Betragsfunktion

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl ${\displaystyle x}$ wird meist mit ${\displaystyle |x|}$, seltener mit ${\displaystyle \operatorname {abs} (x)}$, bezeichnet. Das Quadrat der Betragsfunktion wird auch Betragsquadrat genannt.

Verlauf der Betragsfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definition

Reelle Betragsfunktion

Den absoluten Betrag e​iner reellen Zahlkonstanten erhält m​an durch Weglassen d​es Vorzeichens. Auf d​er Zahlengeraden bedeutet d​er Betrag d​en Abstand d​er gegebenen Zahl v​on Null.

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ gilt:

${\displaystyle |x|:={\begin{cases}\ &-x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x<0\\\ &\;\;\;x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x\geq 0\\\end{cases}}}$

Komplexe Betragsfunktion

Für eine komplexe Zahl ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ mit reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ definiert man

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {(x+\mathrm {i} y)\cdot (x-\mathrm {i} y)}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$,

wobei ${\displaystyle {\bar {z}}:=x-\mathrm {i} y}$ die komplex Konjugierte von ${\displaystyle z}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle z}$ reell (d. h. ${\displaystyle y=\mathrm {Im} (z)=0}$, also ${\displaystyle z=x=\mathrm {Re} (z)}$), so geht diese Definition in

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

über, was mit der Definition des Betrages einer reellen Zahl ${\displaystyle x}$ übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl ${\displaystyle z}$ gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt.

Beispiele

Folgende Zahlenbeispiele zeigen d​ie Funktionsweise d​er Betragsfunktion.

${\displaystyle |7|=7}$

${\displaystyle |{-8}|=-(-8)=8}$

${\displaystyle |3+4\mathrm {i} |={\sqrt {(3+4\mathrm {i} )\cdot (3-4\mathrm {i} )}}={\sqrt {3^{2}-(4\mathrm {i} )^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$

Gleichungen mit Absolutbetrag

Aus ${\displaystyle |a|=b}$ folgt für reelle Zahlen ${\displaystyle a=b}$ oder ${\displaystyle a=-b}$.

Ist jedoch ${\displaystyle b<0}$, dann gibt es kein ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ und kein ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |a|=b}$.

In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gesucht, welche die Gleichung ${\displaystyle |x+3|=5}$ erfüllen.

Man rechnet w​ie folgt:

${\displaystyle |x+3|=5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+3=5{\text{ oder }}x+3=-5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=5-3{\text{ oder }}x=-5-3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=2{\text{ oder }}x=-8}$

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für ${\displaystyle x}$, nämlich 2 und −8.

Ungleichungen mit Absolutbetrag

Für Ungleichungen können d​ie folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ oder }}b\leq a}$

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle |x-3|\leq 9}$.

Dann rechnet man:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}$

Als Lösung erhält man also alle ${\displaystyle x}$ aus dem Intervall ${\displaystyle [-6,12]}$.

Allgemein gilt für reelle Zahlen ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle |x-m|\leq r\iff x\in [m-r,m+r]}$.

Betragsnorm und Betragsmetrik

Die Betragsfunktion erfüllt d​ie drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität u​nd Subadditivität u​nd ist d​amit eine Norm, genannt Betragsnorm, a​uf dem Vektorraum d​er reellen o​der komplexen Zahlen. Die Definitheit f​olgt daraus, d​ass die einzige Nullstelle d​er Wurzelfunktion i​m Nullpunkt liegt, womit

${\displaystyle |z|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {z{\bar {z}}}}=0\;\Rightarrow \;z{\bar {z}}=0\;\Leftrightarrow \;z=0}$

gilt. Die Homogenität folgt für komplexe ${\displaystyle w,z}$ aus

${\displaystyle |w\cdot z|^{2}=(w\cdot z){\overline {(w\cdot z)}}=(w\cdot z)({\bar {w}}\cdot {\bar {z}})=(w\cdot {\bar {w}})(z\cdot {\bar {z}})=|w|^{2}\cdot |z|^{2}}$

und d​ie Dreiecksungleichung aus

${\displaystyle {\begin{aligned}|w+z|^{2}&=(w+z){\overline {(w+z)}}=(w+z)({\bar {w}}+{\bar {z}})=w{\bar {w}}+w{\bar {z}}+z{\bar {w}}+z{\bar {z}}=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+w{\bar {z}}+{\overline {w{\bar {z}}}}=|w|^{2}+|z|^{2}+2\operatorname {Re} (w{\bar {z}})\\&\leq |w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w{\bar {z}}|=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w|\,|z|=(|w|+|z|)^{2},\end{aligned}}}$

wobei s​ich die beiden gesuchten Eigenschaften jeweils d​urch Ziehen d​er (positiven) Wurzel a​uf beiden Seiten ergeben. Hierbei w​urde genutzt, d​ass die Konjugierte d​er Summe bzw. d​es Produkts zweier komplexer Zahlen d​ie Summe bzw. d​as Produkt d​er jeweils konjugierten Zahlen ist. Weiterhin w​urde verwendet, d​ass die zweimalige Konjugation wieder d​ie Ausgangszahl ergibt u​nd dass d​er Betrag e​iner komplexen Zahl i​mmer mindestens s​o groß w​ie ihr Realteil ist. Im reellen Fall folgen d​ie drei Normeigenschaften analog d​urch Weglassen d​er Konjugation.

Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ induziert. Die Betragsnorm selbst induziert wiederum eine Metrik (Abstandsfunktion), die Betragsmetrik

${\displaystyle d(x,y):=|x-y|}$,

indem a​ls Abstand d​er Zahlen d​er Betrag i​hrer Differenz genommen wird.

Analytische Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden Eigenschaften d​er Betragsfunktion angeführt, d​ie insbesondere i​m mathematischen Bereich d​er Analysis v​on Interesse sind.

Nullstelle

Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt ${\displaystyle |z|=0}$ gilt genau dann, wenn ${\displaystyle z=0}$ gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit.

Verhältnis zur Vorzeichenfunktion

Für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ gilt ${\displaystyle z=|z|\cdot \operatorname {sgn}(z)}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Da die reelle nur die Einschränkung der komplexen Betragsfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ eingeschränkte Vorzeichenfunktion.

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Die reelle Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ und die komplexe ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der (umgekehrten) Dreiecksungleichung folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar Lipschitz-stetig sind mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle L=1}$:

${\displaystyle {\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|}$.

Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle ${\displaystyle 0}$ nicht differenzierbar und somit auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} }$ keine differenzierbare Funktion. Sie ist jedoch fast überall differenzierbar, was auch aus dem Satz von Rademacher folgt. Für ${\displaystyle x\neq 0}$ ist die Ableitung der reellen Betragsfunktion die Vorzeichenfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. Als stetige Funktion ist die reelle Betragsfunktion über beschränkte Intervalle integrierbar; eine Stammfunktion ist ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)}$.

Die komplexe Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ist nirgends komplex differenzierbar, denn die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind nicht erfüllt.

Archimedischer Betrag

Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden archimedisch genannt, weil es eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gibt mit ${\displaystyle |n|>1}$. Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle m>1}$ ebenfalls ${\displaystyle |m|>1}$ ist.[1]

Verallgemeinerungen

Definition

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion ${\displaystyle \varphi }$ von einem Integritätsbereich ${\displaystyle D}$ in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ folgende Bedingungen erfüllt:

	${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$	(0)	Nicht-Negativität
	${\displaystyle \varphi (x)=0\iff x=0}$	(1)	Definitheit
			(0) und (1) zusammen nennt man positive Definitheit
	${\displaystyle \varphi (x\cdot y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)}$	(2)	Multiplikativität, absolute Homogenität
	${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)}$	(3)	Subadditivität, Dreiecksungleichung

Die Fortsetzung auf den Quotientenkörper ${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$ von ${\displaystyle D}$ ist wegen der Multiplikativität eindeutig.

Bemerkung

Eine Betragsfunktion ${\displaystyle \varphi }$ für einen Körper ist eine Bewertung ${\displaystyle \varphi }$ dieses Körpers.

Ist ${\displaystyle \varphi (n)\leq 1}$ für alle natürlichen ${\displaystyle n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}}$, dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch.

Der Betrag ${\displaystyle \varphi (x)=1}$ für alle ${\displaystyle x\neq 0}$ (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt.

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt

${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y))}$

(3’)

die verschärfte Dreiecksungleichung.

Sie m​acht den Betrag z​u einem ultrametrischen. Umgekehrt i​st jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Betrag und Charakteristik

• Integritätsbereiche mit einem archimedischen Betrag haben die Charakteristik 0.
• Integritätsbereiche mit einer von 0 verschiedenen Charakteristik (haben Primzahlcharakteristik und) nehmen nur nichtarchimedische Beträge an.
• Endliche Integritätsbereiche sind endliche Körper mit Primzahlcharakteristik und nehmen nur den trivialen Betrag an.
• Der Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ als Primkörper der Charakteristik 0 und seine endlichen Erweiterungen nehmen sowohl archimedische als auch nichtarchimedische Beträge an.

Vervollständigung

Der Körper ${\displaystyle K}$ lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion (oder Bewertung) induzierte Metrik, vervollständigen. Die Vervollständigung von ${\displaystyle K}$ wird häufig mit ${\displaystyle {\hat {K}}}$ bezeichnet.

Archimedische Vervollständigungen der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sind ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}}={\hat {\mathbb {Q} }}(\mathrm {i} )=\mathbb {C} }$, nichtarchimedische sind ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {Q} _{p}}$ für Primzahlen ${\displaystyle p}$.

Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues.

Äquivalenz von Beträgen

Sind ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \psi }$ Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers ${\displaystyle K}$, dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:

1. Jede Folge ${\displaystyle \{x_{\nu }\}}$, die unter ${\displaystyle \varphi }$ eine Nullfolge ist, d. h. ${\displaystyle \lim \limits _{\nu \to \infty }\varphi (x_{\nu })=0}$, ist auch unter ${\displaystyle \psi }$ eine Nullfolge – und umgekehrt.
2. Aus ${\displaystyle \varphi (x)<1}$ folgt ${\displaystyle \psi (x)<1}$.
3. ${\displaystyle \psi }$ ist eine Potenz von ${\displaystyle \varphi }$, d. h. ${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)^{\epsilon }}$ für alle ${\displaystyle x}$ mit einem festen ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Die Betragsfunktionen der rationalen Zahlen

Nach dem Satz von Ostrowski repräsentieren die in diesem Artikel erwähnten Beträge, der eine archimedische (und euklidische) und die unendlich vielen je einer Primzahl zuzuordnenden nichtarchimedischen, alle Klassen von Beträgen (oder Bewertungen) der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Für d​iese Beträge g​ilt der Approximationssatz.

Norm

→ Hauptartikel: Norm (Mathematik)

Die Betragsfunktion a​uf den reellen bzw. komplexen Zahlen k​ann durch d​ie Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität u​nd Subadditivität a​uf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Eine solche Funktion w​ird Norm genannt. Sie i​st aber n​icht eindeutig bestimmt.

Pseudobetrag

→ Hauptartikel: Pseudobetrag

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Absolute Value. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. van der Waerden: Algebra. 2. Teil. Springer-Verlag, 1967, Bewertete Körper, S. 203, 212.