatz wurde 1948 durch Behnke und Stein auf riemannsche Flächen verallgemeinert.[2] Man kann auf riemannschen Flächen zwar nicht von Polynomen sprechen, aber die Approximierbarkeit einer Funktion durch Polynome auf kompakten Mengen ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ ist äquivalent zur Approximierbarkeit durch ganze Funktionen, wie man durch Abbrechen der Taylor-Reihen leicht sieht, und in dieser Form gelingt folgende Verallgemeinerung:[3]

• Sei ${\displaystyle X}$ eine riemannsche Fläche und ${\displaystyle Y\subset X}$ eine offene Teilmenge, so dass deren Komplement ${\displaystyle X\setminus Y}$ keine kompakten Zusammenhangskomponenten hat. Dann kann jede auf ${\displaystyle Y}$ holomorphe Funktion bzgl. der Topologie der kompakten Konvergenz durch holomorphe Funktionen auf ${\displaystyle X}$ approximiert werden.

Beachte, dass die Aussage für kompakte riemannsche Flächen trivial wird, denn dann ist notwendig ${\displaystyle Y=X}$. Für nicht-kompakte riemannsche Flächen erhält man als nicht-triviale Folgerung, dass ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})=0}$, d. h. heißt die 1-te Garbenkohomologie mit Werten in der Garbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der holomorphen Funktionen verschwindet. Daraus erhält man leicht die Lösbarkeit von Mittag-Leffler-Problemen (siehe Satz von Mittag-Leffler) auf nicht-kompakten riemannschen Flächen.[4]

Verallgemeinerung

• Der Satz von Mergelyan (durch Mergelyan 1951) behandelt zusätzlich u. a. das Problem mit stetiger Fortsetzung auf den Rand.[5]

Literatur

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3

Einzelnachweise

1. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie, Vieweg Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kapitel VIII §1: Die Rungeschen Approximationssätze
2. H. Behnke, K. Stein: Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen. In: Math. Ann., Vol. 120 (1947–1949), S. 430–461
3. Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag 1977, ISBN 3-540-08034-1, 25.5: Rungescher Approximationssatz
4. Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag 1977, ISBN 3-540-08034-1, 26.1-26.3
5. S. N. Mergelyan: Uniform approximation to functions of a complex variable. In: Amer. Math. Soc. Translation, No. 101