Rand (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet d​er Topologie i​st der Begriff Rand e​ine Abstraktion d​er anschaulichen Vorstellung e​iner Begrenzung e​ines Bereiches.

Ein Gebiet (hellblau) und sein Rand (dunkelblau).

Definition

Der Rand einer Teilmenge ${\displaystyle U}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem von ${\displaystyle U}$. Der Rand einer Menge ${\displaystyle U}$ wird üblicherweise mit ${\displaystyle \partial U}$ bezeichnet, also:

(*) ${\displaystyle \partial U={\overline {U}}\setminus U^{\circ }={\overline {U}}\cap {\overline {(X\setminus U)}}}$.

Die Punkte aus ${\displaystyle \partial U}$ werden Randpunkte genannt.

Erläuterung

Jeder Randpunkt von ${\displaystyle U}$ ist auch Berührungspunkt von ${\displaystyle U}$ und jeder Berührungspunkt von ${\displaystyle U}$ ist Element von ${\displaystyle U}$ oder Randpunkt von ${\displaystyle U}$. Die Berührungspunkte von ${\displaystyle U}$ zusammen bilden den Abschluss von ${\displaystyle U}$. Es ist also

(**) ${\displaystyle {\overline {U}}=U\cup \partial U\,.}$

Zu jeder Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ zerfällt der topologische Raum ${\displaystyle X}$ in das Innere von ${\displaystyle U}$, den Rand von ${\displaystyle U}$ und das Äußere von ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle X=U^{\circ }\;{\dot {\cup }}\;\partial U\;{\dot {\cup }}\;({X\setminus U})^{\circ }\,.}$

Abgrenzung

Sowohl i​n der algebraischen Topologie a​ls auch i​n der Theorie d​er berandeten Mannigfaltigkeiten g​ibt es Begriffe v​on „Rand“, d​ie mit d​em hier behandelten Randbegriff d​er mengentheoretischen Topologie verwandt sind, a​ber mit diesem (und untereinander) n​icht übereinstimmen.

Eigenschaften

• Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.
• Der Rand einer Menge ${\displaystyle U}$ besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus ${\displaystyle U}$ als auch Punkte, die nicht in ${\displaystyle U}$ liegen, enthält.
• Der Rand einer Menge ist stets gleich dem Rand ihres Komplements.
• Der Rand einer Menge ist der Schnitt des Abschlusses der Menge mit dem Abschluss ihres Komplementes.
• Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.
• Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist.
• Eine Menge ist genau dann offen und abgeschlossen, wenn ihr Rand leer ist.
• Es seien ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle Y\subseteq X}$ eine offene Teilmenge mit der Teilraumtopologie und ${\displaystyle U\subseteq X}$ eine Teilmenge. Dann ist der Rand von ${\displaystyle Y\cap U}$ in ${\displaystyle Y}$ gleich dem Schnitt von ${\displaystyle Y}$ mit dem Rand von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$. Lässt man die Voraussetzung der Offenheit von ${\displaystyle Y}$ fallen, so gilt die entsprechende Aussage im Allgemeinen nicht, selbst wenn ${\displaystyle U\subseteq Y}$ ist. Im Beispiel ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle U=Y=\{0\}}$ ist auch ${\displaystyle Y\cap U=\{0\}}$, und diese Menge besitzt in ${\displaystyle Y=\{0\}}$ gar keinen Rand, obgleich sie in ${\displaystyle X}$ mit diesem identisch ist.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle U}$ eine offene oder abgeschlossene Kreisscheibe in der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, so ist der Rand von ${\displaystyle U}$ die zugehörige Kreislinie.
• Der Rand von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Randaxiome

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ ist das Bilden des Randes ein Mengenoperator auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{U\mid U\subseteq X\}}$, der Potenzmenge von ${\displaystyle X}$. Dieser erfüllt für ${\displaystyle U\subseteq X}$ und ${\displaystyle V\subseteq X}$ stets die folgenden vier Regeln, die sogenannten Randaxiome:[1][2]

(R1)   ${\displaystyle U\cap V\cap \partial (U\cap V)=U\cap V\cap (\partial U\cup \partial V)}$

(R2)   ${\displaystyle \partial U=\partial (X\setminus U)}$

(R3)   ${\displaystyle \partial {\partial U}\subseteq \partial U}$

(R4)   ${\displaystyle \partial {\emptyset }=\emptyset }$

Durch die vier Regeln (R1) - (R4) ist die Struktur des topologischen Raum ${\displaystyle X}$ eindeutig festgelegt. Der mittels (**) gegebene Mengenoperator auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ist ein Abschlussoperator im Sinne der Kuratowskischen Hüllenaxiome und so in Verbindung mit (*) umkehrbar eindeutig mit dem Randoperator ${\displaystyle U\mapsto \partial U}$ verknüpft.

Dabei gilt für das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {\tau }}(X)}$, also die Menge der offenen Mengen von ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {\tau }}(X)=\{U\subseteq X\mid {U\cap \partial U}=\emptyset \}}$

Literatur

• John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Springer, New York u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint der Ausgabe Van Nostrand, New York 1955).
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie. Springer, Berlin u. a. 1972, ISBN 3-540-06006-5.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Ramaswamy Vaidyanathaswamy: Set topology. 2nd edition, reprinted Auflage. Chelsea Publishing, New York 1964.

Einzelnachweise

1. Vaidyanathaswamy: Set topology. 1964, S. 57–58.
2. Schubert: Topologie. 1975, S. 16.