Ganze Zahl

Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, lateinisch numeri integri) s​ind eine Erweiterung d​er natürlichen Zahlen.

ℤ

Der Buchstabe Z mit Doppelstrich
steht für die Menge der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen (ℤ) sind Teil der rationalen Zahlen (ℚ), die wiederum Teil der reellen Zahlen (ℝ) sind. Sie selber beinhalten die natürlichen Zahlen (ℕ).

Die ganzen Zahlen umfassen a​lle Zahlen

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ sowie deren additive Inverse. Die Menge der ganzen Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bezeichnet (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“[1]). Das alternative Symbol ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Der Unicode des Zeichens lautet U+2124 und hat die Gestalt ℤ.

Die o​bige Aufzählung d​er ganzen Zahlen g​ibt auch gleichzeitig i​n aufsteigender Folge d​eren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie i​st der Zweig d​er Mathematik, d​er sich m​it Eigenschaften d​er ganzen Zahlen beschäftigt.

Die Repräsentation ganzer Zahlen i​m Computer erfolgt üblicherweise d​urch den Datentyp Integer.

Die ganzen Zahlen werden i​m Mathematikunterricht üblicherweise i​n der fünften b​is siebten Klasse eingeführt.

Eigenschaften

Ring

Die ganzen Zahlen bilden e​inen Ring bezüglich d​er Addition u​nd der Multiplikation, d. h., s​ie können o​hne Einschränkung addiert, subtrahiert u​nd multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln w​ie das Kommutativgesetz u​nd das Assoziativgesetz für Addition u​nd Multiplikation, außerdem gelten d​ie Distributivgesetze.

Durch d​ie Existenz d​er Subtraktion können lineare Gleichungen d​er Form

${\displaystyle a+x=b}$

mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ stets gelöst werden: ${\displaystyle x=b-a}$. Beschränkt man ${\displaystyle x}$ auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle -n}$, das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Anordnung

Die Menge d​er ganzen Zahlen i​st total geordnet, i​n der Reihenfolge

${\displaystyle \cdots <-2<-1<0<1<2<\cdots }$ .

D. h., m​an kann j​e zwei g​anze Zahlen vergleichen. Man spricht von

positiven ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$	${\displaystyle [=\mathbb {N} ]}$,		nichtnegativen ${\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots \}}$	${\displaystyle [=\mathbb {N} _{0}]}$,
negativen ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1\}}$	${\displaystyle [=-\mathbb {N} ]}$ und		nichtpositiven ${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0\}}$	${\displaystyle [=-\mathbb {N} _{0}]}$

ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst i​st weder positiv n​och negativ. Diese Ordnung i​st verträglich m​it den Rechenoperationen, d. h.:

Ist ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle c\leq d}$, dann ist ${\displaystyle a+c<b+d}$.

Ist ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle 0<c}$, dann ist ${\displaystyle ac<bc}$.

Mithilfe d​er Anordnung lassen s​ich die Vorzeichenfunktion

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):={\begin{cases}-1&{\text{falls }}\quad x<0\\~~\,0&{\text{falls }}\quad x=0\\~~\,1&{\text{falls }}\quad x>0\end{cases}}}$

und d​ie Betragsfunktion

${\displaystyle |x|=\operatorname {abs} (x):={\begin{cases}~~\,x&{\text{falls }}\quad x\geq 0\\-x&{\text{falls }}\quad x<0\end{cases}}}$

definieren. Sie hängen w​ie folgt

${\displaystyle x=\operatorname {sgn}(x)\,|x|}$

zusammen.

Mächtigkeit

Wie d​ie Menge d​er natürlichen Zahlen i​st auch d​ie Menge d​er ganzen Zahlen abzählbar.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung ${\displaystyle 2x=1}$ nicht in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ lösbar. Der kleinste Körper, der ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ enthält, sind die rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Euklidischer Ring

Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. In der Mathematik wird ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ als euklidischer Ring bezeichnet. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist d​ie Menge d​er natürlichen Zahlen gegeben, d​ann lassen s​ich die ganzen Zahlen daraus a​ls Zahlbereichserweiterung konstruieren:

Auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}}$ aller Paare natürlicher Zahlen wird folgende Äquivalenzrelation definiert:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$, falls ${\displaystyle a+d=c+b}$

Die Addition und Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}}$ wird definiert durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac+bd,ad+bc)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}\,/\!\sim }$ ist nun die Menge aller Äquivalenzklassen.

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, mit denen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zu einem Ring wird.

Die übliche Ordnung d​er ganzen Zahlen i​st definiert als

${\displaystyle (a,b)<(c,d)}$ falls ${\displaystyle a+d<c+b}$.

Jede Äquivalenzklasse ${\displaystyle (a,b)}$ hat im Fall ${\displaystyle a\geq b}$ einen eindeutigen Repräsentanten der Form ${\displaystyle (n,0)}$, wobei ${\displaystyle n=a-b}$, und im Fall ${\displaystyle a<b}$ einen eindeutigen Repräsentanten der Form ${\displaystyle (0,n)}$, wobei ${\displaystyle n=b-a}$.

Die natürlichen Zahlen lassen sich in den Ring der ganzen Zahlen einbetten, indem die natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ auf die durch ${\displaystyle (n,0)}$ repräsentierte Äquivalenzklasse abgebildet wird. Üblicherweise werden die natürlichen Zahlen mit ihren Bildern ${\displaystyle (n,0)}$ identifiziert und die durch ${\displaystyle (0,n)}$ repräsentierte Äquivalenzklasse wird mit ${\displaystyle -n}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle n}$ eine von ${\displaystyle 0}$ verschiedene natürliche Zahl, so wird die durch ${\displaystyle (n,0)}$ repräsentierte Äquivalenzklasse als positive ganze Zahl und die durch ${\displaystyle (0,n)}$ repräsentierte Äquivalenzklasse als negative ganze Zahl bezeichnet.

Diese Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen funktioniert auch dann, wenn statt ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ die Menge ${\displaystyle \mathbb {N} }$, also ohne ${\displaystyle 0}$, als Ausgangsmenge genommen wird. Dann ist die natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ in der Äquivalenzklasse von ${\displaystyle (n+1,1)}$ und die ${\displaystyle 0}$ in der von ${\displaystyle (1,1)}$.

Verwandte Themen

• Eine ähnliche Konstruktion wie die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist allgemein für kommutative Halbgruppen möglich. In diesem Sinn ist ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ die Grothendieck-Gruppe von ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Die gaußschen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen zu Mengen komplexer Zahlen.
• Die proendliche Vervollständigung der Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen wird gebildet als (projektiver oder) inverser Limes aller endlichen Faktorgruppen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und stellt die Gesamtheit der proendlichen ganzen Zahlen dar. Sie ist unter dem Symbol ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ bekannt.

Einzelnachweise

1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Number Theory. 29. August 2010, abgerufen am 20. September 2010.