Lemma von Osgood

Das Lemma v​on Osgood, benannt n​ach William Osgood, i​st eine Aussage a​us der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Eine stetige i​n jeder Variable holomorphe Funktion i​st bereits holomorph.[1]

Definition

Es sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Menge im n-dimensionale komplexen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ heißt holomorph in jeder Variablen, wenn für alle ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$ und alle ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{j-1},a_{j+1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C} }$ die Funktionen

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid (a_{1},\ldots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\ldots ,a_{n})\in U\}\rightarrow \mathbb {C} ,\quad z\mapsto f(a_{1},\ldots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\ldots ,a_{n})}$

holomorph sind, das heißt, wenn die aus ${\displaystyle f}$ durch Einfrieren aller bis auf eine Variable entstehenden Funktionen sämtlich holomorph sind.

Aussage

Eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ ist natürlich holomorph in jeder Variablen. Zur Umkehrung gilt das Lemma von Osgood:[2]

• Ist ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine offene Menge und ${\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ eine stetige Abbildung, die holomorph in jeder Variablen ist, so ist ${\displaystyle f}$ bereits holomorph.

Bemerkung

Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit kann man iterativ die cauchysche Integralformel für eine abgeschlossene Polykreis-Umgebung ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(a_{1},\ldots ,a_{n};r_{1}\ldots r_{n})\subset U}$ eines Punktes ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$ anwenden und erhält

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\right)^{n}\int _{|a_{1}-\zeta _{1}|=r_{1}}\cdots \int _{|a_{n}-\zeta _{n}|=r_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \zeta _{1}\ldots \mathrm {d} \zeta _{n}}$     für     ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\in \Delta (a_{1},\ldots ,a_{n};r_{1}\ldots r_{n})}$ .

Indem man, ähnlich wie in der Funktionentheorie einer Veränderlichen, den Nenner des Integranden in ein Produkt von ${\displaystyle n}$ geometrischen Reihen um ${\displaystyle a_{j}}$ entwickelt, erhält man eine Potenzreihenentwicklung für ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$, was den Beweis beendet.[3]

Die Aussage a​us dem Lemma v​on Osgood bleibt richtig, w​enn man a​uf die Stetigkeitsvoraussetzung verzichtet. Diese Aussage i​st dann deutlich schwieriger z​u beweisen u​nd als Satz v​on Hartogs bekannt. Für v​iele Anwendungen genügt a​ber das Lemma v​on Osgood, d​a die Stetigkeit o​ft klar ist.

Einzelnachweise

1. William F. Osgood: Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen 1899, Band 52, Seiten 462–464
2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. I, Theorem 2 (Osgood's Lemma)
3. Joseph L. Taylor: Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups, American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X, Satz 2.1.2