Hauptidealring

In d​er Algebra, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, bezeichnet m​an Integritätsringe a​ls Hauptidealringe o​der Hauptidealbereiche, w​enn jedes Ideal e​in Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe s​ind der Ring d​er ganzen Zahlen s​owie Polynomringe i​n einer Unbestimmten über e​inem Körper. Der Begriff d​es Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über d​iese beiden Spezialfälle einheitlich z​u formulieren. Beispiele für Anwendungen d​er allgemeinen Theorie s​ind die Jordansche Normalform, d​ie Partialbruchzerlegung o​der die Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Definition

Ein Integritätsring ${\displaystyle A}$ (d. h. ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit ${\displaystyle 1\neq 0}$) heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal ${\displaystyle I\subseteq A}$ ein Hauptideal ist, d. h. es gibt ein ${\displaystyle x\in A}$, so dass ${\displaystyle I=A\cdot x=\left\{a\cdot x\mid a\in A\right\}}$.

Im Folgenden sei ${\displaystyle A}$ ein Hauptidealring und ${\displaystyle K}$ sein Quotientenkörper. Außerdem sei ${\displaystyle P\subset A}$ eine Menge, die für jedes irreduzible ${\displaystyle p\in A}$ genau ein zu ${\displaystyle p}$ assoziiertes Element enthält. Im Fall ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ist die Menge der (positiven) Primzahlen ein solches ${\displaystyle P}$, im Fall ${\displaystyle A=k[T]}$ für einen Körper ${\displaystyle k}$ die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele

Die folgenden Ringe s​ind Hauptidealringe:

• Körper
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (der Ring der ganzen Zahlen)
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ (der Ring der ganzen gaußschen Zahlen)
• Polynomringe ${\displaystyle k[T]}$ in einer Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle k}$
• formale Potenzreihenringe ${\displaystyle k[[T]]}$ in einer Unbestimmten über einem Körper ${\displaystyle k}$
• diskrete Bewertungsringe
• euklidische Ringe (diese Klasse umfasst zwar alle vorstehenden Beispiele, aber nicht jeder Hauptidealring ist euklidisch)
• Lokalisierungen von Hauptidealringen sind wieder Hauptidealringe.
• Der Ganzheitsring des Körpers ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$, d. h. der Ring der Eisenstein-Zahlen ist ein Hauptidealring. Es gilt sogar die folgende Aussage: Der Ganzheitsring eines quadratischen Zahlkörpers ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ mit negativem, quadratfreiem ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$ ist genau dann ein Hauptidealring, wenn ${\displaystyle d\in \lbrace -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\rbrace }$ (siehe: Heegner-Zahl). Der Beweis beruht auf der Untersuchung der Idealklassengruppe, welche bei Zahlkörpern als Maß dafür gesehen werden kann, wie weit ein Ring davon entfernt ist, ein Hauptidealring zu sein.

Hauptidealringe gehören z​u den folgenden allgemeineren Klassen v​on Ringen:

• faktorielle Ringe.[1] Insbesondere gelten:

• Ein Element ${\displaystyle a\in A\setminus \{0\}}$ ist genau dann prim, wenn es irreduzibel ist.
• Jedes Element ungleich null des Quotientenkörpers von ${\displaystyle A}$ lässt sich auf eindeutige Weise in der Form

${\displaystyle u\cdot \prod _{p\in P}p^{e_{p}}}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle e_{p}}$ und einer Einheit ${\displaystyle u\in A^{\times }}$ schreiben.

• Das Lemma von Gauß: Jedes irreduzible Element in ${\displaystyle A[X]}$ ist entweder ein irreduzibles Element von ${\displaystyle A}$ (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in ${\displaystyle K[X]}$ irreduzibles Polynom, dessen Koeffizienten teilerfremd sind.[2]

• Hauptidealringe sind trivialerweise noethersche Ringe, da jedes Ideal endlich erzeugt ist (von einem Element).
• Hauptidealringe sind stets Dedekind-Ringe (siehe auch unten)

Keine Hauptidealringe sind:

• Der Polynomring ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle X}$ erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann. Dieser Ring ist aber nach dem erwähnten Lemma von Gauß faktoriell, da er ein Polynomring über einem faktoriellen Ring ist.
• Der Ring ${\displaystyle k[x,y]}$ ist kein Hauptidealring, da das Ideal ${\displaystyle (x,y)}$ kein Hauptideal ist.
• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ist kein Hauptidealring, da er kein Integritätsring ist. Aber jedes Ideal in diesem Ring ist ein Hauptideal.

Teilbarkeit

• Der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) größte gemeinsame Teiler von Elementen ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ ist der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Erzeuger des Ideals ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})}$. Insbesondere gilt das Lemma von Bézout: Es existieren ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}\in A}$ mit

${\displaystyle \operatorname {ggT} (x_{1},\dots ,x_{m})=a_{1}x_{1}+\dots +a_{m}x_{m}.}$

Spezialfall: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ sind genau dann teilerfremd, wenn es ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$ gibt mit

${\displaystyle 1=a_{1}x_{1}+\dots +a_{m}x_{m}.}$

• Das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ist der Erzeuger des Ideals ${\displaystyle (x_{1})\cap \ldots \cap (x_{m})}$.
• Chinesischer Restsatz: Sind ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ paarweise teilerfremd, so ist der kanonische Ringhomomorphismus

${\displaystyle A/(x_{1}\cdots x_{m})\to \prod _{i=1}^{m}A/(x_{i})}$

ein Isomorphismus.[3]

• Eine Verschärfung des chinesischen Restsatzes ist der Approximationssatz: Gegeben seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}\in K}$, paarweise verschiedene ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}\in P}$ sowie Zahlen ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} }$. Dann gibt es ein ${\displaystyle x\in K}$, das ${\displaystyle x_{i}}$ bezüglich ${\displaystyle p_{i}}$ in ${\displaystyle n_{i}}$-ter Ordnung approximiert und ansonsten regulär ist, d. h.

${\displaystyle v_{p_{i}}(x-x_{i})\geq n_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

und

${\displaystyle v_{p}(x)\geq 0}$ für ${\displaystyle p\in P\setminus \{p_{1},\dots ,p_{m}\}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle v_{p}(x)\in \mathbb {Z} }$ den Exponenten von ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle x}$.[4]

• Für ${\displaystyle p\in A\setminus \{0\}}$ sind äquivalent:
  • ${\displaystyle p}$ ist irreduzibel
  • ${\displaystyle p}$ ist ein Primelement
  • ${\displaystyle (p)}$ ist ein Primideal
  • ${\displaystyle (p)}$ ist ein maximales Ideal

Das Nullideal ist ebenfalls ein Primideal, jedoch nur dann maximal, wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist.

Hauptidealringe als Dedekind-Ringe

→ Hauptartikel: Dedekindring

Viele i​n algebraischer Zahlentheorie u​nd algebraischer Geometrie natürlich auftretende Ringe s​ind keine Hauptidealringe, sondern gehören e​iner etwas allgemeineren Klasse v​on Ringen an, d​en Dedekind-Ringen. Sie s​ind die lokalisierte Version d​er Hauptidealringe, Ideale s​ind nicht m​ehr global, sondern n​ur noch l​okal von e​inem Element erzeugt:

Ist ${\displaystyle A}$ ein noetherscher Integritätsbereich, für den der lokale Ring ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ für jedes Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ein Hauptidealring ist, so heißt ${\displaystyle A}$ Dedekind-Ring.[5]

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, a​ber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:

• Sie sind entweder Körper oder eindimensional, d. h. jedes Primideal ungleich ${\displaystyle (0)}$ ist maximal.
• Sie sind ganzabgeschlossen in ihrem Quotientenkörper.
• Sie sind regulär.
• Ihre lokalen Ringe sind entweder Körper oder diskrete Bewertungsringe.
• der oben genannte Approximationssatz

Ist e​in Dedekind-Ring faktoriell o​der semilokal, s​o ist e​r ein Hauptidealring.[6]

Moduln über Hauptidealringen

Allgemeines

• Untermoduln freier Moduln sind frei.[7]
• Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter Modul mit Torsionsuntermodul ${\displaystyle T}$, so gibt es einen freien Untermodul ${\displaystyle F\subseteq M}$, so dass ${\displaystyle M=F\oplus T}$. Torsionsfreie, endlich erzeugte Moduln sind frei.[8]
• Projektive Moduln sind frei.[9]
• Ein Modul ist injektiv genau dann, wenn er dividierbar ist. Quotienten injektiver Moduln sind injektiv, jeder Modul hat eine injektive Auflösung der Länge 1. Eine explizite injektive Auflösung von ${\displaystyle A}$ ist[10]

${\displaystyle 0\to A\to K\to K/A\to 0.}$

Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul ${\displaystyle M}$ heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln ${\displaystyle M_{1},M_{2}\neq 0}$ gibt mit ${\displaystyle M\cong M_{1}\oplus M_{2}}$.)

Es sei ${\displaystyle P}$ wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul ${\displaystyle M}$ gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen ${\displaystyle m_{0}}$ und ${\displaystyle m_{p,i}}$ für ${\displaystyle p\in P,i\in \mathbb {N} _{\geq 1}}$, von denen fast alle null sind, so dass

${\displaystyle M\cong A^{m_{0}}\oplus \bigoplus _{p\in P}\bigoplus _{i\geq 1}(A/(p^{i}))^{m_{p,i}}.}$

Die Zahlen ${\displaystyle m_{0},m_{p,i}}$ sind durch ${\displaystyle M}$ eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle A/(p^{k})}$ sind unzerlegbar. Die Ideale ${\displaystyle (p^{i})}$, für die ${\displaystyle m_{p,i}\neq 0}$ gilt, heißen Elementarteiler von ${\displaystyle M}$.[11]

Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren

Zu jedem endlich erzeugten Modul ${\displaystyle M}$ gibt es eine endliche Folge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ von Elementen von ${\displaystyle A}$, die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass

• ${\displaystyle x_{i}\mid x_{i+1}}$ für ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m-1}$
• ${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{m}A/(x_{i}).}$

Die Ideale ${\displaystyle (x_{i})}$ sind durch ${\displaystyle M}$ eindeutig bestimmt und heißen die invarianten Faktoren von ${\displaystyle M}$. Die Elemente ${\displaystyle x_{i}}$ sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.[12]

Zu dieser Aussage über Moduln g​ibt es z​wei konkurrierende Sichtweisen:

• Zu einem Modul ${\displaystyle M}$ kann man Erzeuger ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{m}}$ wählen und den Kern ${\displaystyle U\subseteq A^{m}}$ des zugehörigen Homomorphismus ${\displaystyle A^{m}\to M}$ betrachten.
• Zu einem Untermodul ${\displaystyle U\subseteq A^{m}}$ kann man Erzeuger ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ wählen und die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle X}$ mit Einträgen in ${\displaystyle A}$ betrachten, die den Homomorphismus ${\displaystyle A^{n}\to A^{m}}$ mit Bild ${\displaystyle U}$ beschreibt.

Umgekehrt ist das Bild einer ${\displaystyle m\times n}$-Matrix mit Einträgen in ${\displaystyle A}$ ein Untermodul ${\displaystyle U\subseteq A^{m}}$, und der Quotientenmodul ${\displaystyle M=A^{m}/U}$ (der Kokern des durch ${\displaystyle X}$ gegebenen Homomorphismus ${\displaystyle A^{n}\to A^{m}}$) ist ein endlich erzeugter ${\displaystyle A}$-Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet d​ie Aussage:

• Ist ${\displaystyle F}$ ein freier ${\displaystyle A}$-Modul und ${\displaystyle U}$ ein (ebenfalls freier) Untermodul von ${\displaystyle F}$ vom Rang ${\displaystyle r}$, so gibt es ${\displaystyle n}$ Elemente ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}\in F}$, die Teil einer Basis von ${\displaystyle F}$ sind, sowie Elemente ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}\in A}$ mit ${\displaystyle x_{1}\mid x_{2}\mid \dots \mid x_{r}}$, so dass ${\displaystyle x_{1}e_{1},\dots ,x_{r}e_{r}}$ eine Basis von ${\displaystyle U}$ ist. Der von den ${\displaystyle e_{k}}$ aufgespannte Teil ${\displaystyle F'\subseteq F}$ lässt sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von ${\displaystyle F/U}$ beschreiben. Die Ideale ${\displaystyle (x_{k})}$ sind die Invarianten (wie oben) des Moduls ${\displaystyle F'/U}$, evtl. ergänzt um ${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{m}=0}$.[13]

Für Matrizen (Smith-Normalform):

• Ist ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix von Rang ${\displaystyle r}$ mit Einträgen in ${\displaystyle A}$, so gibt es invertierbare Matrizen ${\displaystyle P\in \operatorname {GL} (m,A),Q\in \operatorname {GL} (n,A)}$, so dass ${\displaystyle PXQ}$ folgende Gestalt hat:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&x_{r}&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &&&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$

Dabei sind ${\displaystyle x_{1}\mid x_{2}\mid \dots \mid x_{r}}$ wieder die Invarianten wie oben.[14]

Torsionsmoduln

Es sei ${\displaystyle M}$ ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) Torsionsmodul über ${\displaystyle A}$, d. h. für jedes ${\displaystyle m\in M}$ existiert ein ${\displaystyle a\in A\setminus \{0\}}$ mit ${\displaystyle am=0}$. Wieder sei ${\displaystyle P\subset A}$ ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt:[15] ${\displaystyle M}$ ist die direkte Summe der ${\displaystyle p}$-primären Untermoduln ${\displaystyle M_{(p)}}$, d. h.

${\displaystyle M=\bigoplus _{p\in P}M_{(p)}}$

mit

${\displaystyle M_{(p)}=\left\{m\in M\mid p^{i}m=0\ {\text{für ein}}\ i\in \mathbb {N} \right\}.}$

Als Korollar ergibt sich, dass ${\displaystyle M}$ genau dann halbeinfach ist, wenn ${\displaystyle p\cdot M_{(p)}=0}$ für alle ${\displaystyle p\in P}$.[16]

Anwendungsbeispiele:

• Ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle M=K/A=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, so lautet die Aussage: Jede rationale Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle a+\sum _{p\ {\text{prim}}}\sum _{i=1}^{o_{p}}d_{p,i}p^{-i}}$

mit ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle o_{p}\geq 0}$ (und fast alle ${\displaystyle o_{p}=0}$) sowie ${\displaystyle d_{p,i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}}$ und ${\displaystyle d_{p,o_{p}}\neq 0}$.[17]

• Ist ${\displaystyle A=k[T]}$ (${\displaystyle k}$ ein Körper) und ${\displaystyle M=K/A=k(T)/k[T]}$, so entspricht ${\displaystyle M_{(p)}}$ den rationalen Funktionen, deren Nenner eine Potenz von ${\displaystyle p}$ ist. Der Satz liefert also den ersten Schritt der Partialbruchzerlegung, d. h. der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion als

${\displaystyle a+\sum _{p}\sum _{i=1}^{o_{p}}d_{p,i}p^{-i}.}$

Dabei durchläuft ${\displaystyle p}$ die irreduziblen normierten Polynome in ${\displaystyle k[T]}$, die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil ${\displaystyle a\in k[T]}$, die Ordnungen ${\displaystyle o_{p}\geq 0}$ (fast alle ${\displaystyle o_{p}=0}$) und geeignete Polynome ${\displaystyle d_{p,i}}$ für ${\displaystyle i=1,2,\dots ,o_{p}}$ mit ${\displaystyle \deg(d_{p,i})<\deg(p)}$. Ist insbesondere ${\displaystyle p}$ linear, so sind die ${\displaystyle d_{p,i}}$ Konstanten.[18]

• Ist ${\displaystyle A=k[T]}$ und ${\displaystyle M}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle k}$-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus ${\displaystyle f}$ (mit der ${\displaystyle A}$-Modulstruktur ${\displaystyle Tv=f(v)}$), so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die Haupträume. Das Korollar besagt in diesem Fall, dass ${\displaystyle f}$ genau dann halbeinfach ist, wenn das Minimalpolynom von ${\displaystyle f}$ keine mehrfachen Faktoren enthält.[19]

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe

Die Definitionen lassen sich auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal ${\displaystyle I}$ ist Rechts-Vielfaches ${\displaystyle gA}$ eines einzelnen Elements ${\displaystyle g\in A}$; ${\displaystyle Ag}$ ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind ${\displaystyle \{0\}=0A=A0}$ und ${\displaystyle A=1A=A1}$ die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die Hurwitzquaternionen s​ind ein Beispiel für e​inen nicht-kommutativen Ring, d​er mit seiner Norm a​ls euklidischer Norm sowohl links- a​ls auch rechtseuklidisch u​nd damit sowohl rechts- w​ie linksseitig e​in Hauptidealring ist.

Verwandte Begriffe

• Wird nur gefordert, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, gelangt man zum Begriff des noetherschen Rings.
• Umgekehrt kann man an einen Integritätsbereich die Bedingung stellen, dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind: Dies sind die sogenannten Bézout-Ringe. Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bézoutringe.
• Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes „Hauptidealring“ erlaubt, es wird also nur gefordert, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und ${\displaystyle 1\neq 0}$.[20] Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen principal ideal ring und principal ideal domain (domain = Integritätsbereich) unterschieden. Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptidealring und Hauptidealbereich ist im Deutschen jedoch unüblich.[21]

Literatur

• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X (Graduate Texts in Mathematics 211).
• Nicolas Bourbaki: Algebra II. Chapters 4–7. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-19375-8 (Elements of Mathematics).
• Nicolas Bourbaki: Eléments de mathématique. Algèbre Commutative. Band 10: Chapitre 10. Réimpression de l'édition de 1998. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-34394-3.
• Nicolas Bourbaki: Commutative Algebra. Chapters 1–7. 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-19371-5 (Elements of Mathematics).
• Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (Vieweg Studium).

Einzelnachweise

1. Lang, Theorem II.5.2, S. 112
2. Lang, Theorem IV.2.3, S. 182
3. Lang, Corollary II.2.2, S. 95
4. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2.4, Proposition 2
5. Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2
6. Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg-Verlag, 2006, S. 188. (Satz 18.16)
7. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 2; Lang, Theorem III.7.1
8. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Corollary 1 und 2; Lang, Theorem III.7.3
9. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 3
10. Bourbaki, Algèbre, Ch. X, § 1, No. 7, Corollaire 2
11. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 8, Proposition 9; Lang, Theorem III.7.5
12. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Theorem 2; Lang, Theorem III.7.7
13. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 3, Theorem 1; Lang, Theorem III.7.8
14. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 6, Corollary 1; Lang, Theorem III.7.9
15. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Theorem 1
16. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Corollary 4
17. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, I
18. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, II
19. Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 5, No. 8, Proposition 14
20. Lang, II, §1, S. 86
21. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-55216-8, S. 34 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).