Satz von Vitali (Funktionentheorie)

Der Satz v​on Vitali, benannt n​ach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali (1875–1932), i​st eine Aussage d​er Funktionentheorie. Er i​st ein hinreichendes Kriterium für d​ie kompakte Konvergenz e​iner Folge holomorpher Funktionen.

Aussage

Gegeben seien ein Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ und eine Folge von holomorphen Funktionen ${\displaystyle f_{n}\colon G\to \mathbb {C} }$, welche die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

• Die Folge ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ sei lokal beschränkt, d. h., zu jeder kompakten Teilmenge ${\displaystyle K}$ von ${\displaystyle G}$ existiert eine Zahl ${\displaystyle m_{K}>0}$, so dass

${\displaystyle |f_{n}(z)|\leq m_{K}}$ für alle ${\displaystyle z\in K}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

gilt.

• Es gebe eine Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle G}$ mit mindestens einem Häufungspunkt in ${\displaystyle G}$, so dass der Grenzwert

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(z)}$

für jedes ${\displaystyle z\in A}$ existiert.

Unter diesen Annahmen gilt die kompakte Konvergenz der Folge ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle G}$.

Literatur

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. Auflage. Vieweg 1994, ISBN 3-528-67247-1

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Vitali’s Convergence Theorem. In: MathWorld (englisch).