Satz von Hartogs (Funktionentheorie)

Als Satz v​on Hartogs w​ird in d​er Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen d​ie grundlegende Aussage verstanden, wonach e​ine bezüglich j​eder Variablen separat holomorphe Funktion insgesamt holomorph ist. Benannt i​st der Satz n​ach dem Mathematiker Friedrich Moritz Hartogs.

Das Lemma v​on Osgood m​acht eine ähnliche Aussage, jedoch i​st bei diesem vorausgesetzt, d​ass die Ausgangsfunktion stetig ist. Diese i​st somit e​in Spezialfall d​es Satzes v​on Hartogs.

Aussage

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Teilmenge, ${\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} }$ seien Punkte und sei ${\displaystyle \Omega _{j,a}:=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})\in \Omega \right\}\subseteq \mathbb {C} }$. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ bezeichne ${\displaystyle f_{j,a}\colon \Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C} }$ die Funktion

${\displaystyle z\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})}$.

Ist ${\displaystyle f_{j,a}\colon \Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C} }$ für alle ${\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} }$ und für alle ${\displaystyle j\in \mathbb {N} :1\leq j\leq n}$ eine holomorphe Funktion, dann ist ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ holomorph.

Interpretation

Im Satz wird die Stetigkeit der Funktion ${\displaystyle f}$ nicht vorausgesetzt, lediglich die Holomorphie bezüglich der einzelnen Variablen separat. Durch Weglassen der Stetigkeits-Bedingung wird der Beweis wesentlich komplizierter, zeigt aber auch deutliche Unterschiede zum reellen Fall:

Zum Beispiel besitzt die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}\rightarrow \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto {\tfrac {x\cdot y}{x^{2}+y^{2}}}}$ keine stetige Fortsetzung im Punkt ${\displaystyle (0,0)}$, ist aber reell-analytisch bezüglich jeder Variablen. Der Satz von Hartogs schließt ein solches Phänomen für holomorphe Funktionen aus.

Vom Standpunkt d​er partiellen Differentialgleichungen k​ann der Satz v​on Hartogs a​uch so interpretiert werden, d​ass die Lösungen d​er Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen b​ei reeller Differenzierbarkeit o​hne weitere Regularitätsvoraussetzungen automatisch bezüglich a​ller Variablen holomorph sind.

Literatur

• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.