Triviale Gruppe

Die triviale Gruppe i​st in d​er Gruppentheorie e​ine Gruppe, d​eren Trägermenge g​enau ein Element enthält. Die triviale Gruppe i​st bis a​uf Isomorphie eindeutig bestimmt. Jede Gruppe enthält d​ie triviale Gruppe a​ls Untergruppe.

Definition

Die triviale Gruppe ${\displaystyle (\{e\},*)}$ ist eine Gruppe, die aus der einelementigen Menge ${\displaystyle \{e\}}$ besteht und versehen ist mit der einzig möglichen Gruppenoperation

${\displaystyle e*e=e}$.

Das Element ${\displaystyle e}$ ist damit das neutrale Element der Gruppe.

Beispiele

Alle trivialen Gruppen s​ind zueinander isomorph. Beispiele für triviale Gruppen sind:

• die zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{1}}$ vom Grad ${\displaystyle 1}$
• die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{2}}$ vom Grad ${\displaystyle 2}$
• die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{1}}$ einer einelementigen Menge

Eigenschaften

• Da die Gruppenoperation ${\displaystyle \ast }$ kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
• Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
• Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: ${\displaystyle \{e\}=\langle \emptyset \rangle }$. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
• Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher meistens nicht als einfache Gruppe angesehen.
• In der Kategorie der Gruppen Grp fungiert die triviale Gruppe als Nullobjekt.

Siehe auch

• Nullring
• Nullvektorraum

Literatur

• Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer, 2008, ISBN 3-540-79570-7.
• Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 3-8348-9833-3.

Weblinks

• Todd Rowland, Eric W. Weisstein: Trivial Group. In: MathWorld (englisch).