Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe ${\displaystyle G}$ beschreibt das Ausmaß der Veränderung von ${\displaystyle G}$ über einen bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer dieses Zeitraums. Anschaulich gesprochen, ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe ${\displaystyle G}$ ändert. Durch den Bezug auf die Zeitdauer enthält die Maßeinheit im Nenner eine Zeiteinheit; im Zähler steht eine Einheit von ${\displaystyle G}$. Wird die Änderung auch auf die Größe selbst bezogen, spricht man von einer relativen Änderungs- oder Wachstumsrate.

Man unterscheidet z​udem die mittlere Änderungsrate zwischen z​wei Messungen u​nd die momentane (auch lokale) Änderungsrate a​ls abstrakte Größe e​iner Modellvorstellung.

Berechnung und Verwendung

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße ${\displaystyle G}$ zwischen zwei Zeitpunkten ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$, also im Zeitraum ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$. Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten ${\displaystyle \Delta G=G(t_{2})-G(t_{1})}$ und der Dauer ${\displaystyle \Delta t}$ des Zeitraums: ${\displaystyle {\tfrac {\Delta G}{\Delta t}}}$

Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von ${\displaystyle G(t)}$ ist die mittlere Änderungsrate zwischen ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ die Steigung der Sekante durch die Punkte ${\displaystyle (t_{1}|G(t_{1}))}$ und ${\displaystyle (t_{2}|G(t_{2}))}$ auf dem Diagramm.

Momentane Änderungsrate

Siehe auch: Differentialrechnung

Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße ${\displaystyle G}$. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta G}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {G(t+\Delta t)-G(t)}{\Delta t}}}$

als Ableitung ${\displaystyle {\dot {G}}(t)}$ ihrer Zeit-${\displaystyle G}$-Funktion ${\displaystyle G(t)}$ dargestellt werden.

Für zeitlineare Änderungen i​st die momentane Änderungsrate konstant gleich d​er mittleren Änderungsrate.

Änderungsraten in weiterem Sinn

Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen ${\displaystyle G(q)}$ verwendet, die von einem anderen Parameter ${\displaystyle q}$ als der Zeit abhängen, so ist:[1]

• die mittlere Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differenzenquotienten ${\displaystyle {\tfrac {\Delta G}{\Delta q}}}$
• die momentane Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differentialquotienten ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} q}}}$

Ist der Parameter ${\displaystyle q}$ eine vektorielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.

Beispiele

• Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit ${\displaystyle v(t)}$ die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion ${\displaystyle x(t)}$. Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich.

• Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
• Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

Anmerkungen

1. Helga Lohöfer: Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen. Skript zur Übung Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten, Universität Marburg. 2006.