Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion, d​eren Funktionswerte komplexe Zahlen sind. Eng d​amit verwandt i​st der Begriff d​er komplexen Funktion, d​er in d​er Literatur a​ber nicht eindeutig verwendet wird. Komplexwertige Funktionen werden i​n der Analysis u​nd in d​er Funktionentheorie untersucht u​nd haben vielfältige Anwendungen w​ie zum Beispiel i​n der Physik u​nd der Elektrotechnik, w​o sie beispielsweise z​ur Beschreibung v​on Schwingungen dienen.

Definition

Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion i​st eine Funktion

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$,

bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. An die Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ sind keine Anforderungen gestellt.

Komplexe Funktion

Wie a​uch bei reellwertigen u​nd reellen Funktionen i​st die Verwendung d​es Begriffes e​iner komplexen Funktion i​n der Literatur n​icht eindeutig. Teilweise w​ird er synonym m​it einer komplexwertigen Funktion verwendet, teilweise w​ird er a​uch nur für komplexwertige Funktionen e​iner komplexen Variablen verwendet, a​lso Funktionen

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$,

bei denen ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ist.

Spezialfälle

Manchmal wird der komplexwertigen Funktion ein Zusatz angehängt, um zu präzisieren, welche Struktur die Definitionsmenge hat. So heißt beispielsweise eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$

• komplexwertige Funktion einer reellen Variablen, wenn ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ist,
• komplexwertige Funktion mehrerer reeller Variablen, wenn ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle n>1}$ ist,
• komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, wenn ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ist,
• komplexwertige Funktion mehrerer komplexer Variablen, wenn ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ mit ${\displaystyle n>1}$ ist.

Wenn ${\displaystyle D}$ Teilmenge eines komplexen Vektorraums ist, dann wird eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ auch (komplexwertiges) Funktional genannt.

Beispiele

• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ definiert durch

${\displaystyle f(x)=\exp(\mathrm {i} x)=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)}$

ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variable. Sie ist genau die Eulersche Formel.

• Mit ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ ist die Exponentialfunktion

${\displaystyle \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\left(\cos(y)+\mathrm {i} \sin(y)\right)}$

eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variable.

• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} }$ definiert durch

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}+\mathrm {i} x_{2}}$

ist eine komplexwertige Funktion von zwei reellen Variablen.

• Aufgrund der Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen lassen sich alle reellwertigen Funktionen auch als komplexwertige Funktionen auffassen.

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Die Menge aller komplexwertigen Funktionen über einer gegebenen Menge ${\displaystyle D}$ bildet einen komplexen Vektorraum, der mit ${\displaystyle F(D,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle \operatorname {Abb} (D,\mathbb {C} )}$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} ^{D}}$ bezeichnet wird. Die Summe zweier komplexwertiger Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ist dabei definiert durch

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ und das Produkt einer komplexwertigen Funktion ${\displaystyle f}$ mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle (c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$. Diese Vektorräume werden als komplexe Funktionenräume bezeichnet. Sie spielen eine wichtige Rolle in der linearen Algebra und der Analysis. Mit der Addition und der punktweisen Multiplikation definiert durch

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ bilden die komplexwertigen Funktionen über der Menge ${\displaystyle D}$ einen kommutativen Ring. Mit allen drei Verknüpfungen bilden die komplexwertigen Funktionen eine komplexe Algebra.

Analytische Eigenschaften

Eine komplexwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ heißt beschränkt, falls eine Schranke ${\displaystyle M}$ existiert, sodass

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ ist. Die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle B(D,\mathbb {C} )}$ bildet mit der Supremumsnorm

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in D}|f(x)|}$

einen normierten Raum. Da die komplexen Zahlen vollständig sind, handelt es sich hierbei sogar um einen Banachraum. Eine Folge komplexwertiger Funktionen ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots )}$ mit ${\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {C} }$ für ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ heißt gleichmäßig beschränkt, wenn jedes Folgenglied eine beschränkte Funktion ist und die Folge

${\displaystyle (\|f_{1}\|_{\infty },\|f_{2}\|_{\infty },\ldots )}$

eine beschränkte Folge komplexer Zahlen ist. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt punktweise beschränkt, wenn für alle ${\displaystyle x\in D}$ die komplexe Zahlenfolge

${\displaystyle (f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots )}$

beschränkt ist. Eine gleichmäßig beschränkte Folge komplexwertiger Funktionen ist stets auch punktweise beschränkt, die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt gleichmäßig konvergent gegen eine komplexwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$

gilt. Entsprechend heißt eine Folge komplexwertiger Funktionen punktweise konvergent gegen eine komplexwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$, wenn für alle ${\displaystyle x\in D}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(f_{n}(x)-f(x))=0}$

gilt. Auch h​ier folgt a​us der gleichmäßigen Konvergenz d​ie punktweise Konvergenz, jedoch n​icht die Umkehrung. Weitergehende analytische Eigenschaften, w​ie Stetigkeit, Differenzierbarkeit o​der Integrierbarkeit, erfordern a​uf der Definitionsmenge zumindest e​ine topologische, metrische o​der maßtheoretische Struktur.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung bilden die komplex-vektorwertigen Funktionen, diese bilden in den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ab. Noch allgemeiner sind vektorwertige Funktionen, deren Bildraum ein beliebiger Vektorraum ist.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X.
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Complex Function. In: MathWorld (englisch).